结晶学基础完整版本

第一章

结晶学基础§1.1晶体的基本概念与性质§1.2晶体的宏观对称性§1.3晶体的对称分类§1.4晶体定向和结晶符号§1.5晶体的理想形状§1.6晶体结构的基本特征§1.7晶体化学基本原理晶体生长学：研究晶体发生、成长机理和晶体的合成。几何结晶学：研究晶体外形的几何规律。晶体结构学：研究晶体结构的几何规律、结构型式和构造的缺陷。晶体化学：主要研究晶体的化学成分和晶体结构的关系，并进而探讨成分、结构与其性能和生成条件的关系。晶体物理学：研究晶体的物理性质及其产生机理。结晶学的主要研究内容结晶学的研究内容晶体的基本概念晶体的基本性质§1.1晶体的基本概念与性质返回首页

1、晶体晶体的研究首先是从研究晶体几何外形的特征开始在古代，无论中外，都把具有规则的几何多面体形态的水晶称为晶体凡是具有（非人工琢磨而成）几何多面体形态的固体都称之为晶体以上两种定义都是不正确的晶体的基本概念一、晶体的基本概念1912年，X射线晶体衍射实验成功，对晶体的研究从晶体的外部进入到晶体的内部，使结晶学进入一个崭新的发展阶段。现已证明，一切晶体不论其外形如何，它的内部质点（原子、离子或分子）都是在三维空间有规律排列，主要表现为同种质点的周期重复，构成了所谓的“格子构造”。所有晶体都具有格子构造——晶体的共同特点。晶体的基本概念Cl-Na+晶体的正确的定义：晶体是内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体；或者说晶体就是具有格子构造的固体。石盐晶体结构晶体的基本概念晶体的基本概念无色水晶晶体的基本概念水晶晶簇水晶晶簇晶体的基本概念黄铁矿石盐晶体的基本概念冰州石晶体的基本概念石榴石晶体的基本概念绿柱石晶体的基本概念钻石原石晶体的基本概念金刚石晶体的基本概念晶体的基本概念石墨晶体的基本概念萤石晶体的基本概念2、

空间点阵兹以氯化铯（CsCl）的晶体结构为例。无论Cl-

或Cs＋在晶体结构的任何一方向上都是每隔一定的距离重复出现一次。晶体的基本概念为了进一步揭示质点周期性重复的规律，我们可以对它作某种抽象。先在结构中选出任一几何点，这个点可以取在阴或阳离子的中心，也可以取它们之间的任意一点，然后在结构中找出与此点相当的几何点，称为“相当点”。相当点的条件是：⑴如果原始几何点是取在质点的中心，则相当点所占的质点的种类应是相同的，也就是占据同种质点的中心；⑵这些质点周围的环境以及方位应是相同的，也就是说这些质点周围相同的方向上要有相同的质点。晶体的基本概念相当点可以简单的定义为晶体结构中物质环境和几何环境完全相同的点，也称“等同点”。在氯化铯的晶体结构中，无论原始点选在Cl－还是Cs＋的中心，或者其它任何地方，找出的相当点的分布相同。相当点的分布可以体现晶体结构中所有质点的重复规律。晶体的基本性质相当点在三维空间作规则排列而成的格子状几何图形称为“空间点阵”或“空间格子”。为研究晶体内部质点的重复规律不受晶体大小限制，设想空间点阵为无限图形。空间点阵晶体的基本概念3、空间点阵要素

⑴结点：空间格子中的点，代表晶体结构中的相当点，只具几何意义，不代表任何质点。但在实际晶体中，结点的位置可以被同种质点所占据。⑵行列：结点在直线上的排列即构成行列。行列中相邻结点间的距离称为该行列的结点间距。同一行列或彼此平行的行列上结点间距相等；不同方向的行列，其结点间距一般不等。行列晶体的基本概念⑶面网：结点在平面上的分布构成面网。面网上单位面积内结点的数目称为网面密度。互相平行的面网，网面密度相同；不平行的面网，网面密度一般不等。相互平行的相邻两面网之间的垂直距离称为面网间距。

面网晶体的基本概念⑷平行六面体：是空间格子在三维空间上可以划出的最小重复单位。由八个结点、六个两两平行而且相等的面组成。平行六面体晶体的基本概念4、非晶质体

有些状似固体的物质如玻璃、琥珀、松香等，它们的内部质点不作规则排列，不具有格子构造，称为非晶质体或非晶体。从内部结构看，非晶体中质点的分布颇似于液体，严格地说，它们不是固体，是过冷液体。

只有晶体才能称为真正的固体。晶体的基本概念1985年在电子显微镜研究中，发现了一种新的物态，其内部结构的具体形式虽然仍在探索之中，但从其对称性可见，其质点的排列应是长程有序，但不体现周期重复，不存在格子构造，人们把它称为准晶体。5、准晶体晶体的基本概念晶体的基本概念

1、自限性：是指晶体在适当条件下可以自发地形成几何多面体的性质。晶体通常被平的晶面所包围，晶面相交成直的晶棱，晶棱汇聚成尖的角顶。晶体的多面体形态，是其格子构造在外形上的直接反映。晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列及结点相对应。一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定的性质，称为晶体的基本性质。晶体的基本性质二、晶体的基本性质2、均一性：由于晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，质点的分布一样，故晶体的各部分的物理化学性质相同。非晶体也具有均一性。但非晶体不具格子构造，其均一性是统计的、平均近似的均一，称为统计均一性；而晶体均一性取决于格子构造，称为结晶均一性。两者有本质区别。3、异向性：

同一晶体的格子构造中，在不同方向上质点的排列一般不同，晶体的性质也就随着方向的不同而有所差异。如蓝晶石的硬度、云母的解理、石英折射率等。4～4.56～7蓝晶石晶体的硬度晶体的基本性质4、对称性：是指某种相同的性质在不同的方向或位置上作有规律地重复。对称性是晶体非常重要的性质，也是晶体分类的基础。5、最小内能：在相同的热力学条件下晶体与同种物质的非晶质体、液体、气体相比较，其内能最小。

