数学-河北省衡水中学2023届高三年级上册四调数学试题(解析版)

河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页，总分150

分,考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

一i（3—i）

Z一

1.已知2+i,则z在复平面内对应的点位于（）

A.实轴上B.虚轴上

C.第一、三象限的角平分线上D.第二、四象限的角平分线上

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的四则运算得出z=l+i，然后在利用复数的几何意义即可求解.

所以z在复平面内对应的点的坐标为（1,1）,位于第一、三象限的角平分线上.

故选：C.

2.已知向量q,6满足卜|=2,Z?=（l,l）,|a+Z?|=^0,则向量°在向量6上的投影向量

的坐标为（）

A.j,,曰］B.（1,1）C.（―1,一1）D.

V2V2

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据卜+0=M及相关公式求出a.b=2,再根据投影向量的计算公式即可求解.

【详解】由6得欠=屈万=0,则卜+0=行£新?=可，

即4+2+2a”=10，则。0=2,

_.,a-bb

所以向量a在向量6上的投影向量的坐标为（血）耐=6=（1/）.

b

故选：B.

3.在直角三角形ABC中，A=90,B=60,AB=2,则AB-BC=（）

A.-4B.4C.-8D.8

【答案】A

【解析】

【分析】根据数量积的定义即可求得结果.

【详解】因为A3C为直角三角形，且3=60°,AB=2,所以5C=4,

且(A3,BC)=120°,

uunuunUUQuum

所以ABgBC=ABgBCxcos120°=2x4x—4.

故选:A.

4.设A,B,C为平面内任意三点，则“A3与AC的夹角为钝角”是“|A3+AC|<Wq"

的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】设A3与AC的夹角为内网=c,|A牛"冈=a,利用利用数量积的运算

性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】设A3与AC的夹角为e|AB|=C,|AC|=/J,|BC|=a,

当AB与AC的夹角为钝角时，cos<0

因为|AB+AC[=«AB+AC¥=ylAB2+AC2+2AB-AC

=河+时+2网"cose

=A/C2+Z?2+2Z?ccos0，

|BC|=a=\/b2+c2-2bccos0,

所以,5+4。卜卜。卜

当回+码<国时*向+相，|哨

.2.2I.|2

所以A3+AC+2AB-AC<|BC|,

所以H+62+2Z?ccos0<b2+c2—2/?ccos9，

所以cosSvO,所以。为钝角或e=»,

所以“A3与AC的夹角为钝角”是“卜3+44<,。卜的充分不必要条件，

故选：B

5.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金

分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对

于该部分之比，黄金分割比为县1^0.618.其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽

2

然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的.如图，在矩形ABC。中，AC,

8。相交于点O,BF±AC,DHLAC,AE±BD,CG±BD,BE=BO-则=

2

B.1^HBA+^!LBG

210

C非-'RAJ-小RC

J--------zx/iH----------£>CTD.+—BG

21025

【答案】D

【解析】

【分析】由黄金分割比可得石0=避工3石，结合矩形的特征可用3G表示出80,再

2

利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.

【详解】在矩形ABC。中，由已知条件得O是线段EG中点，|A。|=||,|A/|=|BE

因5E=好匚BO,由黄金分割比可得EO=叵口BE=（叵。尸BO=上正BO，

2222

——.5-^5―5+J5

于是得BG=BO+OG=BO+EO=——B0,即有3。=——BG，

210

同理有AP=^^AO，而AO=30—34，即AF=+后BG—BA)

2210

=@5G-@匚3A,

52

hW^BF=BA+AF=BA+^BG-^R~BA=r^BA+GBG，

5225

所以BF=合正BA+旦BG.

25

故选：D

6.已知复数z满足z^+4E=5+ai，则实数。的取值范围为()

A.[-4,4]B.[-6,6]C,[-8,8]D.

[-12,12]

【答案】D

【解析】

【分析】设z=x+W，x，yeR，由复数相等，得出X，%。的关系式，消去X得到关于〉的一

元二次方程有实数解，利用A20,求解即可得出答案.

