中考数学一轮复习精讲精练(全国通用)第二讲 一次函数-满分之路（解析版）

模块三函数第二讲一次函数及其应用知识梳理夯实基础知识点1：一次函数的图像与性质定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.注意：（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.2、一次函数图象与性质一次函数y=kx+b(k≠0)k，b的符号k>0k<0大致图像经过的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小与坐标轴的交点与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为.3、一次函数图象的平移一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度4、两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．知识点2：一次函数表达式的确定待定系数法求一次函数解析式的一般步骤设：设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．列：把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．解：解二元一次方程组，求出k，b．还原：将求得的k，b的值代入解析式．知识点3：一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式（组）的关系1．一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．2．一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．3．一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．知识点4：一次函数的应用1、一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．2、一次函数的实际应用主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．直击中考胜券在握1．直线y＝2x－5不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．【详解】解：∵一次函数y＝2x−5，k＝2，b＝−5，

∴该函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，

故选：B．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．2．(2023·长沙中考）下列函数图象中，表示直线的是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】根据一次函数的图象与性质即可得．【详解】解：一次函数的一次项系数为，随的增大而增大，则可排除选项，当时，，则可排除选项，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．3．(2023·苏州中考）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】根据一次函数的增减性加以判断即可．【详解】解：在一次函数y=2x+1中，∵k=2>0，∴y随x的增大而增大．∵2<，∴．∴m<n．故选：C【点睛】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．4．(2023·贺州中考）直线（）过点，，则关于的方程的解为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】关于的方程的解为函数的图象与x轴的交点的横坐标，由于直线过点A(2,0)，即当x=2时，函数的函数值为0，从而可得结论．【详解】直线（）过点，表明当x=2时，函数的函数值为0，即方程的解为x=2．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，即一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，要从数与形两个方面来理解这种关系．5．(2023·陕西中考）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为（）A．-5 B．5 C．-6 D．6【答案】A【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值．【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后得到的解析式为：，化简得：，∵平移后得到的是正比例函数的图像，∴，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键．6．(2023·柳州中考）若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A． B． C．y随x的增大而增大 D．时，【答案】B【分析】首先根据图像中过两点，求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可．【详解】首先将代入一次函数解析式，得，解得，所以解析式为；A、,由求出的，可知此选项错误；B、，由求出的，可知此选项正确；C、因为k＜0，所以y随x的增大而减小，故此选项错误；D、将x=3代入，，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查一次函数图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数解析式中系数的关系是解题关键．7．若式子有意义，则一次函数的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据二次根式的非负性及零指数幂的定义求出k-1>0，由此得到答案．【详解】解：∵式子有意义，∴，∴k-1>0，∴一次函数的图象可能是A，故选：A．【点睛】此题考查一次函数图象，正确掌握二次根式的非负性及零指数幂的定义是解题的关键．8．(2023·嘉兴中考）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点在直线上，且，先算出的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化．【详解】解：点在直线上，，将上式代入中，得：，解得：，由，得：，（两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变），故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：要注意在变形的时候，不等号的方向的变化情况．9.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数形结合的思想可知，不等式的解集即为满足直线的图像位于直线图像的上方的x，然后结合两直线的交点为P即可得到答案.【详解】解：由题意可知：直线与直线相交于P（20，25）结合函数图像可知当时，直线的图像位于直线图像的上方即关于的不等式的解集为：故选A．【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．10．(2023·娄底中考）如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根据图像以及两交点，点的坐标得出即可．【详解】解：∵直线和与x轴分别相交于点，点，∴观察图像可知解集为，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键．11．(2023·湖州中考）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2【答案】C【分析】分别求出点A、B坐标，再根据各选项解析式求出与x轴交点坐标，判断即可．【详解】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）A.y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；B.y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；C.y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；D.y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；故选：C【点睛】本题考查了求直线与坐标轴的交点，注意求直线与x轴交点坐标，即把y=0代入函数解析式．12．(2023·上海中考）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________．【答案】（且即可）【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限，∴k<0，当经过时，k=-1，由题意函数不经过，说明k≠-1，故可以写的函数解析式为：(本题答案不唯一，只要且即可)．【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，(k≠0)当时经过第二、四象限；当时经过第一、三象限．13．(2023·眉山中考）一次函数的值随值的增大而减少，则常数的取值范围是______．【答案】【分析】由题意，先根据一次函数的性质得出关于的不等式，再解不等式即可．【详解】解：一次函数的值随值的增大而减少，，解得：，故答案是：．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是：熟知一次函数的增减性．14．(2023·潍坊中考）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点（0，1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为_______．【答案】y=-x+1（答案不唯一）．【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，根据函数的性质得出b=1，k＜0，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．【详解】解：设一次函数解析式为y=kx+b，∵函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而减小，∴k＜0，取k=-1，∴y=-x+1，此函数图象不经过第三象限，∴满足题意的一次函数解析式为：y=-x+1（答案不唯一）．【点睛】本题考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键．15．（安徽省黄山市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题）如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为____．【答案】1【分析】根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，代入y＝0求出与之对应的x值，进而可得出点C的坐标及OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOC的面积．【详解】解：将A（1，2），B（0，1）代入y＝kx＋b，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x＋1．当y＝0时，x＋1＝0，解得：x＝−1，∴点C的坐标为（−1，0），OC＝1，∴S△AOC＝OC•yA＝×1×2＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式是解题的关键．16．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为_________．【答案】2．【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC=，可求OA=2，OD=，在Rt△AOD中，由勾股定理，可证△OAC∽△DAO，由相似三角形性质可求即可．【详解】解：过O作OE⊥AB于C，∵AB为弦，∴AC=BC=，∵直线与相交于A，B两点，∴当y=0时，，解得x=-2，∴OA=2，∴当x=0时，，∴OD=，在Rt△AOD中，由勾股定理，∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，∴△OAC∽△DAO，即，∴AB=2AC=2，故答案为2．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．17．(2023·达州中考）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是_________；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则_____，的值为______．【答案】【分析】联立直线和成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线和与x轴的交点，求得交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线和与x轴围成的三角形面积为的表达式，从而可得到和，再依据分数的运算方法即可得解．【详解】解：联立直线与直线成方程组，，解得，∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是；∵直线与x轴的交点为，直线与x轴的交点为，∴，∴，故答案为：；；【点睛】本题考查了一次函数（k≠0，b为常数)的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分数的特殊运算方法．解题的关键是熟练掌握一次函数（k≠0，b为常数)的图象与性质，能灵活运用分数的特殊运算方法．18．(2023·北京中考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，然后结合函数图象可进行求解．【详解】解：（1）由一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为；（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，解得：，函数图象如图所示：∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意，综上所述：．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．19．(2023·滨州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．（1）求交点P的坐标；（2）求PAB的面积；（3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．【答案】（1）；（2）3；（3）【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；