6、稳定性：由于晶体具有最小内能，因而结晶状态是一个相对稳定的状态，质点只在其平衡位置上振动。非晶体不稳定，有自发地向晶体转化的趋向。晶体和非晶体在一定条件下是可以相互转化的。晶体的基本性质返回首页对称概念及晶体对称特点晶体的对称要素和对称操作对称要素的组合对称型及其推导§1.2晶体的宏观对称性返回首页1、对称的概念：物体相同部分有规律的重复。对称的条件：⑴物体或图形有相同部分；⑵这些相同部分有规律地重复。

不对称的图形蝴蝶和花冠的对称一、对称的概念及晶体对称的特点晶体的对称2、晶体对称的特点

晶体是具有对称性的，晶体外形的对称表现为相同的晶面、晶棱和角顶作有规律的重复，这是晶体的宏观对称。晶体的对称与其它物体的对称不同，晶体的对称是由内部的格子构造规律所决定的。晶体的对称晶体的对称有如下的特点：⑴所有晶体都具对称性。一切晶体都具格子构造，而格子构造本身就是内部质点在三维空间周期性重复排列的体现（微观对称）。⑵晶体的对称是有限的（遵循“晶体对称定律”）。晶体对称严格受格子构造规律的控制，只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现。⑶由于晶体的对称取决于格子构造，故晶体对称不仅表现在外形上，同时也表现在光学、力学、热学、电学性质等物理性质上。

基于以上特点，所以晶体的对称性是晶体的最重要特征，也可以把它作为晶体分类的最好依据。晶体的对称对称操作：是指欲使物体或图形中相同部分重复出现的操作。对称要素：在进行对称操作时所凭借的几何要素（点、线、面）。二、晶体的对称要素和对称操作晶体的对称晶体外形上可能存在的对称要素：1、对称面（P）

2、对称轴（Ln）

3、对称中心（C）

4、旋转反伸轴（Lin）

5、旋转反映轴（Lsn）晶体的对称

1、对称面（P）

对称面是把晶体平分为互为镜像的两个相等部分的假想平面。相应对称操作是对一个平面的反应。ADEBP1P2AE1DEBP晶体的对称对称面在晶体中可能存在的位置：

⑴垂直并平分晶面；⑵垂直晶棱并通过它的中心；⑶包含晶棱并平分晶面夹角。

晶体中可不存在对称面，也可存在一或多个对称面，最多可达9个。对称面的描述方法为3P、9P等。立方体的九个对称面晶体的对称对称面的投影

对称面是通过晶体中心的平面，在球面投影中它与投影球面的交线为一大圆。水平对称面的投影为基圆；直立对称面投影为基圆的直径线；倾斜对称面投影为以基圆直径为弦的大圆弧。作图时对称面用实线表示。右图为立方体的九个对称面的极射赤平投影图晶体的对称2、对称轴（Ln）

对称轴是通过晶体中心的一根假想直线，晶体围绕此直线旋转一定角度后，相同的晶面、晶棱、角顶能重复出现。相应的对称操作是围绕一根直线的旋转。旋转一周，晶体的相同部分重复的次数称为轴次（n）；重复时所旋转的最小角度称为基转角（α）；n=360°／α。晶体的对称晶体外形上可能出现的对称轴有L1（无实际意义）、L2、L3、L4、L6，相应的基转角分别为360°、180°、120°、90°、60°。

L2、L3、L4和L6的作图符号分别为、▲、■、。轴次高于2的对称轴称为高次轴。

晶体的对称晶体中对称轴举例横截面形状晶体的对称晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。因为不符合空间格子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布满整个平面。晶体的对称对称轴在晶体中可能出露的位置：⑴通过晶面的中心；⑵通过晶棱的中点；⑶通过角顶。在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一或多个。表示方法为3L4、4L3、6L2等。晶体的对称对称轴的投影①直立对称轴投影点位于基圆中心②水平对称轴投影点位于基圆上③倾斜对称轴投影点位于基圆内对称轴为通过晶体中心的直线，因此它们为投影球的直径。晶体的对称图中可见，立方体的L4、L3和L2分别是四、三和两个对称面的交线，其赤平投影点落于对称面投影的交点上。立方体的对称要素及其赤平投影晶体的对称3、对称中心（C）

对称中心：是晶体内部的一个假想点，通过该点作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找到对应点。相应对称操作：对一个点的反伸（倒反）。

晶体的对称对称中心以字母C表示，图示符号为“o”或“C”表示。晶体中可以有对称中心，也可以没有对称中心，若有只能有一个，而且必定位于晶体的几何中心。

晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必然两两反向平行而且相等。用它可以作为判断晶体有无对称中心的依据。晶体的对称4、旋转反伸轴（Lin）

旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的一个点进行反伸，才能使晶体上的相等部分重复。相应的对称操作是围绕一根直线的旋转和对此直线上一个点反伸的复合操作。晶体的对称例：具有Li4的四方四面体

C'a晶体的对称旋转反伸轴以Lin表示，轴次n可为1、2、3、4、6。相应的基转角分别为360°、180°、120°、90°、60°。

除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可用其它简单的对称要素或它们的组合来代替：

Li1＝C；Li2＝P；Li3＝L3＋C；Li6＝L3＋P⊥

应用时，只考虑Li4和Li6。图示符号分别为“□”和“”。晶体的对称5、旋转反映轴（Lsn）

也是一根假想的直线，相应的操作为旋转加反映的复合操作。图形围绕它旋转一定角度后，并对垂直它的一个平面进行反映，可使图形的相等部分重复。旋转反映轴的作用可以由旋转反伸轴来代替：Ls1＝P＝Li2；

