2024届五年高考数学（文）真题分类训练：十四 选修系列

专题十四选修系列4

考点34坐标系与参数方程

题组

解答题

1.12023全国卷甲，10分］已知点P(2,l),直线I:［：为参数)，

(y—J.十tsirioc

a为，的倾斜角，2与％轴正半轴、y轴正半轴分别交于点4,B,且|P2|•

\PB\=4.

(1)求a；

［答案］记点4,B对应的参数分别为h七.令％=0，得%=———

1

令y=0,得％=

sina

则|PZ|•\PB\=I--II--1=1-^11=4

IcosalIsinalIsinacosa\sin2a\

所以sin2a=±l,由题可知aC［0,TC),

所以a=-或a=—.

44

因为直线l与％轴正半轴、y轴正半轴相交，

所以a=斗.

(2)以坐标原点为极点，无轴正半轴为极轴建立极坐标系，求，的极坐标方程.

X-2-VT2

2

［答案］根据(1)得直线，的参数方程为(t为参数),

y-1+VT2

2

转化为普通方程为％+y-3=0,

因为％=pcos0,y=psin0,

所以2的极坐标方程为pcos3+psin0-3=0.

2.［2023全国卷乙，10分］在直角坐标系％。y中，以坐标原点。为极点，％轴正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线Q的极坐标方程为p=2sinee〈ew］,曲

线代二寿:;为参数，=<«<-)­

(1)写出Q的直角坐标方程；

［答案］G：p=2sin0,方程两边同时乘以p,得p2=2psin。，

将为2+y2=p2,y=psin0代入，得/+y2=2y,

又：WeW；,所以Cl的直角坐标方程为％2+(y-l)2=1(0<%<1,1<y<

2).

(2)若直线y=%+zn既与C1没有公共点，也与。2没有公共点，求血的取值

范围.

［答案］由C2的参数方程可得C2的普通方程为/+*=4(-2<%<0,0<y<

2).

数形结合可知，若直线y=%+m与G没有公共点，则nt<0或m>2；

若直线y=%+m与C2没有公共点，可先求相切时的临界情况，即粤=2,得

m—2V2，

所以当mW2或m>2夜时，直线y=久+m与没有公共点.

综上，当m<0或m时，直线y=%+m与G和C2均没有公共点,

故m的取值范围为(一8,0)u(2V2,+00).

3.［2022全国卷甲，10分］在直角坐标系中，曲线心的参数方程为

f=~\t为参数)，曲线C2的参数方程为久二一K'(S为参数).

(y=Vt(y=-Vs

(1)写出G的普通方程；

［答案］根据Cl的参数方程，消去参数t可得％=等ny2=6%一2。20),

所以曲线Ci的普通方程为y2=6x-2(y>0).

(2)以坐标原点为极点，％轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方

程为2cos0-sin0=0，求C3与Q交点的直角坐标，及Q与交点的直角坐标.

［答案］曲线的极坐标方程可化为2pcos6-psin0=0,

所以普通方程为y=2%.

根据C2的参数方程，消去参数s可得％=一**=y2=-6%-2(y<0).

6

根据［V=-6x-2(y<0),徂卜=-k

y=2%,侍「=-1<==2：

所以C3与C2交点的直角坐标为(一3一1)，(T,—2).

根据｛V=6%-2(y>0),.gfx-I，

y=2%,侍:1<：2：

所以。3与G交点的直角坐标为G，I),(1,2).

4.［2022全国卷乙，10分］在直角坐标系％Oy中，曲线C的参数方程为

俨=V3cos2t,(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，已知直线2的极坐标方程为psin(6+§=0.

(1)写出2的直角坐标方程；

［答案］直线/的极坐标方程为psin(6+；)+m=0，即psin04-V3pcosQ+2m=

0，根据二黛:'得/的直角坐标方程为岳+y+2m=0.

(2)若，与C有公共点，求m的取值范围.

［答案］曲线C的参数方程为匕二暮;2t,«为参数)，将5也t=泮入％=

V3cos2t=V3(l—2sin2t),得曲线C的普通方程为y?=—卓%+

2(-2<y<2).

V3x+y+2m=0,

联立直线，与曲线C的方程，得,2V3消去工并整理得3y2-2y-

y--—%+2,

6—4m=0(-2<y<2).

解法一若直线，与曲线C有公共点，则/=(—2)2-4X3X(-6-4m)>0,

且3x(-2)2-2x(-2)-6-4m>0,

所以—||工加三|,即m的取值范围为［一［SXQ1912,|］.

解法二4zn=3y2-2y-6,因为3y2-2y-6=3(y-f-y)所以一gw

3y2-2y-6<10,即一日工4小工10,则一||三租工|,即小的取值范围为

5.［2021全国卷甲，10分］在直角坐标系％。y中,以坐标原点为极点，％轴正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2近cos。.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

［答案］根据p=2V2cosd,得p2=2/pcosd,

因为％2+y2=p2,x_pgs9,

2

所以％2+y2=2/%,所以曲线c的直角坐标方程为(％-/)+y2=2.

