第8讲 平行线的性质与用尺规作角 七年级数学下册同步讲义

第8讲平行线的性质与用尺规作角

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1.掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；

2.了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；

3、理解尺规作图的含义；

4、能用尺规作一些基本的图形；

5、通过尺规作图的理解进行一些线段和角的计算。

视知识幡井

知识点Ol平行线的性质

一、平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：

(1)“同位角相等、内错角相等“、"同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两

直线平行”.

(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.

二、平行的传递性

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

三、两条平行线的距离

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

的距离.

要点诠释：

(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条

平行线的距离.

(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的

距离处处相等.

【知识拓展1］（2021秋•本溪期末）如图，将一个含有30°角的直角三角板放置在两条平行线小6上，若

Nl=Il5°,则/2的度数为（）

【即学即练1】（2021秋•成都期末）如图，直线AB〃C£>,点E在AC上，若∕A=130°,ZD=20o,则

【即学即练2】（2021秋•武侯区期末）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知直尺的对边平

【即学即练3］（2021秋•普宁市期末）如图，在△£）£尸中，点C在力尸的延长线上，点B在EF上，且AB

A.60°B.30oC.90°D.80°

【即学即练4】（2021秋•铁西区期末）如图，AB//CD//EF,若NA8C=125°,ZCEF=105°,则/BCE

的度数为一.

【即学即练5]（2021秋•宽城区期末）如图，直线机〃若Nl=40°,/2=30°,则N3的大小为度.

【知识拓展2】（2021秋•成都期末）如图，AE//BC,且NABO=∕AQB,NDAE=NE,若∕A8C=63°,

求NDBC的度数.

【即学即练1]（2021秋•宝安区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图，从

光源P点照射到抛物线上的光线布，PB等反射以后沿着与直线尸尸平行的方向射出，若NCAP=α,Z

O8P=β,则NAPB的度数为（）

A.2aB.2βC.a邛D.ɪ(a+β)

【即学即练2】（2021秋•香坊区期末）如图，AD//BC,NC=30°,AADB-.NBDC=I:2,NEAB=72°,

以下四个说法：

ΦZCZ）F≈30°；②乙4OB=50°；③乙480=22°；④∕CBN=108°；其中正确说法的个数是（）

C.3个D.4个

【即学即练3】（2021秋•道里区期末）如图，AB//CD,AO与BC相交于点尸，BE平分NABC,OE平分/

ADC,NAFB=96°,则NBEO的度数为度.

【即学即练4】（2021秋•罗湖区期末）请解答下列各题：

（1）阅读并回答：

科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相

等.如图1,一束平行光线AB与OE射向一个水平镜面后被反射.此时N1=N2,Z3=Z4.

①由条件可知：Nl=/3,依据是,Z2=Z4,依据是.

②反射光线BC与EF平行,依据是.

（2）解决问题：

如图2,一束光线〃?射到平面镜α上，被α反射到平面镜6上，又被匕镜反射，若匕射出的光线"平行

于Wb且Nl=42°,则N2=；N3=.

【即学即练5】（2021秋•南关区期末）如图，AB//DC,ACVBC,AC平分ND4B,ZB=50o,求/

力的大小.

阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）.

解：∖'AB∕∕DC（）,

ΛZβ+ZDCβ=l80o（）.

;NB=（已知），

ΛZDCB≈180o-N8=180°-50°=130°.

,JACLBC（已知），

ΛZACB=（垂直的定义）.

/2=.

'：AB//DC（已知），

ΛZ1=（）.

；AC平分NoAB（已知），

.∙.∕D4B=2N1=（角平分线的定义）.

∖,AB∕∕DC（已知），

/.+ZE>Aθ=180°（两条直线平行，同旁内角互补）.

二/0=180°-ZDAB=.

【即学即练6】（2021秋•长春期末）已知AM〃CN,点8在直线AM、CN之间，ABJ_BC于点8.

（1）如图1,请直接写出/A和NC之间的数量关系：.

（2）如图2,/A和/C满足怎样的数量关系？请说明理由.

（3）如图3,AE平分NM4B,CH平令∕NCB,AE与CH交于点G,则NAG”的度数为

知识点02用尺规作角

1.作图一尺规作图的定义

(I)尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不

同的平面几何作图题.

(2)基本要求

它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同.

直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上

画刻度.

圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度.它只可以拉开成你之前构造过的长度.

2、作一个角等于已知角

作一个角等于已知角的主要作用是作三角形和作平行线等.

利用尺规作一个角等于已知角.