（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；

（3）根据图象求得即可．【详解】解:根据题意，交点的横、纵坐标是方程组的解解这个方程组，得交点的坐标为直线与轴的交点的坐标为直线与轴交点的坐标为的面积为在图象中把直线在直线上方的部分描黑加粗，图示如下:此时自变量的取值范围为

【点睛】

本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．20．(2023·云南中考）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只付销售提成；方案二：底薪加销售提成．如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系．（1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）；（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据图像中l1和l2经过的点，利用待定系数法求解即可；（2）分别根据方案一和方案二列出不等式组，根据解集情况判断即可．【详解】解：（1）根据图像，l1经过点（0，0）和点（40，1200），设的解析式为，则，解得：，∴l1的解析式为，设的解析式为，由l2经过点（0，800），（40，1200），则，解得：，∴l2的解析式为；（2）方案一：，即，解得：；方案二：，即，即，无解，∴公司没有采用方案二，∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是结合图像，求出两种方案对应的解析式．21．（重庆实验外国语学校2018-2019学年下学期八年级第一次月考数学试卷）如图，直线AC：y＝x+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB．（1）求直线BD的解析式和E的坐标．（2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积．【答案】（1）y＝﹣x+4，点E坐标为（，）；（2）．【解析】【分析】（1）先求直线AC：y＝x+2与x轴和y轴的交点A，C，由OA=OB得点坐标，代入直线BD：y=-x+b，求出b，即可知直线BD的解析式；再把直线BD的解析式与直线AC：y＝x+2联立即可求出点E的坐标．（2）由（1）知点C，D，E的坐标，再联立y=x和直线BD的解析式，求出点F的坐标，由三角形DOF的面积减去三角形DCE的面积，即可求出四边形ECOF的面积．【详解】解：（1）∵直线AC：y＝x+2分别交x轴和y轴于A，C两点，∴A（﹣4，0），C（0，2），∵OA＝OB，∴OA＝OB＝4，B（4，0），∵直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，∴0＝﹣4+b，∴b＝4，D（0，4）∴直线BD：y＝﹣x+4．解得∴综上，直线直线BD的解析式为：y＝﹣x+4，点E坐标为．（2）由（1）知：C（0，2），D（0，4），E，且由，得点F（2，2），∴S