Ls2＝C＝Li1；Ls3＝L3＋P⊥

＝Li6

；

Ls4＝Li4

；Ls6

＝L3＋C

＝Li3

晶体的对称综上所述，在晶体的外部形态上可能存在而且具有独立意义的对称要素只有九种：对称中心：C对称面：P对称轴：L1、L2、L3、L4、L6旋转反伸轴：L4i、L6i晶体的对称在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独存在，也可以有若干对称要素组合一起共存。对称要素的组合服从以下规律(可参考结晶学有关章节)：三、对称要素的组合晶体的对称推论：如果有一个对

称面包含Ln，则必有

n个对称面同时包含Ln。

即：

Ln＋P∥→LnnP晶体的对称1、定理一：对称面的交线必为一对称轴，其基转角等于相邻两个对称面夹角的两倍。2、定理二：若有一个二次轴L2垂直于Ln，则必有n个L2垂直于Ln。

即：Ln＋L2⊥→LnnL23、定理三：若有一个P垂直于偶次对称轴L2n，交点必为对称中心C。

即：L2n＋P⊥→L2nPC推论：⑴偶次对称轴和垂直于它的对称面以及对称中心三者之中，任意两者结合，必可导出第三者。⑵若晶体存在对称中心，偶次对称轴的数目，必等于对称面数目，且各自都垂直于一个对称面。

晶体的对称4、定理四：如果有一个二次轴垂直于Lni，或者有一个对称面包含Lni，当n为奇数时，必有n个L2垂直于Lni和n个P包含Lni；当n为偶数时，则必有n/2个L2垂直于Lni和n/2个P包含Lni。

即：当n为奇数时，Lni＋L2⊥或Lni＋P∥→LninL2⊥nP∥

当n为偶数时，Lni＋L2⊥或Lni＋P∥→Lnin/2L2⊥n/2P∥

晶体的对称1、定义：结晶多面体中全部对称要素的组合，称为该结晶多面体的对称型。由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点（晶体几何中心），在进行对称操作时该点不移动，所以对称型也称为点群。2、对称型的推导

根据结晶多面体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型共有32种。(见下表）

四、对称型及其推导晶体的对称名称原始式倒转原始式中心式轴式面式倒转面式面轴式n=1L1CL2PL2PCn=2(L2)(L2PC)3L2L22P3L23PCn=3L3L3CL33L2L33PL33L23PCn=4L4Li4L4PCL44L2L44PLi42L22PL44L25PCn=6L6Li6L6PCL66L2L66PLi63L23PL66L27PC3L24L33L24L33PC3L44L36L23Li44L36P3L44L36L29PC晶体的32种对称型返回首页晶体是根据其对称特点进行分类的，方法如下：1、首先，把属于同一对称型的晶体归为一类，称为晶类。共有32个晶类。2、根据对称型中有无高次轴及高次轴的多少，把32个对称型划分为低、中、高级三个晶族。

低级晶族：无高次轴中级晶族：有且只有一个高次轴高级晶族：有多个高次轴3、在每一个晶族中又按照其对称特点共划分为7个晶系，即低级晶族有三斜晶系、单斜晶系和斜方晶系；中级晶族有四方晶系、三方晶系和六方晶系；高级晶族只有一个晶系，即等轴晶系。

晶体分类依据及分类体系见下表晶体的对称分类§1.3晶体的对称分类返回首页32种对称型及晶体的分类表2/m2/m2/m**下有横线者为较常见的重要对称型晶体的对称分类32/m*4/m2/m2/m简化为4/mmm*续表晶体的对称分类续表4/m32/m*6/m2/m2/m简化；**2/m3简化*(432)**单复六方双锥晶类偏方复十二面体晶体的对称分类返回首页一、晶体定向的概念二、晶轴的选择与各晶系晶体常数特点三、晶面符号和整数定律四、单形符号五、晶带及晶棱、晶带符号六、对称型的国际符号§1.4晶体定向和结晶符号返回首页晶体定向在研究晶体形态时，仅确定其对称型和有哪些单形组成，仍不能获得晶体的具体形态。因此，必须进一步确定各单形在空间的相对位置，这就需要在晶体上选定一坐标系统，并用一定的数学符号表示晶面、晶棱等在空间的方位，这就是晶体定向和结晶符号所要解决的内容。由四方柱和四方双锥组成的两个聚形，对称型均为L44L25PC晶体定向：在晶体上选择坐标系统。即选定坐标轴（晶轴）和确定各晶轴上轴单位之比（轴率）。⑴晶轴：是交于晶体中心的三条直线，晶轴的选择不是任意的，应与格子构造中的行列平行，并一般应与对称轴、对称面的法线或晶棱重合。晶轴分别以X轴（前端为“＋”，后端为“－”）、Y轴（右端为“＋”，左端为“－”）和Z轴（上端为“＋”，下端为“－”）表示，或称a、b、c轴。对于三方和六方晶系要增加一个U轴（前端为“－”，后端为“＋”）。一、晶体定向的概念晶体定向⑵轴角：晶轴正端之间的夹角。分别以α（Y∧Z）、β（Z∧X）、γ（X∧Y）表示。晶轴及轴角三、六方晶系的晶轴晶体定向⑶轴单位和轴率

轴单位是晶轴上的单位长，是晶轴所在行列上的结点间距。X、Y、Z轴上的轴单位分别以a、b、c表示，或者以a0、b0、c0表示。由于结点间距很小（以nm计），需借助X射线分析方能测定，根据晶体外形不能确定轴单位的真实长度，但应用几何结晶学的方法可以求出它们的比率，即a︰b︰c，这一比率称为轴率。例如，中级晶族晶体中只有一个高次轴，以高次轴为Z轴，通过高次轴的作用可以可使X、Y轴重合，因此轴单位a＝b≠c，轴率a︰c因晶体的种类而异。晶体定向⑷晶体常数：轴率a︰b︰c和轴角α、β、γ称为晶体常数。