已知：NAo8(如图2-4-22所示).

求作：N4OE，使N4OE=NAoA

图2—4一22

作法：

⑴如图2-4-23所示，作射线0'B'∙.

(2)以点0为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点C；

(3)以点。，为圆心，以OC长为半径作弧，交于点C；

(4)以点C为圆心，以CQ长为半径画弧，交前面的弧于点D'；

(5)过点D作射线07V.

则2406就是所求作的角.

,,

AA

Dy

OrCBO'7CΓB,

图2—4一23

【知识拓展H（2021秋•无为市期末）下列尺规作图的语句正确的是（）

A.延长射线AB到。

B.以点。为圆心，任意长为半径画弧

C.作直线A8=3””

D.延长线段AB至C,使AC=BC

【即学即练1］（2020秋•大连期末）下列作图语句中，叙述正确的是（）

A.延长线段AB到点C,使BC=48

B.画直线AB的中点C

C.画直线AB=6c,"

D.延长射线OA到点8

【即学即练2］只用的直尺和进行的作图称为尺规作图.

【即学即练3】（2021春•铁岭月考）下列作图语句错误的个数是（）

①以点O为圆心作弧；②延长射线OM到点A;③延长线段A3到C,使8C=AB；④过三点A,B,C

作直线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练4】（2021春•龙口市月考）下列画图语句中，正确的是（）

A.画射线OP=3cmB.画出A、B两点的距离

C.延长射线。4D.连接A、B两点

【即学即练5］（2011春•巴东县校级期末）作图题的书写步骤是、、,而且要画

出,写出,保留.

【即学即练6］（2019秋•成安县期末）下列画图语句中，正确的是（）

A.画射线OP=3。”B.连结A、B两点

C.画出直线AB的中点D.画出A、B两点的距离

【即学即练7］（2018秋•宁阳县期末）下列语句是有关几何作图的叙述.

①以。为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作/AOB,使NAOB=Nl;④作直线AB,使AB="；

⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线.其中正确的有.（填序号即可）

【即学即练8】如图，利用尺规，在AABC的边AC上方作/CAE=NACB,在射线AE上截取AO=8C,

连接C£>,并证明：CD〃AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

_______________-C

一

【即学即练9】下列语句表示的图形是（只填序号）

①过点0的三条直线与另条一直线分别相交于点8、C、。三点：—.

②以直线AB上一点。为顶点，在直线4B的同侧画NAOC和NB0。.

②过。点的一条直线和以。为端点两条射线与另一条直线分别相交于点以C、。三点：.

U能力拓展

类型一、平行线的性质

例1、如图，己知AB〃CD,AP平分NBAC,CP平分NACD,求NAPC的度数.

【变式】如图，直线AB〃CD,ZC=44o,NE为直角，则Nl等于（）

A.132°B.134°C.136°D.138°

类型二、两平行线间的距离

例2、如图，已知，h〃12,Cl在h上，并且CιAL12,A为垂足，C2,C3是11上任意两点，点B在12上.设

△ABC1的面积为Si,4ABC2的面积为S2,4ABC3的面积为S3,小颖认为S1=S2=S3,请帮小颖说明理由.

【变式】下图是一个方形螺线.已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.

类型三、平行的性质与判定综合应用

例3、如图所示，在长为50m,宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2m的道路，余下的部分种植花草,

求种植花草部分的面积.

【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地.根

据图中数据，可得耕地的面积为（）

①

A.600m2B.55Im2C.55Om2D.5OOm2

例4、如图所示，NABe的边BC与NDEF的边DE交于点K,下面给出三个论断：①NB=NE；②AB〃

DE；③BC〃EF.请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人''试说明"

栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来.

已知：如图所示，/ABC的边BC与/DEF的边DE交于点K,,,试说明

【变式】已知，如图，Z1=Z2,Z3=65°,则/4=.

17\4

/EFT

例5、如图，AB/7CD,点M,N分别为AB,CD上的点.

(1)若点P在两平行线内部，NBMPl=45°,NDNPl=30°,则NMPlN=

(2)若Pι,P2在两平行线内部，且PιP2不与AB平行，如图，请你猜想∕AMPι+∕P∣PzN与NMPlP2+/

PzND的关系，并证明你的就论；

(3)如图，若P∣,P2.P3在两平行线内部，顺次连结M,Pι,P2,P3,N,且PιP2,P2P3不与AB平行,

直接写出你得到的就论.

