2023年新高考数学大一轮复习41 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题（解析版）

专题41定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题

【题型归纳目录】

题型一：定比点差法

题型二：齐次化

题型三：极点极线问题

题型四：蝴蝶问题

【典例例题】

题型一：定比点差法

例1.已知椭圆C:£+/=l(α>b>O)的离心率为"，过右焦点F且斜率为％(Ar>O)的直线

与C相交于A,B两点，若AF=3FB,求k

【解析】由e=且，可设椭圆为X+y2=>(〃Ο0),

24-

设A(Xl，X)，β(x2,y2),F(6m,0),由4/=3尸8,

风二Λ±⅛

x+3X=4xβm

所以1+3=,l2

OJ+3%j1+3%=0

1+3

X2

--1

-+城=W2(I)22

4+yl=W(I)

又

—<

2按/1配型(2)x9<

‰-

-2222

4+y2=W(2)+9γ2=9m(3)

由(])-(3)得+3*丁__⅛2+(y+3%)(χ_3%)=_8机2nχ∣_3&=_^2机，

又占+3当=4岛Inx=苧机n4号，士手).

又尸(√‰z,0)n%=±√∑.

例2.已知工+∙=1,过点P(0,3)的直线交椭圆于A,B(可以重合)，求地取值范围.

94∖PB∖

[解析】设A(Xi,y),B[x2,y2),P(0,3),由AP=λPB,

X+/Uo

0n=-1--------

x+λx=0

所以41+412

3=Λ1⅛X+2必=3(1+2)

1÷Λ

,(4√+9√-36(l)2

4√+9y1=36(1)

田4c、酉己比(2)X无，

222222

4x,+9y2=36(2)4ΛX2+9ΛJ2=36(3)

2

由(1)-(3)得：=^>4(x1+ΛX2)(X1-AX7)+9(J1+Ay9)(y1—λγ2)=36(1-ΛJ

4(1-2)13+5/1

n()l一，％)=—;—'乂M+4%=3(1+4)=y∣=--—>

ɔO

又y∈[-2,2]nl∈-ʒ,-ɪ，从而g"=∣4∣∈-.5.

ljL5」IPBlrL5」

22

例3.已知椭圆A∙+1~=l的左右焦点分别为耳，F2,A,B,P是椭圆上的三个动点，且P£=∕16A,

PB=*B若4=2,求〃的值.

【解析】设P(Xo,%)，A(x1,y1),5(x2,%)，，由AE=九耳P，=〃月「得

X+λx

-C=--G--------λ

1÷Λ/+Λx∣=—C(I+4)

①£(—c,0)满足<

o=A±∆Λy0+Λy1=0

1+4

x+μx

C—012

1+A⅞+Pχ2=-C(1+A)

E(c,0)满足，

o=%+s%+〃%=O

1+〃

2

2%

⅞22

7-+一=1O)⅝+⅜=l(1)

②22

—⅛一ab~

2城n<

⅛

-一与+誓=万(

2+=1(2)3)

42

⅛Iab~

③由⑴-⑶得：(X。-M)I>+♦)+(.%-孙)Q'。+)'XJ=JzI2

a2厅

口%离答等)._又ZI)

(1-Z)(l+Λ)C

222222)2

-CT—C~-G~4~C~l-ITz∏fC6Z--C~Cl~+C~

=>2x0=---------λ--------,同理fn可r得2%=------------μ+---------

CCCC

22))22

cΓ—c~/.ʌʌcι~+c~/∖c4~+c~

=>--------(2+4)=2-----------n(20+〃)=2•-----7=1i0λ=〃=8o.

题型二：齐次化

例4.已知抛物线Uy2=4X,过点(4,0)的直线与抛物线。交于尸，。两点，O为坐标原点.证明:

ZPOQ=9().

【解析】直线PQ：x=my+4,尸(XI,χ),Q(X2，丫2)

由x=my+4,得I=———

x=my+4X-ivy

则由■,,,得：y=4x∙

y"=4x4

整理得：+mj-l=O,即:A.A=-I.