【详解】设Z=x+yi,%,ycR,则％2+y2+4i(%-yi)=5+ai,

整理得：x2+y2+4y+4xi=5+m,

所以，消去X得/+4y—5+幺=0,

4x=a16

(2、

因为方程有解，所以八=16-4J-5>0,解得：—12WaW12.

(16J

故选：D.

7.已知点P是AABC所在平面内点，有下列四个等式：

甲：PA+PB+PC=0^乙：PA(PA-PB)=PC(PA-PB)；

两网=网=同；T：PAPB=PBPC=PCPA-

如果只有一个等式不成立，则该等式为()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

【分析】先根据向量等式推导出甲中P为AABC的重心，乙中AABC为直角三角形，丙中尸

为母48。的外心，丁中产为AABC的垂心，故得到当AABC为等边三角形时，三心重合，此

时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.

【详解】甲：PA+PB+PC=0＞则PA+P8=_PC，故P为AABC的重心；

乙：PA（PA-PB）=PC（PA-PB）,则（PA-PB）C4=BAC4=0,故

AB1AC,即AABC为直角三角形；

丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故尸为AABC的外心；

T：PAPB=PBPC＞则（PA—PC）.PB=CA.PB=0,同理可得：

BAPC=CBPA=O＞即尸为AABC的垂心，

当AABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成

立时，其他三个均不一定成立.

故选：B.

8.对于给定的正整数〃，设集合X〃={1,2,3,,n},AcX„,且A#0.记/（A）为集

合A中的最大元素，当A取遍X”的所有非空子集时，对应的所有/（A）的和记为S（“），

则S（2023）=（）

A.2023X22023+1B.2023x22022+l

C.2022x22022+1D.2022x22°23+1

【答案】D

【解析】

【分析】根据/（A）的定义，推出S（〃）的表达式，再计算即可.

【详解】根据题意知A为集合X“的非空子集，满足/（A）=l的集合只有1个，即{1}；

满足/（A）=2集合有2个，即{2},{1,2}；

满足/（人）=3的集合有4个，即{3},{1,3},{2,3},{1,2,3）；……；

满足/（4）=〃的集合有2"T个，所以S（〃）=l+2x2+3x22++〃―2日，

贝ij2s（〃）=1x2+2x22+3x23++（w-l）-2n-1+«-2z,,

两式相减得—S（“）=l+2+22+...+2"T—〃.2"=2"—1—〃-2”,所以

S（〃）=（〃—D・2®+1,所以S（2023）=2022X22023+1；

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设非零向量a涉的夹角为6,c为任意非零向量，定义运算a*b=，・Wsin。，则下列结

论正确的是()

A.若a*b=o，则a//。B.a*(b+c)=a*b+a*c

C.2[a*b^(a»b^=a^bsin26>D.若忖=恸=1,则》*「的最大值

为1

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据a*匕的定义，以及向量运算规则逐项分析.

【详解】对于A,因为。*人=忖,卜足6,并且卜卜0,卜卜0,所以sin(9=0,解得

e=o或0=兀,所以〃///?，故选项A正确；

jr

对于B,不妨取a=(l,O)力=(O,l),c=(O,—l),设a与b的夹角，a与b+c

TT

的夹角为a,a与c的夹角为P=—，则

a*(/7+c)=忖・卜+。卜［口。=lxOxsino=0,

a*b+a*c=忖,卜^^+忖卜卜in/?=2,止匕时a*(b+c)wQ*/?+Q*C,故选项B错

误；

对于C,

l(a^b^(a^=2^|tz||/?|sin^j^||/?|cos^j=2|^||/?|sin^cos^=absin2^,故选项

C正确；

对于D,当H=W=1时，<2*/?=|^||/?|sin0=sin0<1,当且仅当6时取等号，所以

(a^b\=1,故选项D正确；

\/max

故选：ACD.

