函数概念与基本初等函数-2023年高考数学考试（解析版）（全国通用）

易错点03函数概念与基本初等函数

易错分析

易错点1:求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则；

研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。

易错点2：判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称；

判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据/（-X）与/（x）的关系得到结

论；

易错点3：根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？（取值，作差，判正负.）；

判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数,根据单调性的性质和复合函数“同增

异减”性得到结论.

易错点4：指对型函数比较大小

要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函

数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于

其底数的范围（大于1还是小于1）,特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树

立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）.

易错点5：用函数图象解题时作图不准

“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学

习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失

真“，从而得出错误的答案。

易错点6：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和

易忽略对数函数的真数的限制条件；

要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，

二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的

单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1）,特别在解决涉及指、对复合函数的

单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）；

易错点7：抽象函数的推理不严谨致误；

所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。

解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和

技巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转

化法、递推法等；

错题纠正

1.已知“=log"0∙5,6=1.5°s,C=O.1×5'∖贝IJ()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【详解】解：由题意得：

因为α=log∣5θ.5<log∣sl=0,b=lfs=l,C=().1×5L5=().5×50-5

22

所以α<c<b.

故选：B

2.已知函数/(x)=,∣E∣〈I,则/(f⑼)=()

∣X-3∣+2,Λ≤2

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【详解】=■(百一2)=/⑴=∣l-3∣+2=4

故选：C

f—3x+3XKv</、/、

3.已知函数/(X)=_2.>，则不等式/(a)>"3α-4)的解集为()

A.B.(2,+∞)C.(→O,2)D.1-8,-g)

【答案】B

【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数/(x)在(—,行)上是减函数，

所以“<3α-4,解得4>2.

故选:B

【详解】由题可得函数“X)定义域为{x∣XH±l},且“T)=—=-/(6,故函数为奇

函数，故排除BD,

,、4/IL-L=-I

j

由f(2)=4>0,[2)_33.故C错误，

3^4

故选：A.

∣lgx∣,0<x≤10

5.已知函数f(x)=I,若a,b,C均不相等，且/S)=f(b)=f(c),则血、

——x+6,x>IO

I2

的取值范围是()

A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)

【答案】C

【详解】函数的图象如图所示，

不妨设a<b<c,则一Iga=Ig0=-∙∣c+6∈(0,1),

所以ab=1,0<—c+6<l,

2

所以访=1,10<c<12,

所以10<血<12,

故选：C

y=

举一反三

1.已知α=2t",6=（；），c~ɪθ^23,贝U（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】C

【详解】因为2°7>（gj7>0=log21>log2；，故a>b>c.

故答案为：C.

2.设/（%）是定义域为R的奇函数，且"W）="-X）.若/信）=；,则噌卜（）

A「|5

bcD.

∙4∙I3

【答案】C

3.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和

小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV.已

知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）

(,√10≈1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【详解】由L=5+lgV,当L=4.9时，IgV=-0.1,

__L11

则V=I(ToJ=IOlθ=-=≈-!—≈0.8.

M7d1.259

故选：C.

log2jr,x>0

4.设函数段)=k>g(χ),χ<0若/(α)>∕(-α),则实数。的取值范围是()

.2

A.(-1,O)U(O,1)

B.(-∞,-l)U(l,+∞)

C.(-1,0)<J(1,+∞)

D.(→x),-l)o(0,l)

【答案】C

【详解】当α>0时，-a<0,

由/(«)>ʃ(-ɑ)得lo≡2eι>ɪog,a,

2

所以21og2〃>0,可得：a>l,

当"0时，-α>0,

由/(«)>/(-α)得1θgɪ(~fl)>kg?(-«),

2

所以21og2(—a)<0,即0<—"1,即一l<α<O,

综上可知：一ICaCO或α>l.

故选：C

5.己知函数f(x)=∙;若函数g(x)=f(x)-府-2x∣(AeR)恰有4个零点，则上的

取值范围是()

A.100L/)(2>∕2,+∞)B.[-oo,-/J(0,2>∕Σ)

C.(-∞,0)(0,2夜)D.(-8,0)(2&,+8)

【答案】D

【详解】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程∣H-2∣=誓恰有3个实

lɪl

根

即可，

令必X)=智，即y=∣H-2∣与〃(X)=警的图象有3个不同交点.

IXlIXI

2

因为〃(X)=萼X,x>0

1,x<0

当A=O时，此时y=2,如图1,y=2与μX)=警有1个不同交点，不满足题意;

∣χ∣

当*<0时，如图2,此时y=|"-21与A(X)=4野恒有3个不同交点，满足题意；

Ixl

当时，如图当与相切时，联立方程得

2>03,N=h—2y=χ2χ2-fcc+2=o,

令△=()得公-8=0,解得Z=2√Σ(负值舍去)，所以4>2√L

综上，左的取值范围为(-8,0)J(20,+8).

故选：D.

易错题通关

-3x+3,x<0

1.己知函数/(©=则不等式/(α)<∕(3αT)的解集为()

e-χ÷l,x≥O

【答案】C

[-3x+3,x<0

【详解】解：因为，(幻=.、八,

[eλ+l1,x≥O

当x<O时/(x)=—3x+3函数单调递减，且/(x)>-3x0+3=3,

当XNO时J'(x)=e-'+l函数单调递减，且/(0)=e°+l=2<3,

所以函数/(χ)在(-∞,+∞)上是单调递减，

所以不等式/(«)</(3a-l)等价于α>3a—1,解得“.