D

【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角/A是120。，第二次拐的角

ZB是150°,第三次拐的角是NC,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则/C是（）

A.120oB.130°C.140oD.150°

类型四：尺规作图的定义

例6.下列作图属于尺规作图的是（）

A•用三角尺作AB的平行线

B∙用刻度尺画线段AB=3c∙m

C-用直尺和圆规作直线AB的平行线

D■用量角器画/4。B的平分线OC

类型五：作一个角等于已知角

例7.如图2—4—24所示，已知NAoB，求作NCBO，使NCBo=NAoB，交。4于点C.

类型六：作已知角的和、差、倍

例8.如图2-4-25所示，已知∕α，Z/?＞求作一个角，使它等于∕α与∕夕的和.

羔分层提分

题组A基础过关练

选择题（共5小题）

I.（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知ZA=45o,Z2=100°,则Nl的度数为（）

A.50oB.55oC.45oD.60°

2.（2020秋•历下区期末）如图，将长方形纸片ABC力沿对角线B。折叠，点C的对应点为E,若NCBD=

35°,则NAFB的度数为（）

E

4.下列画图语句中，正确的是（）

A.画射线OP=357B.画出A、B两点的距离

C.画出4、B两点的中点D.连接A、B两点

5.在下列各题中，属于尺规作图的是（）

A.利用三角板画45°的角

B.用直尺和三角板画平行线

C.用直尺画一工件边缘的垂线

D.用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段

二.填空题（共3小题）

6.（2021秋•道里区期末）如图，NAoB内有一点P,过点尸画PC〃O8,PD//OA,NAoB=60°,则/

CPO的度数为度.

7.（2019秋•辉县市期末）一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于4,8平行于地面AE,那么

ZABC+ZBCD=.度•

/i

AR

8.（2020秋•石狮市期末）如图，AB//CD,NEGB=50°,则/C”G的大小为

Ξ.解答题（共4小题）

9.（2021秋•临漳县期末）探究：如图①，DE//BC,EF//AB,若∕ABC=50°,求NoEF的度数.

请将下面的解答过程补充完整，并填空.

解：因为DE:〃8C,

所以/OEF=().

因为EF//AB,

所以=ZABC().

所以/OEF=/ABC(等量代换).

因为NABC=50°,

所以NQEF=°.

应用：如图②，DE//BC,EF//AB,若∕ABC=65°,求NDEF的度数.

10.（2021春•原州区期末）如图，AD∕∕BC,/C4E的平分线是AO,ZC=65o.请你计算出ND4E、Z

CAB和/8的度数.

11.（2021春•敦化市期末）如图，已知：AE//BF,ZA^ZF,证明：ZC=ZD.

12.（2021春•南丹县期末）如图，在aABC中，点。、E、尸分别在边AB、AC.CB上，KDE//BC,EF

//AB,若NABC=65°,求NOEF的度数.请将下面的解答过程补充完整：

解：∖'DE∕∕BC（）,

ΛZDEF=ZCFE(),

'JEF∕∕AB,

NCFE=NABC(),

：.NDEF=NABC().

VAABC=65°,

/.NDEF=.

题组B能力提升练

一.选择题（共6小题）

1.（2020秋•南岸区期末）如图，。是NABC的边BC上一点，DE//BA,NeBE和NSE的平分线交于点

F,若NF=a,则NABE的大小为（）

A.aB.ɪɑC.2aD.ɪrɪ

22

2.（2021秋•上思县期中）如图所示，AB//DE,且∕E=55°,则N2+NC的度数是（）

3.（2021•临沐县模拟）如图，已知AB〃CZ）,NA=56°,NE=I8°,则/C的度数是（）

AB

A.32°B.34oC.36°D.38°

4.（2021•河南模拟）将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线若/1=65°,则/2的度数为（）

A.45oB.50°C.55°D.60°

5.（2021秋•常州期中）下列作图语句正确的是（）

A.连接AO,并且平分NBACB.延长射线AB

C.作NAoB的平分线OCD.过点A作A8〃CQ〃EF

6.下列作图不是尺规作图的是（）

A.用直尺和圆规作线段“等于已知线段

B.用直尺和圆规作一个角等于己知角

C.用刻度尺和圆规作一条IOCm的线段

D.用直尺和圆规作一个三角形

二.填空题（共4小题）

7.（2021秋•南岗区期末）如图，m∕∕n,l±n,垂足为点A,I交m于点B,点C在直线〃上，请在直线机

上取一点。，连接CD,过点。作OE_LCO交直线/于点E,若NBED=60：则/ACD=度.