晶体常数是表征晶体坐标系统的一组基本参数。它与晶体内部结构研究中晶胞的参数（或格子参数）一致，如果轴单位和轴角已知，就可以知道晶胞的形状和大小。

晶体定向晶体定向二、晶轴选择与各晶系晶体常数特点晶轴选择的原则：⑴应符合晶体所固有的对称性。因此，晶轴应优先与对称轴或对称面的法线重合；若无对称轴和对称面，则晶轴可平行主要晶棱选取。⑵在上述前提下，应尽可能使晶轴相互垂直或趋于垂直，并使轴单位趋于相等。即尽可能使α＝β＝γ＝90°，a＝b＝c。晶系选轴原则晶体常数特点等轴晶系以相互垂直的L4、Li4或L2为X、Y、Z轴a=b=cα=β=γ=90°四方晶系以L4或Li4为z轴，以垂直Z轴并相互垂直的两个L2或P的法线为X、Y轴；当无L2或P时，X、Y轴平行晶棱选取a=b≠cα=β=γ=90°三、六方晶系以L6、Li6、L3为Z轴，以垂直Z轴并彼此相交为120°的三个L2或P法线为X、Y、U轴；当无L2或P时，X、Y、U轴平行晶棱选取a=b≠cα=β=90°γ=120°斜方晶系以相互垂直的3L2为X、Y、Z，在L22P对称型中以L2为Z轴，以2P法线为X、Y轴a≠b≠cα=β=γ=90°单斜晶系以L2或P的法线为Y轴，以垂直Y轴的主要晶棱方向为Z及X轴a≠b≠cα=γ=90°β＞90°三斜晶系以不在同一平面内的三个主要晶棱方向为X、Y、Z轴a≠b≠cα≠β≠γ≠90°各晶系选择晶轴的原则及晶体常数特点晶体定向三、晶面符号1、晶面符号的概念和写法晶体定向后，晶面在空间的相对位置即可根据它与晶轴的关系予以确定。表示晶面空间方位的符号称为晶面符号。通常所采用的是米氏符号，是英国人米勒尔在1839年所创。米氏符号是用晶面在结晶轴上的截距系数的倒数比来表示的。

晶面符号例：晶面HKL在晶轴上的截距分别为2a、3b、6c，则截距系数的倒数比为1/2︰1/3︰1/6＝3︰2︰1，去其比例符号，加上小括号，即为该晶面的米氏符号（321）。晶面符号图解晶面符号晶面符号的括号内数字称为晶面指数。晶面指数是按照X、Y、Z轴顺序排列的，一般式写作（hkl）；如果晶面与晶轴的负端相交，则在其相应的指数上加“－”。而对于三方、六方晶系，晶面指数按照X、Y、U、Z轴的顺序排列，一般式写作（hkl），而且h＋k＋＝0。如果晶面平行于某晶轴，那么它在该晶轴上的截距系数为∞，则其晶面指数就是1/∞＝0。例如，与X、Y轴平行，与Z轴相交的晶面，其晶面符号为（001）。晶面符号2、晶面在晶轴上截距系数之比为简单整数比——整数定律⑴晶面是面网，晶轴是行列，晶面截晶轴于结点，或者晶面平移后截晶轴于结点（晶轴上的截距系数之比不变，晶面符号不变）。所以如果以晶轴上的结点间距a、b、c作为度量单位，则晶面在晶轴上的截距系数之比必为整数比。晶面符号⑵如图所示，平行Z轴的一组面网截X轴于a1点，截Y轴分别于b1、b2、b3、b4……bn点，网面密度a1b1＞a1b2＞a1b3＞……a1bn，它们在X、Y轴上的截距系数之比则分别为1︰1、1︰2、1︰3……1︰n，显然，网面密度越大，晶面在晶轴上的截距系数之比越简单。根据布拉维法则，因此，晶面在晶轴上的截距系数之比为简单整数比。这一规律被称为整数定律。晶面指数一般是小的整数，晶面符号中最常见的指数为1和0，其次为2和3，超过3的很少。晶面符号单形符号简称形号：是指在单形中选择一代表晶面，将其晶面指数用“｛｝”括起来，用以表征组成该单形的一组晶面的结晶学取向的符号。

同一单形的各个晶面与晶轴都有着基本相同的相对位置。如立方体的每一晶面都与一个晶轴垂直而与另外两个晶轴平行，八面体的每一晶面都截三个晶轴等长。因此，同一单形的各个晶面的指数的绝对值不变，而只有排列顺序和正负号的区别。如八面体的各晶面符号为（111）、（11）、（11）、（11）、（1）、（1）、（1）、（）。因此，知道了单形的一个晶面的符号，则该单形的其它晶面的符号即可导出。如立方体的形号为｛100｝，八面体的形号为｛111｝。四、单形符号八面体abcd单形符号选择单形的代表晶面时应遵循的原则：⑴尽可能选取正指数最多的晶面（三方、六方晶系可不考虑第三个指数）；⑵在上述前提下，尽可能选取各指数绝对值依递减次序排列的晶面，即按照先前（即X轴上指数最大）、次右（即Y轴上指数次大）、后上（即Z轴上的指数最小）的原则。立方体五角十二面体四角三八面体单形符号在确定单形符号时，必须注意以下两点：⑴不同的单形可以有相同的符号，如八面体、四面体、四方双锥等，它们的形号都是｛111｝，所以在确定形号时一定要首先弄清楚它所属的晶系及其对称型。⑵同种单形，由于其晶面与晶轴的关系有别，因而可以有不同的形号。如四方柱选轴方式不同，形号可以为｛100｝或｛110｝。单形符号1、晶带的概念：是指交棱相平行的一组晶面的组合。如立方体具有三个晶带，分别平行于X、Y、Z轴。⑴（∥X）：由（010）、（001）、（00）、（00）构成；⑵（∥Y）：由（001）、（100）、（00）、（00）构成；⑶（∥Z）：由（100）、（010）、（00）、（00）构成。晶带轴：通过晶体中心且平行晶带上晶棱方向的直线。