10.已知复数Z],Z2满足|4卜上快0,则下列结论正确的是()

A.若团=闯，则Z1=±Z2B.I4+Z2归㈤+闫

c.若卜卜同，则z；=z；口.卬2|=|马卜以2|

【答案】BD

【解析】

【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.

【详解】设4=l+z；z?=贝1Z]卜|z?|=z；=(1+1，？=27,z；=(V^z)=—2,

不满足Z]=±Z2，也不满足z；=z；,故选项AC错误；

对于B,设Z],Z2在复平面内对应的向量分别为OZpOZ2,且OZpOZ?/。，

由向量加法几何意义知[OZ]+OZ21mozi|+|OZ?],故，i+z2目zJ+闫，故选项B正

确；

对于D,设Z]=〃+bi,z2=c+di,a,b,c,deR,则

zxz2=(a+8z)(c+dz)=(ac(就+8c)i,

所以12仔21=y1(ac-bd)2+(ad+bcf=^/(«c)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2,

222

|-|z2|=y/a~+b»A/C+d=J(ac)2+(bd)2+(ad)。+(bc『=\^z2^,故选项D正

确；

故选：BD.

11.如图放置边长为1的正方形A3CD的顶点A,。分别在x轴的正半轴、,轴的非负

半轴上滑动，则08-OC的值可能是()

A1B.-1C.2D.-2

【答案】AC

【解析】

【分析】设NQ4D=6»,由边长为1的正方形A3CD的顶点A,。分别在x轴的正半轴、

,轴的非负半轴上滑动，可得出民C的坐标，由此可表示出两个向量，算出它们的内积即

可.

JT

【详解】设/。4。=/0＜。＜5),因为AZ)=1,所以Q4=COS。，

jr

OD=sin6,ZBAx=——0,

2

J[兀

故4=cos<9+cos(--^)=cos<9+sin<9,yB=sin(,一夕)=cos9,

所以OB=(cos0+sin0,cos0).

同理可得C(sinacos6+sin。),所以OC=(sin0,cos0+sin0},

所以OB-OC=(cos3+sin0.cos8)，sin6.cos6+sin6)=1+sin20.

jr

因为0W8<e，所以0Wsin26»Wl,则1<OROC<2，故03-0C的值可能是1，2.

故选：AC

12.已知函数“力及其导函数/■'(%)的定义域均为R,对任意的x,yeR,恒有

/(x+y)+/(x-y)=2/(x)•/(}；),则下列说法正确的有()

A./(O)=lB./'(%)必为奇函数

C./(x)+/(o)>oD.若/⑴=j则=3

，n=l，

【答案】BCD

【解析】

【分析】赋值法求/(0)的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断

B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得了(〃),〃eN*的值有周期性，即可求得

2023

Z/(〃)的值，判断D.

n=l

【详解】对于A,令x=y=0,则由/(x+y)+/(x—y)=2/(x)-/(y)可得

2/(0)=2/2(0),

故/(0)=0或"0)=1,故A错误；

对于B,当/(0)=0时，令y=0,则/(x)+/(%)=2/(x)"(O)=O,则/(x)=0,

故尸⑴=0,函数殁%)既是奇函数又是偶函数；

当"0)=1时,令％=0,则/(y)+/(-y)=2/(y),所以/(—>)=/(》),

/(九)为偶函数，则/«X)为奇函数；

综合以上可知必为奇函数，B正确；

对于C,令无=y,则/(2x)+/(o)=2/2(x),故/(2X)+〃0)N0.

由于xeR,令f=2x/eR,即/«)+/(0)20,即有/(%)+/(0)20,故C正确;

对于D,若/(l)=g,令x=l,y=O，则/(l)+/(l)=2/(l)-/(o),则/(0)=1,

故令x=y=l,则〃2)+〃0)=2尸⑴，即/(2)+l=g,:./(2)=—

令x=2,y=l,则/(3)+/(1)=2/(2>/(1),即/(3)+g=—g,:./(3)=-1,

令x=3,y=l,则/(4)+/(2)=2/(3)・〃1),BP/(4)-1=-I,.'./(4)=-1.

