第六章正弦稳态电路分析

第六章正弦稳态电路分析本章内容阻抗与导纳的定义6.1阻抗与导纳的性质6.2复阻抗的串、并联6.3复阻抗与复导纳的等效变换6.4正弦电路的功率及功率因数6.5基本元件的功率与能量特性6.6复功率6.7最大功率传输6.8功率因数及负载功率因数的提高6.9正弦电流电路的一般分析方法与计算6.106.1

阻抗与导纳的定义阻抗:在关联参考方向下，元件或二端网络端口的电压相量与电流相量之比，即单位是欧姆（Ω）导纳：是端口电流相量与电压相量之比，即单位是西门子（S）阻抗Z与导纳Y的关系是互为倒数，即（1）电阻元件R的阻抗为仍为电阻R，其值与角频率ω无关。导纳为为电导值G，其值与角频率ω无关。1.R、L、C元件的阻抗与导纳（2）电感元件L的阻抗为称为感抗，其值与角频率ω有关。导纳为称为感纳，其值与角频率ω有关。（3）电容元件C的阻抗为称为容抗，其值与角频率ω有关。导纳为称为容纳，其值与角频率ω有关。2.无源二端网络的阻抗与导纳无源二端网络端口的输入阻抗为式中：阻抗模阻抗角电抗无源二端网络的导纳则为式中：导纳模导纳角电纳6.2阻抗与导纳的性质（1）除电阻元件外，动态元件和无源二端网络的阻抗与导纳，都是角频率的函数。因此，在不同的角频率时，阻抗与导纳的数值不同。（2）阻抗与导纳都是复数，它们与正弦量的向量，虽然都是复数，但是两者有本质的不同。阻抗与导纳不随时间作周期性变化正弦量的代表量，故不叫“相量”。为了区别这种不同性质的复数量，在正弦电压和电流的符号上加上点号，、，而在复数阻抗与导纳符号Z，Y上不加点号。（3）阻抗与导纳反映了正弦交流电路端口电压与电流相量之间的关系。阻抗与导纳的模，反映了正弦稳态元件和无源二端网络端口电压和电流有效值及最大值之比，即阻抗角和导纳角反映了正弦电压与电流之间的相位差，即元件和二端网络端口的VAR具有欧姆定律的向量形式，即（4）阻抗与导纳只与单一频率正弦激励稳态电路分析联系，是正弦稳态分析电路中元件的重要参数，它们属于正弦稳态电路分析的概念。6.3

复阻抗的串、并联（1）复阻抗的串联等效复阻抗：分压公式：（2）复阻抗的并联等效复导纳：分流公式：两个阻抗并联时，分流公式6.4

复阻抗与复导纳的等效变换对同一电路来说，复阻抗与复导纳互为倒数，即或（1）已知电路的复阻抗，求等效的复导纳已知：则等效的复导纳为或即或不变。（2）已知电路的复导纳，求等效的复阻抗已知则等效的复阻抗为或即或不变。6.5