五、晶带及晶棱、晶带符号2、晶带符号：表示晶带空间方位的符号。

因为每一个晶带都有一个晶带轴，所以晶带通常用晶带轴来表示。而晶带轴平行于晶棱，所以晶带符号通常是以晶棱符号来代替的。一般用〔rst〕表示，r︰s︰t为晶棱在三个坐标轴上的坐标系数比。晶棱符号晶带符号的表示方法如图：将晶棱OP平移并使之通过晶体中心，并在其上任取一点M，M点在三个坐标轴上的坐标分别为MR、MK、MF，则r︰s︰t＝MR/a︰MK/b︰MF/c=1a/a︰2b/b︰3c/c＝1︰2︰3，则晶棱OP的符号就是〔rst〕＝〔123〕。由于相互平行的晶棱符号相同，故晶带符号是唯一的。例：立方体中三个晶带符号是：〔100〕、〔010〕、〔001〕。在鉴定矿物时，常用到晶带概念，但是所涉及的晶带符号只有〔100〕、〔010〕、〔001〕等少数几种最简单的符号。晶棱符号1、国际符号的表示方法对称型的国际符号是国际上通用的对称型表示符号，为格尔曼、摩根所创。在对称型国际符号所采用的基本对称要素为对称面、对称轴和旋转反伸轴，一般不列出对称中心。

对称面：以m表示对称轴：以轴次1、2、3、4、6表示旋转反伸轴：用、、、、表示，“”读作“3一横”。其中，＝L1i＝C，故常用“”表示对称中心。六、对称型的国际符号国际符号对称型的国际符号的书写顺序是严格按结晶轴方向排列的，通常是由不超过3个的位组成。

国际符号中的每个位依次分别表示晶体中一定方向上所存在的对称要素，即与该方向平行的对称轴或旋转反伸轴，以及与该方向垂直的对称面。如果两类对称要素在某一方向上同时存在，则写成分式的形式，例如，（通常写成4/m）。如果某一个位对应的方向上，不存在对称要素时，则将该位置空着。

国际符号不同晶系，每个位分别代表的结晶轴方向是不同的。

在运用对称型的国际符号时，应熟练掌握对称要素的组合定理。如4/m表示L4＋P⊥→L4PC。优点：⑴简明；⑵对称要素的空间方位清楚。国际符号各晶系对称型的国际符号中各序位所代表的方向国际符号中的位序123等轴ca+b+ca＋b三方及六方晶系ca2a＋b四方晶系caa＋b斜方晶系abc单斜晶系b三斜晶系任意方向国际符号2、由对称型写出国际符号写对称型的国际符号时，首先需确定它所属晶系，明确三个位分别代表的不同方向上存在的对称要素，再写出国际符号。例一：L44L25PC，四方晶系该对称型的国际符号为4/m2/m2/m，可以简化为4/mmm，应读作“4/m，m，m”，不应读作“m，m，m分之4”。国际符号例二：L22P，斜方晶系，晶体定向是以L2为Z轴，相互垂直的2P法线为X、Y轴，国际符号为mm2，可简化为mm。国际符号例三：L66L27PC，六方晶系，L6为Z轴，互成120°交角的3个L2为X、Y、U轴。国际符号的三个位分别存在6/m，2/m，2/m，则该对称型的国际符号为6/m2/m2/m，可简化为6/mmm。国际符号例四：立方体，对称型国际符号为4/m2/m，可简化为m3m。例五：四面体，3L4i4L36P，国际符号为3m。例六：L2PC，单斜晶系，国际符号中只有一个位，代表Y轴方向，其方向上有2/m所以这一对称型的国际符号为2/m。m3m3m2/m国际符号3、根据国际符号判断所属晶系⑴根据低级晶族的对称特点判断其晶系，无2或m的为三斜晶系；2或m不多于一个的为单斜晶系；2或m多于一个的为斜方晶系。⑵中级晶族：首位是4或者为四方晶系；首位是3或者为三方晶系；首位是6或者为六方晶系。⑶高级晶族：第二位是3或的为等轴晶系。国际符号4、由国际符号写出对称型

例：2m，六方晶系国际符号返回首页首先，应掌握各个不同晶系的对称型的国际符号的特点，根据国际符号判断出所属晶系。然后结合对称要素组合定理，写出对称型。§1.5晶体的理想形状单形

聚形单形和聚形返回首页属于同一对称型的晶体，可以具有完全不同的形态。如下图所示的立方体、八面体和菱形十二面体，同属于3L44L36L29PC对称型，但是它们的形态各异。单形和聚形立方体八面体菱形十二面体晶体理想形态：单形和聚形

研究晶体形态的意义：

⑴有助于鉴定矿物种属

⑵有助于阐明矿物晶体形成条件单形和聚形一、单形

单形的概念

单形的推导

146种结晶单形

47种几何单形

几何单形的划分

各晶系的主要单形单形和聚形单形是借助对称型中全部对称要素的作用可以使它们相互重复的一组晶面。1、单形的概念：由对称要素联系起来的一组晶面的总和。立方体因此，同一单形的所有晶面彼此相等，即具有相同的性质，在理想情况下各晶面同形等大。单形和聚形例如：立方体单形2、单形的推导

推导方法：将一个原始晶面置于对称型中，通过对称型中全部对称要素的作用，必然可以导出一个单形的全部晶面。注意：不同的对称型可以导出不同单形；在同一对称型中原始晶面与对称要素的相对位置不同，也可以导出不同的单形来。单形和聚形以L22P对称型为例，说明单形的推导原始晶面与对称要素的相对位置有七种：