令x=4,y=l,则/(5)+/(3)=2/(4)"⑴，即/⑸―1=/(5)=；,

令x=5,y=l,则/(6)+〃4)=2/⑸"⑴，即/⑹—；=/⑹=1,

令x=6,y=l,则/(7)+〃5)=2〃6)"⑴，即/⑺+；=1,二〃7)=；，

L

由此可得/(〃),“eN*的值有周期性，且6个为一周期，且

/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

20231

故Z/⑺=337x"⑴+/(2)+/(3)+f(4)+/(5)+/(6)]+/(1)=-,故D正确，

n-\2

故选：BCD

【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问

题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定/(〃),〃eN*的周期性.

第II卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知.zT=i,则z的虚部是

1+z

3

【答案】-##0.6

【解析】

【分析】由复数的概念与四则运算求解

1+i_(l+i)(2+i)l+3i

【详解】由题意化简得(2—i)z=l+i,

2^i-(2-i)(2+i)5

3

故z的虚部是g,

3

故答案为：-

14.若函数/(x)=asinY+cosx的图像关于直线％=工对称，贝.

6

【答案】B

3

【解析】

【分析】由题知/4]=±，片+1,进而解方程即可得答案.

【详解】解：因为函数〃x)=asiiu+cos%的图像关于直线兀=工对称，

6

所以函数/(x)=asinx+COSX在X=工时取得最值，

6

所以，结合辅助角公式得：/^=+4^71,即3。+/=±篇工，

整理得：3a2—2瓜+1=(氐—1)2=0,解得。=等.

故答案为：B

3

15.在JRC中，|43卜,。卜,3—P是线段上的动点，有下列三个结论：

①2网24可叫；②ABAC3APAC；③ABAP2AC”.则所有正确结论的序

号是.

【答案】①

【解析】

【分析】根据条件知是等边三角形，建立直角坐标系，用平面向量逐项分析.

【详解】因为AC|=『@,所以是等边三角形，取sc的中点

为。，

连接AO,以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角

坐标系如图，

二

设画=2,则A(0,⑹，3(—1,0),C(l,0),P(x,0)(-l<x<l),

所以4「=1,_百),45=(-1,—百)，AC=(l,->/3),

(2|AP|)2-(73|AB|)2=4(X2+3)-3X(1+3)=4X2>0，SP2|AP|>V3|AB|,

故①正确；

AB-AC-AP-AC=-l+3-(x+3)=-l-^e[-2,0],故②错误；

AB-AP-AC-AP=-x+3-(x+3)=-2xe[-2,2\,故③错误；

故答案为：①.

16.已知向量a,b,c,满足卜|=1,b=-2a,|c-^|=2|c-«|,则向量c-b与q的夹角

的最大值是.

IT

【答案】一##30°

6

【解析】

【分析】根据条件化简整理可得a.(c-6)=(c-6：+12,然后利用向量的夹角公式和均值

不等式即可求解.

[详解]由卜_目=2卜_。,得卜=2k.

又由6=_2q,得21(c—匕)_34=k—目，则4[(Z—Z?)2—6a.(Z—>)+9a[=(c—B)2，

即(c—6)2—8a.(c—6)+12=0,即q.(c—6)=(°一切十口,

8

所以a.(c-b)_(c-b)2+122&2(c-b)2一百

所以cos<a,c­D>—-p-rir—ii—nii-r-，

|6z||c-Z?|8,-48卜-,2

71

当且仅当(c-b)2=12时取等号，所以向量c-b与〃的夹角的最大值是：.

6

71

故答案为：

6

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.设复数4=l-i,Z2=cos6+isin。，其中6e[0,乃].

(1)若复数Z=]」2为实数，求。的值；

⑵求|Zi+Z21的取值范围.