(2)设点a的直角坐标为(1,0),M为c上的动点，点p满足族=VZ而，写出

P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.

［答案］设P(%,y),则有荏=(x-l,y),AM-(x'-l,y'),

因为族=yj2AM,

x—1

(y'=^=,

22

又M为曲线C上的动点，所以仔^+1—+(专)=2，即(％—3+

V2)+y2=4,

所以P的轨迹G的参数方程为卜二：「迎+2cosa,(其中戊为参数，

ly=2sina

［0,2n)).

易得ICC/=3-2/，圆Q的半径ri=2，圆C的半径r=V2,所以|CQ|<q-

r,

所以C与G没有公共点.

【方法技巧】将极坐标方程化为直角坐标方程时，方程两边同时乘以p或同时

平方是常用的变形技巧，从而构造含有pcose,psine,p2的形式进行求解，另

外要注意变形的等价性.

6.［2021全国卷乙，10分］在直角坐标系》。了中，OC的圆心为C(2,l),半径为

1.

(1)写出OC的一个参数方程；

［答案］由题意知OC的标准方程为(％-2)2+(y-1)2=1,

则OC的参数方程为低：彳：：：：(a为参数).

—.L~rsinCc

(2)过点F(4,l)作OC的两条切线.以坐标原点为极点，为轴正半轴为极轴建

立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

［答案］由题意可知，过点F的OC的切线的斜率存在，

设切线方程为y-1=k(x—4),BR/cx—y+1—4k=0,

所以竺5Hl=1,解得k=±"，则过点F的OC的两条切线方程分别为

Vfc2+13

V34V3..V34^3..

y=—x--------1-1,y=-----xH-------1-1.

,33’33

因为％=pcos6,y-psin9,所以过点F的OC的两条切线的极坐标方程分别

为psin0=pcos0—竽+1,psin。=一fpcos0+9+1,即

2psin（6-9=百-4,2psin（6+印=b+4.

7.［2020全国卷I,10分］在直角坐标系久。y中，曲线心的参数方程为

仔=cos：t为参数）.以坐标原点为极点,％轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

ly=sinKt

C2的极坐标方程为4pcos6-16psin6+3=0.

（1）当k=1时，Q是什么曲线？

［答案］当k=1时,G：仁：：：；’（1为参数），消去参数t得%2+y2=1，故曲线

I）一billL

Cl是圆心为坐标原点，半径为1的圆.

（2）当k=4时，求G与C2的公共点的直角坐标.

［答案］当攵=4时，J二靠；：'（t为参数），消去参数t得Q的普通方程为

Vx+y/y=1.

•­•x=pcos6,y=psin6,

C2的直角坐标方程为4%-16y+3=0.

由及£1'=。解得

故Q与。2的公共点的直角坐标为G，?.

8.［2019全国卷I,10分］在直角坐标系为0y中，曲线C的参数方程为

1-t2

为参数）.以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标

1+t2

系，直线/的极坐标方程为2pcos0+V3psin0+11=0.

（1）求C和，的直角坐标方程；

［答案］将％=pcos0,y-psin0代入直线，的极坐标方程2pcos0+V3psin0+

11=0,

得I的直角坐标方程为2%+V3y+11=0.

下面用三种解法求曲线C的直角坐标方程.

解法一因为一1〈惠W1,且/+©)2=(弁)2+信=1,所以c的直

角坐标方程为"+一=1(%W—1).

4

解法二由题意得％=w=—1+隹彳-1,即％+1=2,

1+t21+t21+t2

则易得「=7彳，代入％+1=2,得c的直角坐标方程为"+1=

2(x+l)1+t24

1(%H—1).

解法三令t=tana(a#=fcn+pfcEZ),

(_I*

则由二更(t为参数)，可得1：2sin2a为参数)，

V-i+tz

注意到久=芸=—1+三H—1,故C的直角坐标方程为"+I=

1+t21+t24

1(%w—1).

(2)求C上的点到［距离的最小值.

［答案］由(1)可设C的参数方程为｛；;着a(a为参数，—n<a<n).

C上的点到2的距离为巨空竺等31=4c叱加】.

当a=-y时,4cos(a-§+11取得最小值7,故C上的点至也距离的最小值为

V7.

考点35不等式选讲

题组

解答题

1.12023全国卷甲,10分］设a>0,函数/(%)=2|%—a|—a.

(1)求不等式/(%)<%的解集；

［答案］解法一求不等式/(%)<x的解集，即求不等式2忱-a\-a<x的解集,

整理得2|%—a\<x+a9

不等式两边同时平方，得4(/—2ax+a2)<x2+2ax+a2,整理得3——

lOax+3a2<0,

因式分解得(3%-a)(x-3a)<0,因为a>0,所以可得］<%<3a,

故不等式的解集为C，3a).

解法二若％<a，则f(%)=2a—2x—a<x,

即3汽>a，解得%>三，得:<x<a；(注：a>0)

若x>a，则/(%)=2x—2a—a<x,

解得％<3a，得a<x<3a.