%X2

所以kop∙kθQ-2=—1,

XX2

则OP_LoQ,即：NPOQ=90°.

例5.如图，椭圆E:]+y2=i,经过点Λ∕(l,l),且斜率为&的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均

异于点A(0,-l),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.

【解析】设直线PQ:IWC^-n(y+1)=1,Pa,X),Q(X2，%)

则/7?+2«=1.

mx+n{y+1)=1

由炉,

∙y+y=1

得：∙^-+[(y+l)-l]2=1•

2

则-^-+(y+l)2-2(y+V)[nvc+π(y+l)]=O,

故(l-z/)(ɪiɪ)-2”(∙^)+:=0.

所以正1+3=3L=2.

X1x22n-1

即怎「+砥2=3+-=2-

XX?

例6.已知椭圆C：E+V=1,设直线/不经过点/>(0,1)且与C相交于A,B两点.若直线AA与直线RB

4

的斜率的和为一1,证明：直线/过定点.

【解析】设直线∕nnr+"(y-l)=l..........(1)

由C：二+V=1,得上+[(y-l)+l]2=ι

44

2

即：—+(y-l)2+2(γ-l)=0..........(2)

4

2

由(I)(2)得：—+(ʃ-1)2+2(y-1)[≡+n{y-1)]=O

整理得：(1+2〃)(匕!■]+2m∙)二

∖XJX4

必一

贝mιl..Y-112m.

UkPtιA+kpIiDB=-----+——=---1--.--C--=-1，

xlx21+2n

则2机=2及+1,代入直线/:mx+〃(y-I)=1,得：/:(2〃+l)x+2〃(y-l)=2

显然，直线过定点(2,-1).

题型三：极点极线问题

例7.已知椭圆M：Ξ1+Z=I(a>⅛>O)过A(-2,O),B(0,1)两点.

a2h2

(1)求椭圆M的离心率；

(2)设椭圆M的右顶点为C,点P在椭圆M上(P不与椭圆M的顶点重合)，直线AB与直线CP交

于点。，直线BP交X轴于点5,求证：直线SQ过定点.

【解析】(1)因为点4(-2,0),B((U)都在椭圆〃上，

所以α=2，b=∖•

所以22

C=^a-h=λ∕3,

所以椭圆M的离心率e=£=虫.

a2

(2)由(I)知椭圆M的方程为三+y2=1,C(2,0)•

4-

由题意知：直线相的方程为x=2y-2.

设

P(Λ0,%)(>'0≠O*J0≠±1)>Q(2yβ-2,yβ),S(x5,0)•

因为C,P,Q三点共线，所以有CP〃CQ，CP=(占一2,%),。。=(2%—2-2,%)，

所以

(XO-2)yβ=%(2ye-4).

所以犷获三.

所以°(?。+2%-±.4%

2%-x0+22y0-x0+2

因为3,S,P三点共线，

所以一L=生口，即七=_^.

_XS⅞1-%

所以S(」」,0).

If

4%+2--4Λ0

所以直线QS的方程为X=2%T嗽Fy+之一，

2y0-⅞+2

s∣jX=X；4);-4%%+8%-4+%

4%(1-%)ɪ-ʃo

又因为点尸在椭圆M上，所以％2=4-4%2.

所以直线QS的方程为X=2一2%一/一一])+2

ɪ-ʃo

所以直线QS过定点(2,1).

例8.若双曲线/_>2=9与椭圆c：W+£=i3>b>o)共顶点，且它们的离心率之积为3.

CTb13

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆C的左、右顶点分别为A，A2,直线/与椭圆C交于P、。两点，设直线AP与AzQ的斜

率分别为勺，网，且4-：&=0.试问，直线/是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理

由.