【答案】(1)吟

4

(2)[72-1,75]

【解析】

【分析】(1)利用复数的乘法运算法则计算可得z=(cos。-Sind)+(cos6»+sin6»)i,再

列出等量关系cos8+sine=0,求解即可；

(2)先计算k+l=，3+20cos(，+£),结合。目0,可和余弦函数的性质，分析即

得解

【小问1详解】

由题意，z=Z1•Z2=(1+i)•(cose+isin。)=(cos0-sin9)+(cos0+sin6)i

若复数z=4匕2为实数，则cose+sin6=0

故tan(9=—l,

37r

解得：d-

4

【小问2详解】

由题意，Z[=l-i,Z2=cos6+isin。

|z1+z2|=|(l-i)+cos^+isin^|=|(1+cos6)+(—l+sin6)i\

=J(1+cos8)2+(-1+sinJ)=,3+2cos，-2sin8

=j3+20cos(，+?)

由于6e[0,万I，故6+ge9,苧

L」444

故—iwcos（e+：）〈

故0-1=）3-20#+z2K6

故归+z2|的取值范围是h/J-1,J?]

18.在，RC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知一ABC的外接圆半径

R=y/2>且tanB+tanC=夜‘由".

cosC

（1）求8和b的值；

（2）求面积的最大值.

7T

【答案】（1）B=—,b=2；

4

⑵1+V2

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得包0+皿£=立包4,再由正弦

cosBcosCcosC

的和角公式化简可求得8,再利用正弦定理可求得b；

（2）由余弦定理得4=/+C?—y/2ClC9利用基本不等式得改<2（2+0）,由三角形的

面积公式可求得答案.

【小问1详解】

即八厂V2sinA匚口、[sinJBsinCv2sinA

解：因为tanB+tanC=^------,所以-----+------=--------，

cosCcosBcosCcosC

sinBcosC+cosBsinC=0sinAcosB，即sin（B+C）=A/2sinAcosB，

因为A+JB+C=»,所以sinA=0sinAcosB，

又sinAwO,所以COSB=YZ,所以3=工，

24

又一ABC的外接圆半径R=行，所以由正弦定理一竺=2氏得6=2x后xYZ=2；

sinB2

【小问2详解】

解：由余弦定理方之=4+。2—2accos_B得4=a2+c2-叵ac，

由基本不等式得4=/+°2—缶c^2ac—缶c（当且仅当时取等号），所以

acW2}=2（2+回（当且仅当a=c时取等号），

所以sABC=gacsin3=¥ac<¥x2（2+J5）=l+（当且仅当时取等

号），

故，ABC面积的最大值为l+也.

JT

19.如图，在平行四边形ABC。中，AB=2,AD=3,ZBAD=-,E为C。中点,

AF=AAD，（0<2<l）.

（1）若AE_LBF，求实数X的值；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）—；

21

⑵卜4_.

【解析】

【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，依题意可得/（340）,从而得到

AE,5尸的坐标，再根据即可得到AE-B/nO，根据平面向量数量积的坐标

表示得到方程，解得即可；

（2）依题意可得BRFE的坐标，根据向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可

得.

【小问1详解】

TT

在平行四边形A3CZ）中，AB=2,BC=AD=3,ZBAD=-,

建立如图坐标系,

BA>v

AFD

则A(0,0),£)(3,0),B(1,V3),C(4,A/3),

£为3点,故£号

AF=A.AD,故尸(34,0),

.1AE=\，用，BF=(3A-l,-s/3),

AE±BF>-■-AEBF=0>

所以个(3/1_1)+曰*(一扬=0,

...2=12;

21

【小问2详解】

由⑴可知，5(1,73),尸(340),?|

所以8尸=(3彳-1,-右)，下£=1-3几日)，

3

BF-FE=(3A-1)|--3A|--=-922+—2-5,对称轴为九二一.

\2J224

«1,当4=2时，8下.庄的最大值为-L

416

当4=0时，最小值为一5,

所以BCFEe-5,^.