正弦电路的功率及功率因数由于正弦交流电路中，电压和电流是随时间变化的正弦函数，它们都有相位角。因此，交流电路中的功率比直流电阻电路中的功率要复杂得多。正弦交流电路有瞬时功率，更有平均功率、无功功率和视在功率，以及功率因数和平均储能等概念。若元件或二端网络端口关联参与方向的电压和电流分别为（1）瞬时功率可见瞬时功率包括两部分前一项,显然。故这一分量任何时刻都是被电路吸收，为电阻元件发热消耗或转换为其他形式的能量（如通过电动机转换为机械能等），称为有功分量；而后一项，是以振幅为，角频率为2ω变化的正弦函数，在一个周期内它的平均值为零，瞬时值半周期为正值，另半周期为负值。正值时，电路吸收电磁能量，储存在电感或电容中；负值时，电路向电源释放出电磁能量。如此往复循环，形成电路与电源之间的功率交换。这一分量的平均值为零，不是实际消耗的功率，故称为无功分量。（2）平均功率（有功功率）P定义为：一周期内瞬时功率的平均值，即表明平均功率是正弦电压和电流有效值的乘积再乘以两者相位差角的余弦。称为功率因数，只有电压与电流的相位差为才有平均功率。平均功率是电路中实际消耗的功率，又称有功功率，单位是瓦特（W），可以用功率表（瓦特表）来测量。（3）无功功率Q定义为：瞬时功率中无功分量的最大值，用Q表示，即表明无功功率是电压与电流有效值的乘积，再乘以两者相位差角的正弦。称为无功因数。无功功率不是电路中实际消耗的功率，而是电路与电源之间交换功率的最大速率，它的量纲与平均功率相同，但为了两者为区别，无功功率的单位为乏（var）。无功功率的数值可用无功功率表进行测量。（4）视在功率S定义为：电压和电流有效值的乘积，即S=UI。为了与平均功率和无功功率相区别，视在功率的单位定为伏安（VA）。在电工技术中，是以视在功率来定义电气设备的容量，即将额定电压和额定电流的乘积为设置的额定容量。6.6

关于基本元件的功率与能量特性在正弦交流电路中，基本元件R，L，C的功率一能量特性，是正弦交流电路功率分析计算的基础，从电路的理论和实际工程都具有重要意义。（1）电阻元件R由于电阻元件两端的电压与通过它的电流同相，，，则有：瞬时功率表明电阻元件的瞬时功率只有有功分量，而无无功分量，反映了电阻元件的耗能性质。平均功率由于，则表明正弦交流电路中电阻元件的功率用正弦电压或正弦电流的有效值来计算，与直流电阻电路的计算是相同的。无功功率因，则电阻元件消耗的能量是有功功率P与时间t的乘积，即[单位焦耳（J）]（2）电感元件L由于电感元件两端电压超前相位，，即。瞬时功率表明电感元件瞬时功率中只有无功分量,它是2ω的正弦函数。当的瞬时，电感元件吸收能量，储存于磁场中；当的瞬时，电感元件释放出能量给外电路。有功功率由于,,故有功功率为表明电感元件不消耗功率。无功功率由于,,故无功功率为表明电感元件与外电路功率交换的规模是电感电压与电流有效值的乘积，也等于感抗XL乘以电流有效值的平方。储能特性储能的瞬时值为平均储能，是瞬时储能的平均值，即上式在一周期时间的积分，得出无功功率QL与平均储能的关系：由于，则无功功率为表明电感元件的平均储能是电感量乘电流有效值平方的一半；电感元件的无功功率是平均储能的2ω倍。（3）电容元件C由于电容元件元件两端的电压滞后于电流相位，，即。则有瞬时功率表明电容元件瞬时功率是只有无功分量，它是2ω的正弦函数。当的瞬时，电容元件释放出能量给外电路。有功功率由于,,故有功功率为表明电容元件不消耗功率。无功功率由于,,故无功功率为表明电容元件与外电路功率交换的规模是电容电压与电流有效值的乘积，也等于容抗XC乘以电流前效值的平方，式中并冠以“-”号，表示在电容与电感元件在两端电压和电流及两者参与方向均为相同的情况下，电容中的无功功率与电感中的无功功率方向相反。储能特性储能的瞬时值为平均储能是瞬时储能的平均值，即上式在一个周期时间的积分，得出无功功率与平均储能的关系：由于,则无功功率为表明电容元件的平均储能是电容量乘电压有效值平方的一半，且冠以“-”号；电容元件的无功功率是平均储能的2ω倍。6.7

复功率复功率定义：可知：注意：（1）复功率与阻抗相似，它是一个复数量。并不代表正弦量，因此不能作为相量对待。（2）对正弦电路，因有功功率和无功功率是守恒的，所以复功率也守恒，即在整个电路中某些支路吸收的复功率应该等于其余支路发出的复功率。例:某一电路由三个复阻抗串联构成，其中