【解析】(I)由已知得双曲线的离心率为0,乂两曲线离心率之积为g,所以椭圆的离心率为平；

由题意知〃=3，所以°=2四，b=∖-

所以椭圆的标准万程为上+y2=l∙

9-

(2)当直线/的斜率为零时，由对称性可知：

kt=-k2≠0,不满足A∣-3=0,

故直线/的斜率不为零.设直线/的方程为X=)+”，

X=ty+n

由<x?2'得：（r+9）/+2∕πy+"-9=0'

,^9^+v

因为直线/与椭圆C交于P、Q两点,

所以A=4/〃2一4（»+9）（〃2一9）>0,

整理得：/_“2+9>0,

设P(XI，乂)、Q(X2,12)，则

ItnM2-9,心上，他=上

X+M=∙ψ0'

X1+3.x2-3

因为&-1匕=0，

5^

y

所以］=占=与+3弘(々-3)仇+”3),

5k2%%(%+3)%(。1+〃+3)

%2-ɜ

整理得：4tyly2+5(〃-3)χ-(〃+3)%=0,

4ryly2+5(n-3)(yl+y2)=(6n-12)y2.

将χ+%=一芸，yj,=善代入整理得：

12尸+9Js/+9

t(n-2)(〃-3)=(2-2(/+9)J2

要使上式恒成立，只需〃=2,止匕时满足产一〃2+9>o,

因此，直线/恒过定点(2,0).

例9.如图，椭圆氏鸟+/=1(">人〉0)的离心率是，，过点P(0,1)的动直线/与椭圆相交于

A,B两点，当直线/平行与X轴时，直线/被椭圆E截得的线段长为20.

(1)求椭圆E的方程;

幽=陷恒成立?

(2)在平面直角坐标系Xoy中，是否存在与点尸不同的定点。，使得L若存在,

|。BlIPBI•成

求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)由已知，点(√∑,l)在椭圆E匕

因此，一从=c2,解得。=2乃=&.

£_√2

所以椭圆的方程为二+上=1∙

42

(2)当直线/与X轴平行时，设直线/与椭圆相交于C、。两点.

IOCIIPC\

如果存在定点。满足条件，则就=微=1，即IQCl=IQO∣∙

所以。点在y轴上，可设。点的坐标为(0,%).

当直线/与X轴垂直时，设直线/与椭圆相交于M、N两点.

则M(O,扬,N(0,-√Σ),

∖QM∖∖PM∖.∣J-√2∣√2-l.

由lW=两'有A小0E=Hr解得y0=∣1或r%=2∙

所以，若存在不同于点P的定点。满足条件,

则Q点的坐标只可能为2(0,2).

下面证明：对任意的直线/,均有1⅛=蹙j.

IQ81II

当直线/的斜率不存在时，由上可知，结论成立.

当直线/的斜率存在时，可设直线/的方程为y=H+l,

4、8的坐标分别为(x∣,y∣),(X2,y2)∙

⅛+Z-i

联立《42,得(2左2+i)f+4履一2=0.

y=kx+∖

其判别式A=16女2+8(2^+1)>O,

,4k2

所cr以ι，∣

X1+X-2=---2-公∑——+1,XXI22=----2-F-ɔ——+1.

11X,+x…

因此一+——=」~~-7=2k.

XiX2XiX2

易知，点8关于y轴对称的点的坐标为9(一乙,必)・

又％=——^=k---,kQB,-

χ

l%x2ɪl

,

所以纭=kQff,即Q,A,B三点共线.

^\QA\_\QA\_\x,\_\PA\

Mr以-----=------=----=-----

∖QB∖∖QB'∖Ix2IIPBl

ccc、IQAlIPAl

故存在与P不同的定点。(0,2),使得丹=恒成立.

IQBIItjti∖

2

变式1.已知4、B分别为椭圆E：=+y2=ι(α>l)的左、右顶点，G为E的上顶点，4G∙GB=8,

a~

P为直线k6上的动点，出与E的另一交点为C,P8与E的另一交点为。.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CO过定点.