20.若函数/(X)=加+法2-3x+c为奇函数，且在(—8,—1)上单调递增，在(—1』)上

单调递减.

⑴求函数/(%)的解析式；

(2)若过点4(1,m)(加W—2)可作曲线y=/(x)的三条切线，求实数机的取值范围.

【答案】(1)f(x)=^-3x

(2)//Ie(-3,-2)

【解析】

【分析】(1)根据函数的奇偶性求出Z?=0,c=0,由函数单调性，利用导函数求出

a=l,确定函数解析式；

(2)点4(1,不在曲线上，设切点为〃(为，兀)，根据导函数的几何意义与斜率公式列

出方程，得到2%3_3婕+根+3=0,设g(/)=2/3—3/2+m+3,通过研究其单调性，

极值情况，求出加的取值范围.

【小问1详解】

因为函数为奇函数，则/(一%)=-依3+区2+3*+0=-/(%)=-依3一区2+3%一0,故

Z?=0,c=0,

又因为函数/(九)在(-8,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，

所以/(%)在X=—1处取得极大值，

因/,(x)=3ta2-3,

所以/'(—1)=0,即3a—3=0,

解得：。=1,经检验符合题意，所以/(x)=V-3x.

【小问2详解】

f\x)=3%2-3=3(%+1)(%-1),因为曲线方程为y=d—3x,m丰—2,

点A。/")不在曲线上，设切点为〃(毛，几)，则点〃的坐标满足为=%3-3%，

因为/'(%)=3(/2—1),故切线的斜率为3(52-l)=X°3~3%0~m,

整理得：2;^-3/2+“2+3=0,

因为过点4(1,m)可作曲线的三条切线，所以关于％的方程有三个实根.

32

i^g(x0)=2x0-3x0+m+3,则g1%)=6/2-6%,

由g'(x())<0，得0</<1,

g'(x0)>0,得不<。或%>1,

所以g(%)在(―8,0),(L”)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

所以函数的极值点为%=0,尤0=1,

[g(o)>o

所以关于修的方程有三个实根的必要条件是二八，

[g⑴<0

解得：一3<加<一2,

又当王)=-1时，g(-l)=-5+m+3<-4<0,

当=2时，g(2)=4+m+3>4>0,

所以-3(加<-2时，必有三个实根，

故所求的实数加的取值范围是加3,-2).

【点睛】过函数上某一点的切线条数，转化为函数零点个数问题，构造函数，通过求导研

究函数单调性，极值和最值情况，从而解决问题.

21.治理垃圾是S市改善环境的重要举措.去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大

宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年

减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%.

(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数〃("eN*)的表达式；

(2)设4为从今年开始w年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降

趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有

效，并说明理由.

200-20H,1<n<5

【答案】⑴an3

,n>6

(2)有效，理由见详解

【解析】

【分析】(1)分别求出当〃W5时和〃26时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达

式；

(2)先根据4=｝,利用作差法，可证明数列｛4,｝为递减数列，即年平均垃圾排放量

呈逐年下降趋势

【小问1详解】

设治理九年后，S市的年垃圾排放量构成数列｛4｝.

当〃W5时，｛%｝是首项为q=200-20=180,公差为—20的等差数列，

所以%=%+(〃—l)d=180—20(〃—1)=200—20〃；

3

当时，数列｛4｝是以。5为首项，公比为工的等比数列，

所以。“=%广5=100x(；),

所以，治理九年后，S市的年垃圾排放量的表达式为

200-20n,1<n<5

%一<100义[],n>6

【小问2详解】

设5“为数列｛4｝的前〃项和，

q

则4=-.

n

S,S几+

由于4+，八

〃+1n矶〃+1)

/⑸+4+])-(〃+l)S“

=%+1—S,

=(a"+i4)+(a“+ig)+…+(4+1-a”)

由(1)知，

时，an=2Q0-20n,所以｛4｝为递减数列，