2

即不等式的解集为18,g}

故选；C

2.下列函数既是奇函数，又是增函数的是()

3xi

A.ʃ=Iog3∣x∣B.y=x+2xC.y=eD.y=x^

【答案】B

【详解】解：由题意得：

对于选项A：函数y=log3∣χ∣是偶函数，故不符合题意；

对于选项B：函数y=∕+2x是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；

对于选项C：函数y="是非奇非偶函数，故不符合题意；

对于选项D：根据基函数的性质可知函数y=xq是奇函数，但不是单调递增函数，故不符合

题意；

故选：B

3.设函数"x)=0√-χT+α,若函数"x-l)的图象关于点(1,0)对称，则α=()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】B

【详解】因为函数f(x-l)的图象关于点(1,0)对称，故函数“X)的图象关于点(0,0)对称,

即“X)为奇函数，故/(-x)+/(x)=a(-x)3-(-x)^3+α+ax,-x~3+a=2a=0,

所以。二0∙

故选：B.

X2-2ax+9,x<l

4.设4eK,函数"X)=ɪ6,若/(x)的最小值为了⑴，则实数。的取值范

x^+-----5a,x>∖

、X

围为()

A.[1,2]B.[1,3]C.[0,2]D.[2,3]

【答案】A

【详解】当x>l时，X2+--3a=x2+-+--3a≥3^x2×-×--3a=12-3a,

XXXVXX

Q

当且仅当V二一时，等号成立；

X

即当x>l时，函数/(X)的最小值为12-3%

当x≤l时，/(x)=x2-2αr+9=(x-^)2+9-tz2,

要使得函数/(x)的最小值为了⑴，贝嗨足上⑴=]0_2“<]2_3a，解得l≤αV2,

即实数。的取值范围是[1,2].

故选：A.

5.已知函数Ax)=/-4av+2("<0),则关于X的不等式/(x)>log?X的解集是()

A.(-∞,4)B.(0,1)C.(0,4)D.(4,+∞)

【答案】C

【详解】由题设，/S)对称轴为X=2且图象开口向下，则/(x)在(0,2)上递增，(2,+∞)上递

减，

由f(x)=以2-40r+2=αr(x-4)+2,即/(1)恒过(4,2)且/(0)=2,

所以(0,4)上/(x)>2,(4,-Ko)±∕(x)<2,

而y=log?x在(0,+∞)上递增，且(0,4)上y<2,(4,+∞)匕y>2,

所以/(x)>l0g2X的解集为(0,4).

故选：C

6.设α=logs3,Z>=logs5,C=Iogl38,则()

A.a<h<cB.h<a<cC.h<c<aD.c<a<h

【答案】A

【详解】解：片警I=Iog53∙logs8<∙⅛学应=(悟竺『<I,

blogs542

:.a<b\

54,,

5<8,「.5<4/<蜂8,∙∙Jog58>1.25,..⅛=log85<0.8;

4

13<8∖.∙.4<5⅛138,.∙.c=log138>0.8,.∙.c>b,

综上，c>b>a.

故选：A.

7.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”

求得ln2≈0.693,In-≈0.223,由此可知InO.2的近似值为()

4

A.-1.519B.-1.726C.-1.609D.-1.316

【答案】C

【详解】因为ln2≈0.693,所以1∏4≈1.386,因为ln**0.223,

4

所以In5=ln(1x4)=ln(+ln4a1.386+0.223=1.609,

所以ln0.2=-ln5≈-1.609.

故选：C

8.已知函数JU)图象如图所示，那么该函数可能为()

-⅛(x>0)

d、InxX

A∙M由B./(x)=∙

⅛^(χ<0)

x'

xCΓ(∖InlXl

C./(x)={eD.F(X)=-------

(x+l)et(x<0)X

【答案】D

【详解】由图象可知，函数定义域为(-∞,0)∙(0,+∞),图象关于原点对称，函数是奇函数,

x>l时/(x)>0,

Inχ

据此'=由定义域不符合,排除A;

Inr,人、

--r(x>0)

若∕W=∙1/ʌ,则x>l时，/W<0,不符合图象，故排除B；

⅛^(χ<0)

IX

/\-----(X>0)r—1

若f(x)={eʌ,则当X趋向于0*时，f(x)=—1趋向于-1,当X趋向于(T时，

(x+l)er(x<0)

/(x)=(x+l)e'趋向于1,不符合图象,故排除C;

故选：D

9.函数定义在R上的奇函数/O)满足在/(x+D-/(x)=0,则f(x)在xe[-3,3]上的零点至

少有()个

A.6B.7

C.12D.13

【答案】D

【详解】/O)是奇函数，故/(0)=0,又由，(χ+i)-/*)=0得周期为1,故

f(-3)=f(-2)=f(-l)=f⑴=/(2)=/(3)=0,又/(；)=/(-5,/(ɪ)ɪ-/(-ɪ))因此

/(；)=/(-；)=O，再由周期为1,总之，有/(g)=O,G=O,Jh,2J13,4JI5,6,共13个零

点，

故选:D.

/、2x-(α÷l)x-2,x≤α,、

10.己知函数/X=I"Q，若/X恰有两个零点，则实数。的取值范围

∖ax-[∖-3,x>a

为()

A.(-ŋo,-2]D(-1,0)U(O,+∞)B.(-∞,-2)u[-1,0)D(O,÷oo)

C.(-l,+∞)D.[-1,0)(θ,+∞)

【答案】B

【详解】∙∙∙A=(α+l)2+16>0,则二次函数