⑴位置1：原始晶面垂直于L2和2P。通过L2和2P作用不能产生新面，这一晶面就构成一个单形——单面。⑵位置2、3：原始晶面平行L2和其中一个P，而垂直另一个P。通过对称要素的作用——平行双面。单形和聚形(3)位置4、5：原始晶面与L2及一个P斜交，与另一P垂直——双面(4)位置6：原始晶面与L2平行，与2P斜交——斜方柱(5)位置7：原始晶面与L2及2P都斜交——斜方单锥

总结:在对称型L22P中，晶面与对称要素的相对位置有七种，共推导出五种单形。单形和聚形每一个对称型中，原始晶面与对称要素的相对位置最多只有七种，因此，同一对称型最多能推导出七种单形。对称要素较少的对称型，晶面与对称要素可能的相对位置数也会相应减少。对32种对称型逐一进行推导，最多可以推导出146种单形，称为146种结晶单形。3、146种结晶单形

常用单形形状或晶面形状和多少来命名，如六方柱、三方双锥、菱形十二面体、八面体、四面体等关于单形名称单形和聚形①三斜晶系之单形*数字为146种结晶单形的序号；**括号内数字为单形晶面的数目，下同。各晶系晶类的单形单形和聚形②单斜晶系之单形③斜方晶系之单形单形和聚形④四方晶系之单形单形和聚形⑤三方晶系之单形单形和聚形⑥六方晶系之单形单形和聚形⑦等轴晶系之单形单形和聚形4、47种几何单形

在146种结晶单形中，如果只考虑其几何形态的不同，则只有47种单形，称为几何单形。

47种几何单形的形状（如图所示）及描述：通常对一个单形的描述，包括晶面的形状、数目、相互关系、晶面与对称要素的相对位置以及单形横切面的形状等。单形和聚形⑴低级晶族的单形——共有七种，即单面、平行双面、双面、斜方柱、斜方四面体、斜方单锥和斜方双锥。

4.斜方柱5.斜方四面体6.斜方单锥7.斜方双锥1.单面3.双面2.平行双面单形和聚形⑵中级晶族的单形——除垂直高次轴可以出现单面或平行双面之外，尚可出现25种单形。A、柱类：三方柱、复三方柱、四方柱、复四方柱、六方柱、复六方柱共计六种。8.三方柱10.四方柱12.六方柱9.复三方柱11.复四方柱13.复六方柱横截面单形和聚形B、单锥类：三方单锥、复三方单锥、四方单锥、复四方单锥、六方单锥、复六方单锥共计6种。

14.三方单锥16.四方单锥18.六方单锥15.复三方单锥17.复四方单锥19.复六方单锥横截面单形和聚形C、双锥类：三方双锥、复三方双锥、四方双锥、复四方双锥、六方双锥、复六方双锥共计6种。

20.三方双锥22.四方双锥25.六方双锥21.复三方双锥23.复四方双锥24.复六方双锥横截面单形和聚形D、四方四面体和复四方偏三角面体

E、菱面体与复三方偏三角面体26.四方四面体28.复四方偏三角面体27.菱面体29.复三方偏三角面体单形和聚形30.三方偏方面体32.六方偏方面体31.四方偏方面体左形右形左形右形左形右形单形和聚形F、偏方面体类：三方偏方面体、四方偏方面体和六方偏方面体共计三种。分别由6、8、12个晶面组成，通过中心横切面分别为复三方形、复四方形和复六方形。33.四面体34.三角三四面体35.四角三四面体36.五角三四面体37.六四面体左形右形⑶高级晶族的单形（15种）单形和聚形A、四面体类：四面体、三角三四面体、四角三四面体、五角三四面体和六四面体38.八面体39.三角三八面体40.四角三八面体41.五角三八面体42.六八面体左形右形单形和聚形B、八面体类：八面体、三角三八面体、四角三八面体、五角三八面体和六八面体C、立方体类：立方体和四六面体

D、十二面体类：菱形十二面体、五角十二面体和偏方复十二面体。

43.立方体44.四六面体45.菱形十二面体46.五角十二面体47.偏方复十二面体单形和聚形⑴一般形与特殊形

根据单形晶面与对称要素的相对位置来划分的。

凡是单形晶面处于特殊位置，即晶面垂直或平行任何对称要素，或与相同的对称要素以等角相交，则这种单形称为特殊形。

反之，晶面处于一般位置，即不与任何对称要素垂直或平行（等轴晶系中的一般形有时可平行三次轴的情况除外），也不与相同的对称要素以等角相交，则这种单形称为一般形。5、几何单形的划分

一个对称型中，只可能有一种一般形，晶类即以其一般形的名称来命名。单形和聚形⑵开形和闭形

凡是单形的晶面不能封闭一定空间者称开形，如平行双面、各种柱类等。凡是其晶面能封闭一定空间者称为闭形，例如各种双锥以及等轴晶系的全部单形等。

单形和聚形⑶左形和右形互为镜像，但是不能以旋转操作使之重合的两个图形，称为左右形。对于偏方面体，可以上部两个晶面的不等长的边为准，长边在左者为左形，反之为右形。

30.三方偏方面体32.六方偏方面体31.四方偏方面体左形右形左形右形左形右形单形和聚形五角三四面体，两L3出露点间找出由三条晶棱组成的一折线，连接两L3出露点作一假想直线辅助观察，若组成折线的最下边的一条晶棱偏向左上方，即为左形，反之为右形。五角三八面体和五角三四面体类似，连接两L4出露点，若组成折线的最上边的一条晶棱偏向直线的左下方即为左形，反之为右形。单形和聚形取向不同的两个相同单形，如果相互间能借助旋转操作而彼此重合者，则互为正负形。(4)正形和负形：单形和聚形一种单形其晶面间的角度为恒定者，属于定形；反之，即为变形。属于定形者有单面、平行双面、三方柱、四方柱、六方柱、四面体、立方体、八面体和菱形十二面体九种单形。其余单形皆为变形。(5)定形和变形：单形和聚形等轴晶系：四面体、立方体、八面体、菱形十二面体、五角十二面体和四角三八面体三、六方晶系：平行双面、三方柱、六方柱、三方单锥、六方双锥、菱面体、复三方偏三角面体四方晶系：平行双面、四方柱、四方和复四方双锥低级晶族：平行双面、斜方柱、斜方双锥6、各晶系的主要单形