【解析】(1)依据题意作出如下图象：

2

由椭圆方程£:=+丁=13>1)可得：A(-α,0),B(a,0),G(θ,l)

a"

∙∙AG=(",1),GB=(α,—I)

•••AGGB=Y一1=8，a2=9

r2

•••椭圆方程为：-+y2=∖

9-

(2)证明：设P(6,%),

则直线AP的方程为：>=皆尚(X+3)，即：y=

联立直线AP的方程与椭圆方程可得：\9,整理得：

y=.(χ+3)

2222

(γo+9)x+6γox+9yo-81=O,解得：x=-3aKΛ=

6%

将X=—3/-27代入直线可得：＞=τ⅛

为+9%+9

‹-3√+27

所以点。的坐标为I√+9

-3-2%

同理可得：点。的坐标为+1,⅞2+ιJ

当时,

6.Vo(_2＞。]

2

yr-2y0∖.Jo+91√÷1Jf3姬-3]

，直线Co的方程为:22

Uo+1J-3√+273y0-3t√+lJ

2

年+9y0+l

[2y。8y°(√+3)(3城—3L8)，。(3年—31

整理可得;3

'6(9-√)Inτ语。一WJ

所以直线。。过定点

3(3

当巾=3时，直线C。：》=二，直线过点-,0

212

故直线Co过定点g,θ).

22

变式2.已知椭圆C：=+==l(4>^>0)的左焦点为片(-6,0),且过点

a~b~唔孚).

(1)求椭圆C的标准方程:

(2)己知A，&分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线X=I上任意一点，直线AQ,4Q分别交

椭圆C于不同的两点M,N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.

【解析】⑴椭圆的个焦点耳（—6,0）,则另一个焦点为6（G,o）,

由椭圆的定义知：P耳+2玛=2α,代入计算得α=2.

又层=/一02=],所以椭圆。的标准方程为三+2=1

4-

⑵设。(1,。,M(Xl,X),N(X2,%)，

tr2'-8r+18⑵]

则直线AQ：y=-(X+2)，与土+V=I联立,解得M

34、4产+9'4"+9)

同理N

1274/

4r+94产+12t

所以直线MN的斜率为

-8∕2+18St2-24『+3

4r+9-4/+1

⑵2t(-8?+18"_2t_

所以直线MN:），—4/+3C--4r+9,4）

4尸+94∕2+3

所以直线MN恒过定点，且定点坐标为（4,0）

变式3.设椭圆C:J+与=1（。＞方＞0）过点加（正,1）,且左焦点为EbjlOb

a~b-

（1）求椭圆C的方程;

（2）当过点P（4,l）的动直线/与椭圆C相交于两不同点A,8时，在线段AB上取点。，且满足

∖AP∖∖QB∖^AQ∖∙∖PB∖,证明：点。总在某定直线上•

【解析】（I）因为椭圆的左焦点为耳（一&,0），

所以C=\[2,

22

设椭圆方程为

=a2+-a2Λ--2=L

又因为椭圆过点M（√∑,l）,

所以H—J---=1>

a'02-2

解得=4,〃=2

所以椭圆方程为：工+匕=1；

42

22

x=4+fcosαrv

(2)设直线AB的参数方程是《,.,a为参数)，代入椭圆方程二+匕=1,

y=l+∕sm142

得：(CoS2C+Zsin^c)/+(8COSC+4Sing)/+14=0.

由IA户∣∙∣Q8∣=∣AQ∣∙∣PB∣,

得IAPI(IQPl-IPBI)=(IAP∖-∖QP∖)∖PB∖，

即IQPI(IAP∣+∣P3∣)=2∣AP∣∙∣P5∣,

28

则‘。=Uf

1A十1B8cosα+4sina

28COSa

x=4-

8cosσ+4sina

点。轨迹的参数方程是,

28Sina

y=l-

8cosα+4sin0

则8(x-4)+4(y-l)=-28,

所以点。在定直线2x+y-2=0上

题型四：蝴蝶问题

例10.在平面直角坐标系中，已知圆M:(x+2)2+y2=36,点N(2,0),。是圆M上任意一点，线

段NQ的垂直平分线与半径MQ相交于点P,设点P的轨迹为曲线E0

(1)求曲线E的方程；

(2)若4(-3,0),B(3,0),设过点T(9,m)的直线TATB与曲线E分别交于点C(%,χ),。(七,必)，

其中m>0,χ>0,%<0,求证：直线Co必过X轴上的一定点。(其坐标与机无关)

