辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一数学第一学期期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在空间给出下面四个命题（其中、为不同的两条直线），、为不同的两个平面）①②③④其中正确的命题个数有A.1个 B.2个C.3个 D.4个2．直线L将圆平分，且与直线平行，则直线L的方程是A.BC.D.3．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为A. B.C. D.4．已知直线经过点，倾斜角的正弦值为，则的方程为（）A. B.C. D.5．已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）A.2 B.3C.4 D.56．若，则的大小关系为（）A. B.C. D.7．已知为三角形的内角，且，则（）A. B.C. D.8．已知集合，，若，则A. B.C. D.9．“”是函数满足：对任意的，都有”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（）A. B.C. D.8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．不等式的解集是__________12．如下图所示，三棱锥外接球的半径为1，且过球心，围绕棱旋转后恰好与重合.若，则三棱锥的体积为_____________.13．函数的零点个数为_________.14．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在R上的表达式是________15．函数满足，则值为_____.16．，，则_________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，（1）分别求，；（2）已知，若，求实数的取值集合18．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.19．某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人.（1）求餐厅满意指数频率分布直方图中的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率.（3）如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.20．已知，．若，求的取值范围.21．定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】：①若α，则，根据线面垂直的性质可知正确；②若，则；不正确，也可能是m在α内；错误；③若，则；据线面垂直的判定定理可知正确；④若，根据线面平行判定的定理可知正确得到①③④正确，故选C2、C【解析】圆的圆心坐标，直线L将圆平分，所以直线L过圆的圆心，又因为与直线平行，所以可设直线L的方程为，将代入可得所以直线L的方程为即，所以选C考点：求直线方程3、B【解析】过圆心作直线的垂线，垂线与直线的交点向圆引切线，切线长最小【详解】圆心,半径，圆心到直线的距离则切线长的最小值【点睛】本题考查圆的切线长，考查数形结合思想，属于基础题4、D【解析】由题可知，则∵直线经过点∴直线的方程为，即故选D5、B【解析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，，故中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.6、D【解析】根据对数的运算性质以及指数函数和对数函数的单调性即可判断【详解】因为，而函数在定义域上递增，，所以故选：D7、A【解析】根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.【详解】计算得，所以，，从而可计算的，，,选项A正确，选项BCD错误.故选：A.8、A【解析】利用两个集合的交集所包含的元素，求得的值，进而求得.【详解】由于，故，所以，故，故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合交集元素的特征，考查两个集合的并集的概念，属于基础题.9、A【解析】当时，在上递减，在递减，且在上递减，任意都有，充分性成立；若在上递减，在上递增，任意，都有，必要性不成立，“”是函数满足：对任意的，都有”的充分不必要条件，故选A.10、B【解析】利用斜二测画法还原直观图即得.【详解】由题可知，∴，还原直观图可得原平面图形，如图，则，∴，∴原平面图形的周长为.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据对数不等式解法和对数函数的定义域得到关于的不等式组，解不等式组可得所求的解集【详解】原不等式等价于，所以，解得，所以原不等式的解集为故答案为【点睛】解答本题时根据对数函数的单调性得到关于的不等式组即可，解题中容易出现的错误是忽视函数定义域，考查对数函数单调性的应用及对数的定义，属于基础题12、【解析】作于，可证得平面，得，得等边三角形，利用是球的直径，得，然后计算出，再应用棱锥体积公式计算体积【详解】∵围绕棱旋转后恰好与重合，∴，作于，连接，则，，∴又过球心，∴，而，∴，同理，，，由，，，得平面，∴故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作于，利用旋转重合，得平面，这样只要计算出的面积，即可得体积，这样作图可以得出，为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转，即为．旋转是旋转形成的二面角为．应用作出二面角的平面角13、3【解析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.【详解】作出函数图象，如下，由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.故答案为：314、【解析】根据奇函数定义求出时的解析式，再写出上的解析式即可【详解】时，，，所以故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键15、【解析】求得后，由可得结果.【详解】，，.故答案为：.16、【解析】将平方，求出的值，再利用弦化切即可求解.【详解】，，，，，所以，所以.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）两集合的交集为两集合的相同的元素构成的集合，两集合的并集为两集合所有的元素构成的集合；（2）由两集合的子集关系得到两集合边界值的大小关系，从而解不等式得到的取值范围试题解析：（1），（2）由可得考点：集合运算及集合的子集关系18、（1）；（2）.【解析】（1）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得结果；（2）在代数式上除以，再结合弦化切可求得结果.【小问1详解】解：因为，则，原式【小问2详解】解：原式.19、（1），（2）餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别为，（3）答案见解析【解析】（1）根据频率的含义和性质列方程，即可解得：，；（2）根据平均数和方差的定义，然后运算即可；（3）平均数和方差在实际生活中的应用，平均满意度越高，就越会受到欢迎.【小问1详解】因为餐厅满意指数在中有30人，则有：解得：根据总的频率和为1，则有：解得：综上可得：，【小问2详解】设餐厅满意指数的平均数和方差分别为餐厅满意指数的平均数和方差分别为，则有：，，，，综上可得：餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别，【小问3详解】答案一：餐厅满意指数的平均数为，方差为，餐厅满意指数的平均数为，方差为，因为，所以推荐餐厅；答案二：餐厅满意指数在的频率为，在的频率为，餐厅满意指数在和的频率都为，所以推荐餐厅；（答案不唯一，符合实际情况即可）20、.【解析】利用对函数数的性质化简，利用一元二次不等式的解法，讨论，，三种情况，分别分析集合，再结合，解得的取值范围【详解】由，得，解得，即，由，得，当时，是空集，不满足，不符合题意，舍去；当时，，不满足，不符合题意，舍去；当时，解得，因为，所以的取值范围是.21、（1）见解析；（2）；（3）.【解析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值【详解】（1）任意,,因为,,所以，所以，即是“1距”增函数（2）.因为是“距”增函数，所以恒成立，因为,所以在上恒成立，所以，解