单形和聚形1、聚形的概念

2、聚形分析

3、聚形分析中注意问题二、聚形和聚形分析单形和聚形定义：由两个或两个以上的单形聚合而成的晶形称为聚形。1、聚形的概念四方柱与四方双锥之聚形单形和聚形有几个单形相聚，其聚形上就有几种不同的晶面。在聚形上，不同单形的晶面不同形等大，同一单形的晶面同形等大；不同单形的晶面也不能借助对称要素的作用而彼此重合。因此，可根据聚形中不同晶面的种数，判定聚形中的单形数目。单形的相聚不是任意的，只有属于同一对称型的单形才能相聚；换句话说，聚形也必须是属于一定的对称型，因此，聚形中的每一单形的对称型当然都与该聚形的对称型一致。聚形的特点单形和聚形聚形分析：就是判定一个聚形是由哪几种单形组成。聚形分析步骤如下：⑴首先确定聚形所属的晶族、晶系和对称型。⑵确定聚形上有几种不同的晶面，以确定该聚形是由几个单形构成的。⑶确定每一种单形的晶面数目。⑷根据每一单形的晶面数目、晶面相互关系、聚形所属对称型和晶系、晶面与对称要素的相对空间关系，参照教材上的表5，确定单形名称。2、聚形分析单形和聚形⑴牢记单形相聚的原则。如四方柱不能和八面体相聚。⑵不能把形状大小相同的一组晶面分成几个单形，如立方体的六个晶面不能看作三个平行双面。⑶作聚形分析时要想象地将属于同一单形的各晶面延长相交，根据相交后的单形的形状来定名。⑷在一晶体中，可出现两个或两个以上名称相同的单形。如锆石的晶体就是有两个四方双锥和一个四方柱组成的聚形。锆石晶体单形和聚形返回首页3、注意问题§1.6晶体结构的基本特征单位平行六面体的划分14种布拉维格子晶胞的概念晶体的微观对称要素空间群的概念返回首页1、平行六面体的划分原则⑴所选取的平行六面体应能反映结点分布所固有的对称性；⑵在上述前提下，所选取的平行六面体其棱与棱之间的直角应力求最多；⑶在遵循上两个条件的前提下，所选取的平行六面体的体积应最小。实质上与晶体定向的原则一致，即尽量使a＝b＝c，α＝β＝γ＝90°。

一、单位平行六面体的划分晶体结构的基本特征例如，右图为具有L44P的平面格子。显然，4、5、6与对称不符，3的轮廓虽然符合对称性，但结合其内部结点的分布一起来考虑时，就与对称不符了。在1和2中，则以1的面积最小，故应选1作为基本单位。具有L44P的平面点阵晶体结构的基本特征平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、β、γ是表示它本身的形状、大小的一组参数，称为单位平行六面体参数或点阵参数（格子常数）

在空间格子中，按上述选择原则选取的平行六面体称为单位平行六面体。晶体结构的基本特征2、各晶系平行六面体的形状和结点分布

各晶系相应的七种平行六面体的形状和格子常数如下图和表中所示。

C－六方和三方格子晶体结构的基本特征晶系格子常数特点等轴晶系a=b=cα=β=γ=90°四方晶系a=b≠cα=β=γ=90°六方和三方晶系a=b≠cα=β=90°γ=120°三方晶系a=b=cα=β=γ≠90°、60°、109°28′16″斜方晶系a≠b≠cα=β=γ=90°单斜晶系a≠b≠cα=γ=90°β＞90°三斜晶系a≠b≠cα≠β≠γ≠90°各晶系的格子常数特点晶体结构的基本特征根据平行六面体中结点的分布情况，又可以分为四种格子类型：原始格子（P）、底心格子（C）、体心格子（I）和面心格子（F）。晶体结构的基本特征原始格子底心格子体心格子面心格子二、14种布拉维格子

综合考虑平行六面体的形状和结点的分布，空间格子共有十四种，最初是由布拉维推导出来的，所以称为十四种布拉维格子。而不是28种，因为有些类型的格子是彼此重复的，还有一些格子不符合某些晶系的对称而在该晶系中不能存在。

晶体结构的基本特征三斜原始格子单斜原始格子单斜底心格子斜方原始格子斜方底心格子斜方体心格子斜方面心格子C＝PI＝PF＝PI＝CF＝C三斜晶系单斜晶系斜方晶系表：十四种布拉维格子原始格子（P）