【解析】(I)∙.∙p在线段NO的垂直平分线上，∙∙.∣PQl=IPNl

.∙.∖PM∖+∖P^=∖PM∖+∖PN∖=r=6>∖MN∖

由椭圆的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点，6为长轴长的椭圆

c=2,α=3,:・b=ʌ/ʒ

r22

曲线E的方程为：—+ʌvɪɪl

95

(2)点T的坐标为(9,根)

ʃ-θx+3

直线力4方程为:>即y=j^∙(x+3),

m-09+3

直线TB方程为：2二&=£二』，即y='(X—3)。

∕n-09-36v'

分别与椭圆二+匕=1联立方程组，同时考虑到百≠-3,x2≠3,

2

3(80-m2)40加］A3(m-2θ)20m

解得：C

80+m280+ιrr'20+nr20+m2

√I

20m3(∕√-2θ)

yH-—TX-—ʌ-

20+/??-________20+小

当不≠/时，直线方程为:

α>40%+20m-3(80-叫3(m2-20)

22

80+/20+/H80+m20+〃，

令y=o,解得：%=10此时必过点κ(ι,o)；

当王=々时，直线CD方程为：x=l,与X轴交点为K(1,O)°

所以直线MN必过X轴上的一定点K(1,O).

χ2J

例11.已知椭圆C:=l(a>b>0)的左、右顶点分别为点A,B,且IABl=4,椭圆C离心

率为ɪ■

(1)求椭圆。的方程；

(2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线/交椭圆。于M，N两点，直线AM,BN的交于点

Q,求证：点。在直线尤=4上.

【解析】(1)因为IABl=4,椭圆C离心率为:，

3=4

c1

所以〈一=7，解得/=4,b2=3.

a2

a1=b2+c2

22

所以椭圆。的方程是二+匕=1.

43

(2)①若直线/的斜率不存在时，如图,

所以点M的坐标是(1，I,点N的坐标是卜,一3

所以直线AM的方程是y=g(x+2),

3

直线BN的方程是y=](x—2).

所以直线AM，BN的交点。的坐标是(4,3).

所以点。在直线x=4上

②若直线/的斜率存在时，如图.

设斜率为匕所以直线/的方程为y=M%—1).

y=Λ(x-l)

联立方程组《丫2V2

-+ɪ=1

143

消去y,整理得(3+4公卜一8女2χ+4公一12=0.

显然A>0.不妨设M(X1,y),N(x2,y2),

4⅛2-12

所以为+Λ2=言匕，尤「龙2=

ɔIi~τl∖,3+4公

所以直线AM的方程是y=V](x+2).

6H

令＞4,得y=^∙

直线BN的方程是y=—2),

Xγ一2

2y2

令＞4,得y=R∙

由“6χ2%6Z(x1-l)2Z;(x2-l)

x∣÷2Λ2-2x∣÷2X2~2

6Z(玉一I)(X2—2)—2k(演+2)(/—1)

(%+2)(占一2)

分子=6Z(%-1)(%2-2)-2^(x1+2)(X2-1)

Xx

=24[3(2入2~2—2X]+2)—(内元2~~↑÷2X2-2)].

=2k^2xlx2-5(x1+%)+8]

2(4公—12)5x8女2∣g

=2k3+4左23+ZF+

'8公-24-40^+24+32公

=2k=0.

、3+止

所以点。在直线x=4匕

=l(">∕>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为点P]∙∣)为椭圆

例12.已知椭圆C：Ξl+Z

a1b2

上一点•

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，过点C(0,1)且斜率大于1的直线/与椭圆交于M,N两点，记直线AM的斜率为我”直线

BN的斜率为依，若肌=2依，求直线/斜率的值.

【解析】(1)因为椭圆的离心率为所以a=2c.