如图,a∕∕b,Zl=/2,Z3=40o,则/4等于度.

a

2

1

3

把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若Nβ=56°,则Na=

10.（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点8、C分别落在点〃、

N的位置，且NAFM=」/£7物，则/NEO=

≡.解答题（共4小题）

11.（2021秋•农安县期末）已知直线AB〃C£>,P为平面内一点，连接孙、PD.

（1）如图I,已知NA=50°,/0=150°,求NAP。的度数；

（2）如图2,判断/B4B、ZCDP.NAP。之间的数量关系为.

（3）如图3,在（2）的条件下，AP±PD,DN平分NPDC,若NΛ4N+JιNA¾B=NAPD,求乙AND的

2

度数.

12.(2021秋•嵩县期末)己知一角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系，并说

明你的结论.

(1)如图1所示，AB//EF,BC//DE,则/1与/2的关系是：

(2)如图2所示，AB//EF,BC//DE,则/1与/2的关系是；

(3)经过上述探索,我们可以得到一个结论(试用文字语言表述)：；

(4)若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°,则这两个分别是多少度？

13.(2021秋•虎林市期末)(1)如图(1),AB//EF.求证：NBCF=NB+NF.

(2)当点C在直线BF的右侧时，如图(2),若AB〃EF,则NBeF与NB、NF的关系如何？请说明

理由.

14.(2020秋•开江县期末)当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如：

在图①、图②中都有Nl=N2,Z3=Z4.设镜子AB与BC的夹角∕ABC=α.

(1)如图①，若a=90°,判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由.

(2)如图②，若90°<a<180o,入射光线E尸与反射光线GH的夹角/HWH=β.探索a与β的数量

关系，并说明理由.

(3)如图③，若a=130°,设镜子CD与BC的夹角NBC。为钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角/

l=x(0o<Λ<90O).已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过〃(”为正整数，且"W3)次反射，

当第〃次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出/BCQ的度数(可用含X的代数式表示).

题组C培优拔尖练

选择题(共1小题)

1.（2021春•红谷滩区校级期末）如图，将长方形4BCD沿线段EF折叠到EBeF的位置,若NEFC=IO（）°,

二.填空题（共7小题）

2.（2021秋•香坊区校级期中）已知AB〃C。，ZACD=60o,ZBAE：ZCAE=2:3,NFCD=4NFCE,

3.（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若NEFB=32°,

则下列结论：①NeE尸=32°；②/AEC=1480'；③∕8GE=64°；④NBF£）=116°.正确的有个.

4.（2021春•涡阳县期末）如图，AB//CD,PzE平分NPiEB,PzF平分NPiFD,若设∕PE8=x°,NPIFD

=y°则/Pi=（x+v）度（用X,y的代数式表示），若∕⅛E平分/尸2所，尸3尸平分/尸2尸。，可得N

尸3,P4E平分NP3EB,RiF平分NP3FQ,可得NR…，依次平分下去，则NG=度.

5.（2021春•辛集市期末）把一张长方形纸片428沿EF折叠后ED与BC的交点为G,D、C分别在M、

N的位置上，若∕EFG=49°,则N2-∕l=.

E

6.（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，宜徵GH"MN,现将三角板ABC绕点A以每秒

1°的速度顺时针旋转，同时三角板。EF绕点。以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为r秒，如图2,

ZBAH=t°,∕FCM=2f°,且OWfWl50,若边BC与三角板的一条直角边（边。E,DF）平行时，则

所有满足条件的t的值为.

7.（2021春•钦州期末）如图，已知A8〃C£>,BE、OE的交点为E,现作如下操作：第一次操作，分别作

N4BE和NCDE的平分线，交点为Ei,第二次操作，分别作NABEi和NC。El的平分线，交点为及，

第三次操作，分别作/ABE2和NCf>E2的平分线，交点为出,…第，7（〃》2）次操作，分别作N4B&J

和∕CQE"j的平分线，交点为E”,若NE,=α度，则NBEQ=度.

8.（2021春•奉化区校级期末）如图，AB//CD,NOCE的角平分线CG的反向延长线和/ABE的角平分线

B尸交于点F,NE-NF=33°,则/E=.

≡.解答题（共5小题）

9.（2021秋•农安县期末）如图，点P是NAOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；

（1）过点P画OA的垂线，垂足为H-.

（2）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离.线段PC、

PH、OC这三条线段大小关系是（用号连接）

10.（2021秋•南岗区校级期中）已知，AB〃DE,点C在AB上方,连接BC、CD.

（1）如图1,求证：NBCD+NCDE=NABC；

（2）如图2,过点C作CF