，，电源电压求（1）电路中的电流；（2）各阻抗上的电压；（3）电路的有功功率、无功功率、视在功率及电路的功率因数。解：（1）电路总的复阻抗为电路中的电流为(2)各阻抗上的电压为（3）§6-8最大功率传输在图6-6中含源二端网络，根据戴维宁定理等效成图6-7形式图6-6含源二端电路图6-7戴维宁等效变换设Zeq=Req+jXeq，Z=R+jX，则负载吸收的有功功率为：获得最大功率的条件为：上式解出：X=-Xeq、R=Req(此条件称为最佳匹配条件)即此时获得的最大功率为：§6-9关于功率因数及负载功率因数的提高（1）功率因数的定义二端网络的平均功率P与视在功率S之比，定义为该网络的功率因数，用希腊字母λ表示，即网络的阻抗角φ决定功率因数λ的数值，称为功率因数角。对于负载的功率因数，决定于负载的阻抗角；对于电源的功率因数，则决定于电源端口外部电路的阻抗角。由于，故不论φ是正值，还是负值，功率因数恒为正值。（2）感性和容性负载的功率因数由于无论负载阻抗角是正值还是负值，总有。因此，从功率因数的数值上分辨不出电路是感性负载还是容性负载。所以，我们对于这两种不同性质负载的功率因数，就应该加以注明。对于感性负载，是电流滞后电压，故称为滞后功率因数，一般认为“（超前）”。（3）提高功率因数的意义在电工技术中，功率因数是一个重要的导出参数。特别在电力系统中，功率因数是重要的技术指标，有其重要的技术经济意义。发电设备的利用率与供电网络的功率因数有关。提高功率因数，能提高发电设备的利用率。电力输电线路上的功率损耗与功率因数有关。提高功率因数，能减少线路的损耗，提高输电的能力。为了提高发电设备的利用率，减少输电线路的功率损耗，提高输电能力，就必须提高负载的功率因数。通常一般感性负载的功率因数都在0.6左右,要求提高到0.9以上。（4）提高功率因数的措施在供电系统中，提高负载的功率因数，就是在感性负载的两端并联电容器。负载所需的感性无功功率，由就地的并联电容器产生的容性无功功率进行补偿，从而减少了由电源通过输电线路传输的无功功率，使输电线路中的电流减少，并使感性负载电流滞后电压的相位减小，从而提高了负载的功率因数。这种提高功率因数的方法，称为无功补偿，并联的电容器则称为补偿电容。设感性负载的平均功率P，功率因数为，工作电压为U，电网的角频率。为了提高功率因数到值，这时所需并联的补偿电容量为C，补偿前负载的复功率为现并联电容器的复功率为则补偿后的复功率为这时，而保持负载的平均功率P不变。（5）补偿电容量C值的计算则补偿无功功率为移项后得出补偿电容C值的计算公式为§6-10正弦电流电路的一般分析方法与计算复杂正弦交流电路，应用相量法进行分析计算。相量法就是应用正弦量的相量表示R，L，C元件的阻抗遇导纳形式，将时域正弦交流电路变换为相量模型。在相量模型的基础上，根据两类约束的相量形式（），正弦相量交流电路响亮模型中的电压和电流相量就可以仿照直流电阻电路中分析方法来进行分析计算，如应用等效化简的方法、结点分析法、网孔分析法、戴维南定理和诺顿定理的方法和叠加定理的方法等。通过分析计算，得出相量形式的待求响应量，最后反变换为以t为函数的正弦电压和正弦电流，从而正弦交流电路中的电压和电流得以解出。例用结点电压法求图示电路中电流的瞬时值表达式。已知解：各支路的复导纳分别为电压U1、U2的相量形式为选择b为参考结节点，则a点的节点电压为所以例在图示电路中，已知