又因为凉=〃+/,所以

2

所以椭圆的标准方程为x白ɪ

4c23c

9

又因为点p(l,∣)为椭圆上一点，所以*

4=1，解得C=L

3?

所以椭圆的标准方程为工+2-=1.

43

(2)由椭圆的对称性可知直线/的斜率一定存在，设其方程为y="+l.

设M(X1,y∣),N(X2,”).

联立方程组

消去y可得(3+4&2)N+8丘一8=0.

QΛQ

所以由根与系数关系可知Xl+X2=---------7,%1X2=---------.

3+Ak23+4k-7

因为h=U⅛'∕2=U⅛'且"尸2心，所以年5=E⅛∙

叩二_______复L①

即("2)2—(々-2)2.①

又因为M(X1,y∣),Ng”)在椭圆上，

33ɔ

所以才=:(4一五；)，=-.(4—X；).②

44

2—xl4(2+x,)

将②代入①可得：-一L=———-,即3笛X2+10(X∣+X2)+12=0.

2+玉2-X2

所以3(一二8,Tτl+lθ(-78：亏1+12=0即12⅛2-20⅛+3=0.

13+4⅛2√I3+4KJ

133

解得A==或々=T,又因为Q1,所以攵=一.

622

22

变式4.如图，。为坐标原点，椭圆。：二+鼻=1(a>b>O)的焦距等于其长半轴长，M,N为

a2b1

(2)过点尸(0,1)作直线/交椭圆C于异于M,N的AB两点，直线AM,6N交于点T.求证：点T的

纵坐标为定值3.

【解析】(1)由题意可知：2c=a∖2b=2yβ，又〃2=〃2+02,

22

有b=6,c=l,a=2,故椭圆C的方程为：—+ɪ=1.

43

(2)由题意知直线/的斜率存在，设其方程为y=丘+1,用AB的横坐标表示T的纵坐标，再联立/

的方程和椭圆的方程，消去y得(4^+3)/+86-8=0,利用韦达定理化简T的纵坐标后可得所求的定

值.

设A(X],yJ,3(w,y2)(XIX2±°)，

联立直线方程和椭圆方程得《骁箸72=0'消去〉得"+3)f+8狂-8=0,

-Sk-8

,且有X|+工2=^I尤2，

%+百AI^≡^.χ+√3,

乂IBN∙y--------x-√3,IAM:y

%2

%+6n

y=----------X-73rγ

x2zy-v3y-√3

由<siX]

江叵x+6%%+G

y=

玉

∕cx∣+1-y/3=二萼，整理得到

ɪlAx2+l-√3Ax1x2+(l+√3)x1

y_&_依％+(1-G)X2收),=6X2何K2+2"-")/+ɪ

----

2*∖∕3(1+∖∕3)x∣(1Λ∕3)X2(ɪ÷vɜ)ɪi(1√3)∙^2

62AΛIx2+(x1÷X2)+∖∕3(XI-x2)

—

(1÷Λ∕3)X∣—(1>∕3)X2

3(x+X)+>∕3(X-x)

73X7=l2I23.

√3(Λ1+X2)+(XI-X2)

故点T的纵坐标为3.

变式5.已知点A（I,一多在椭圆C：]+*i（α＞力＞o）上，。为坐标原点，直线/：X岛]

-------------=1

/2b2

的斜率与直线。4的斜率乘积为-L

4

（1）求椭圆C的方程；

（2）不经过点A的直线/：y=N2χ+fCwO且∕GR）与椭圆C交于P,。两点,P关于原点的

2

对称点为R（与点A不重合），直线AQ,AR与V轴分别交于两点M，N,求证：AM=ATV.

√32b1_b2_1

【解析】（I）由题意，心匕=

T'√37="∑T=-4

13

即/=4〃①又不+市=1②

a=2

联立①①解得47,

b-∖

r2

所以，椭圆。的方程为：—+/=1.

4

6

V=——x+t

2

(H)设P(石,χ),Q(∙¾,%),R(一不，一,)，由<

χ22