底心格子（C）体心格子（I）面心格子（F）晶体结构的基本特征四方原始格子四方体心格子立方原始格子立方体心格子三方菱面体格子（标记为R）六方和三方原始格子立方面心格子C＝PF＝I与本晶系对称不符I＝RF＝R不符合六方对称与空间格子条件不符与空间格子条件不符与本晶系对称不符四方晶系三方晶系三、六方晶系等轴晶系续表：十四种布拉维格子晶体结构的基本特征三、晶胞的概念晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，其形状大小与对应的空间格子中的平行六面体一致。晶胞与平行六面体的区别：空间格子由晶体结构抽象而得，空间格子中的平行六面体是由不具有任何物理、化学特性的几何点构成；而晶体结构中的晶胞则由实在的具体质点所组成。晶体结构的基本特征例如：NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子，a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°。许许多多该晶胞在三维空间无间隙的排列就构成了NaCl晶体。单位晶胞：晶体结构中划分晶胞的平行六面体单位是对应的空间格子中的单位平行六面体。单位晶胞可用晶胞参数来表征，其数值等同于对应的单位平行六面体参数。一般未加说明的晶胞一词是指单位晶胞。Cl－Na＋晶体结构的基本特征四、晶体的微观对称要素晶体内部构造的对称属于微观的无限图形的对称，不同于晶体外形的对称，外形的对称取决于内部构造的对称，而且是宏观的有限图形的对称。晶体的微观对称的主要特点如下：⑴在晶体构造中，平行任何一个对称要素都有无穷多的和它相同的对称要素。⑵在晶体构造中出现了一种在晶体外形上不可能有的对称操作——平移操作。晶体结构的基本特征在晶体内部构造中除有其外形上可能出现的那些对称要素之外，还出现了一些特有对称要素：⑴平移轴：图形沿一直线方向移动一定距离后，可使相同部分重复。任何一行列都是平移轴，有无穷多个。⑵滑移面（像移面）：是一个假想平面，当图形对此平面反映，并平行此平面的某一方向移动一定距离，可使图形的相同部分重复；也可以先平移后反映，效果相同。晶体结构的基本特征滑移面可按其平移方向与距离的不同分为轴向滑移、对角线滑移和金刚石型滑移，共5种滑移面。见下表。0晶体结构的基本特征⑶螺旋轴：为一条假想的直线，当图形围绕此直线旋转一定角度，并沿此直线方向平移一定距离后，可使图形复原。也可以先平移后旋转。螺旋轴的国际符号一般写成ns，n为轴次。s为小于n的自然数。与对称轴一样，n只能为1，2，3，4，6；相应的基转角α＝360°、180°、120°、90°、60°。若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T，则质点平移距离t应为（s/n）×T。如21，2为轴次，基转角为180°，平移距离t＝1/2T。晶体结构的基本特征螺旋轴据其轴次和平移距离可分为21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65共11种。一次螺旋轴因s值无意义而不能成立。螺旋轴据其旋转方向可有左旋（顺时针旋转）、右旋（逆时针旋转）和中性（顺、逆时针旋转均可）螺旋轴。一般规定：当0＜s＜n/2时属右旋(31

、41

、61

、62)；当n/2＜s＜n时属左旋(32

、43

、64

、65)；s＝n/2时属中性螺旋轴(21、42、63）。上述11种螺旋轴，其旋转方向和平移距离都是以右旋方式为标准的。若以左旋为标准，其平移距离应为（1-s/n)T。分左、右旋只是为便于研究和表达。晶体结构的基本特征五、空间群的概念空间群：晶体内部结构的对称要素的组合。空间群共有230种。晶体结构中可能出现的对称要素类型名称国际符号平移轴平移格子P、C、I、F轴对称要素对称轴1、2、3、4、6倒转轴1(C)、2(m)、3(3＋C)、4、6(3＋m)螺旋轴21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65面对称要素对称面m像移面a、b、c、n、d晶体结构的基本特征空间群的国际符号包括两个组成部分。前面的大写字母代表格子类型（P、C、I、F）。后一部分与对称型国际符号基本相同，只是将宏观对称要素符号换成相应的内部结构对称要素的符号。例如，I41/amd空间群。此晶体空间格子属于四方体心格子；它对应的对称型为4/mmm，即L44L25PC；平行Z轴方向为螺旋轴41，垂直Z轴为滑移面a，垂直X轴为对称面m，垂直X轴与Y轴角平分线则为滑移面d。230种空间群见附录二。

空间群的国际符号晶体结构的基本特征返回首页§1.7晶体化学基本原理原子半径和离子半径球体紧密堆积原理配位数和配位多面体离子的极化电负性鲍林规则晶体化学的基本原理返回首页晶体的性质是由晶体的组成和结构决定的，而组成与结构之间又存在着密切的内在联系。研究晶体的对称性，为研究晶体的结构提供了条件。此外，从晶体结构中质点的几何关系和质点间的物理、化学作用考虑，还存在一些决定晶体结构的基本原理。晶体化学的基本原理根据波动力学的观点，在原子或离子中，围绕核运动的电子在空间形成一个电磁场，其作用范围可看成是球形的，球的范围被认为是原子或离子的半径，球的半径即为原子半径或离子半径。有效半径：是指离子或原子在晶体结构中处于相接触时的半径。离子半径是晶体化学中的重要参数，但是由于极化的影响，离子半径的概念不是十分严格的。一、原子半径和离子半径晶体化学的基本原理1、等大球体的最紧密堆积及其空隙

等大球体在一个平面内的最紧密堆积只有一种方式，如下图。三个球围成一个空隙，尖角向下的B空隙和尖角向上的C空隙，两种空隙相间分布。二、球体紧密堆积原理尖角向上尖角向下ABC晶体化学的基本原理第二层球堆积于第一层之上时，第二层的每个球与第一层的三个球相邻接触，且落在同一种三角形空隙的位置上。八面体空隙四面体空隙第一层球第二层球CAB两层间，出现了两种不同的空隙：一是由六个球围成的八面体形状的空隙，称为八面体空隙

。另一种是由四个球围成的四面体形状的空隙，称为四面体空隙。晶体化学的基本原理第三层球的排列：①第一种堆积方式是第三层的球体落在在四面体空隙上。堆积结果：从垂直图面方向观察，第三层球的位置恰与第一层球相重复，继续堆积，第四层可与第二层重复，第五层又与第三层重复……此堆积方式可用ABABAB……的顺序来表示。球体在空间的分布恰好与空间格子中的六方格子一致，故称六方最紧密堆积。最紧密排列层∥（0001）。晶体化学的基本原理②第二种堆积方式是第三层球的球体落在八面体空隙上。第三层与第一、二层都不同，在叠置第四层时，才与第一层重复，第五层与第二层重复，第六层与第三层重复……，可用ABCABCABC……的顺序表示。如左下图所示。因球体在空间的分布与立方面心格子相一致，故称之为立