综上，不等式的解集为3a).

(2)若曲线y=/(K)与久轴所围成的图形的面积为2,求a.

［答案］解法一设曲线y=/(%)与x轴的两个交点的横坐标分别为乙,%1>久2.

令/(%)=0，得2|%—a\=a，即2%—2a=a或2%—2a=-a,

得=?，%2=；，故曲线y=/(%)与％轴的两个交点之间的距离d=-%21-

a,

易得三角形不在X轴上的顶点的坐标为(a,-a),

所以三角形的面积S--\-a\=ja2=2,

即a?—4，解得a=2或a——2(舍去)，故a—2.

解法二

外、_(-2x+a,x<a,

=12x-3a,x>a,

作出/(%)的大致图象如图，曲线y=/(%)与工轴围成的图形即△ABC,

所以|4B|=a,△ABC的底边上的高为a,

所以S“BC=T,a=3。之=2,解得a=2或a=—2(舍去)，故a=2.

2.［2023全国卷乙,10分］已知/(%)=2|x|+|x-2|.

(1)求不等式/(%)<6-x的解集；

(—3%+2,%<0,

［答案］/(%)=%+2,0<%<2,

(3%—2,x>2,

作出了=/(%)及'=6—％的图象，如图所示，易得4(—2,8),C(2,4),所以由

图象可得不等式/(%)<6-%的解集为{为|—2W%W2}.

(2)在直角坐标系％。y中，求不等式组\彳也°所确定的平面区域的面

积.

［答案］如图所示，作出不等式组，所确定的平面区域(图中阴影部

分)，为AABC，

所以S-BC=|x(6-2)x[2-(-2)]=8.

3.[2022全国卷甲，10分]已知。,b,c均为正数，且小+b2+4c2=3,证明:

(1)a+b+2c<3;

[答案]解法一因为小+炉+=3,

所以(a+b+2c>=a2+b2+4c2+2gb+2bc+2ac)<3+(a2+62)+

[b2+(2c)2]+[a2+(2c)2],当且仅当a=b=2c=1时取等号，

所以(a+b+2c7<3+2[a2+b2+(2c)2]=9.

又a,b,c均为正数，

所以a+b+2c43.

解法二因为a?+广+4c2=3,所以根据柯西不等式有3x3=(a2+b2+

4c2)(仔+仔+12)之(a+匕+2c)2,当且仅当a=b=2c=1时取等号.又

a,b,c均为正数，所以a+b+2c<3.

(2)b=2c+->3.

若ac

［答案］因为b=2c,

所以根据(1)有a+4cW3.

所以+22O：)(a+4c)之+•4c)=9,

当且仅当a=b=2c=1时取得等号.所以工+i>3.

ac

333

4.［2022全国卷乙，10分］已知a,b,c都是正数，且成+血+或=1，证明：

1

(1)abc<9-；

3333I333______

［答案］因为。,b,c都是正数，1=谈+应+应之31a5.万•应=37abe,

2

所以abc<,当且仅当a=b=c=CF时等号成立.

(2)—+—+—<^=.

b+ca+ca+b27abe

［答案］由基本不等式得b+c22抵，所以EW盛，

同理得士<.

a+c2y/aca+b2\/ab

利用不等式的性质得

a+匕+°+匕_1_c

b+ca+ca+b~24bc2y［ac24ab

333

333

Q2+匕2+。2

27abe

1

当且仅当a=b=c=qy时等号成立.

5.［2021全国卷甲，10分］已知函数/(%)=\x—2\,^(x)=|2x+3|—\2x—1\.

y

r3

—4,x<

［答案］由己知得g(%)=4x+2,-l<x<1，

1

4,久>

k2

所以y=/(%)与y=g(%)的图象如图所示.

(2)若/(久+a)>g(%),求a的取值范围.

［答案］y=f(x+a)的图象是由函数y=/(%)的图象向左平移a(a>0)个单位

长度或向右平移|a|(a<0)个单位长度得到的，根据图象可知向右平移不符合

题意，向左平移到y=/(%+a)的图象的右支过y=g(x)的图象上的点(会4)

时为临界状态，如图所示，此时y=/(%+a)的图象的右支对应的函数答案式

为y=%+a—2(%>2—a),则4=鼻+a—2)解得a=—.

因为/(%+a)>g(x),所以a2日.

故a的取值范围为［£,+8).

y

6.［2020全国卷。，10分］已知函数f(%)=\x—a2\+\x—2a+1\.

(1)当a=2时，求不等式f(%)>4的解集；

(7—2x,x<3,

［答案］当a=2时，/(%)=1,3<%<1因此，不等式/(%)>4的解集为

(2%—7,x>4.

{x\xW：或％2£}.

(2)若/(无)>4，求a的取值范围.

［答案］因为/(%)=|x—a21+|x—2a+1|>\a2—2a+1|=(a—l)2，所以当

(a-l)2>4,BP|a-1|>2时，/(%)>4,所以当aZ3或aW—1时，

/(%)>4.

当