第2课时指数函数的图象和性质（二）-解析

第2课时指数函数的图象和性质（二）典例精析题型一与指数函数复合方程有解问题【例1】已知方程有解，求实数的取值范围解.令.因为，所以，所以，即的值域为本题也可设，则，从而化为关于的方程至少有一个正根的条件．题型二运用与指数函数复合的函数的性质解题【例2】已知函数，则满足的取值范围是 (A) (B) (C) (D)解易知为偶函数，且在上单调递增，由，可得，即，解得，故选D注意本题的关键是注到不等式的右边好是，通过挖掘发现是偶函数，且在上单调递增，根据这两个挖掘的性质，再充分利用图像的直观性，降低了思维难度，简化了解题过程【例3】已知函数，对任意的实数，，，关于的方程的解集不可能是（） (A) (B) (C) (D)解令，则方程可转化为，它有，个解，则解方程，可转化为解方程及，由的图象（如图48所示）关于直线对称可知，若方程及有解，则当时，解为，当时，有两个关于对称的解，结合选项知D选项不符合条件，故选D．注意本题的关键是要挖掘出内层函数的图象关于直线对称.类型三与指数函数有关的综合问题例4已知是定义在上的奇函数，当时，.求在上的解析式;研究的单调性;（3）求的值域.分析根据奇函数的定义写出在上的解析式，按单调性定义求单调区间，由单调区间可得函数的值域.解（1）当时，.因为，所以.又，所以(2)设，则因为，所以,.又因为，所以，即.所以在上为减函数.同理,在上也为减函数.（3）由（2）知在上单调递减，所以当时，.又因为在上单调递减，所以当时，.而，所以函数的值域为例5已知函数.利用定义判断函数在区间上单调性;（2）对于任意正数，设，，试比较与的大小，并加以证明.解（1）任取且，则.因为,，所以，则.又，则，即.所以函数在区间上为减函数.（2）因为，所以,.而,所以.又函数在区间上是减函数，所以，故.注意本例第（2）题的解法是：先确定某一个函数的单调性；然后把要比较的两个值通过某种变形，使之成为的两个函数值;再根据这个函数的单调性来比较这两个值的大小.例6已知定义在上的函数，对任意，有，且当时，.（1）求证：对于，恒成立;（2）求证：函数在上为增函数;（3）若对于，恒成立，求实数的取值范围.（1）证明令，有.而，所以.又，所以.当时，，所以，从而.当时，;当时，.所以对于，恒成立.证明任取且，则，即.而，所以，从而有又，则有.故在上是增函数.若对于，恒成立解因为,,所以对于恒成立.又函数在上是增函数，所以对于恒成立，则有对对于恒成立.因为.所以的最大值为从而注意对于没有具体函数，而仅用函数符号来表示已知条件的函数问题，通常把特殊值代入已知关系式，得到解决问题所需要的新的关系式.如本例第（2）题.在确认，的前提下，可以用来比较与的大小基础精练5指数函数的图象和性质（二）A组1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）． A． B． C． D．【答案】B2．方程的实数根的个数是（）． A． B． C． D．【答案】C3．如果函数，且)在区间上是增函数，那么实数的取值范围是()． A． B． C． D．【答案】B4．不等式的解集为________．【答案】．【解析】不等式，可化为．即，解得．若函数在上的最大值为，最小值为，且函数在上是增函数，则______．【答案】．【解析】当时，有，，此时，，此时为减函数，不合题意．若，则，，故，，检验知符合题意．6．对于函数定义域中任意的，有:①；②；③；④．当时，上述结论正确的是_________(填序号)．【答案】①③④7．已知函数，．当时，有，则，的大小关系是_______．【答案】8．设是定义在上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是_______．【答案】9．根据牛顿冷却定律，可得出公式:，其中是物体的初始温度，是物体经过冷却了后的温度，是物体周围的温度，为正常数．假设有一根金属棒放入水中，如果水的温度保持为，后金属棒的温度由降至．试求后金属棒的温度．【答案】10．已知．(1)求的定义域;（2)判断的奇偶性，并说明理由;(3)证明:．【答案】见详解；【解析】（1）使函数有意义满足即，因此函数的定义域为．（2）因为所以是偶函数．（3）．当时，，所以，所以；当时，，所以，所以；综上，．B组11．已知函数若函数的值域为，则实数的取值范围是()． A． B． C． D．【答案】．【解析】当时，，要使函数的值域为，则需当时，解得．12．已知函数则______，不等式的解集为_________．【答案】，．【解析】因为，，所以．当，即时，，解得；当，即时，，解得．综上所述，不等式的解集为．13．设且，函数为奇函数，则_____,_____．【答案】，．【解析】由题意可知，得，即，则易知，，则函数，所以．14．设函数则_______．【答案】．【解析】．15．若关于的方程有实根,则实数的取值范围是_______．【答案】．【解析】设，则原方程可变为，=1\*GB3①原方程有实根，即方程=1\*GB3①有正根．令．(1)若方程=1\*GB3①有两个正实根，，则解得(2)若方程=1\*GB3①有一个正实根和一个负实根，则，解得．(3)若方程=1\*GB3①有一个根为0时，则，此时另外一个根是，符合要求．综上，．16．已知且,，若当时,均有,则实数的取值范围是_______．【答案】．【解析】由题知，当时，，即．在同一坐标系中分别作出二次函数和指数函数且)的图象，如图所示，当时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，易得的边界值为，，由图象可知，且，故实数的取值范围是．17．设函数．（1）证明:函数是奇函数;（2）证明:函数在内是增函数;（3）求函数在上的值域．【答案】见详解【解析】（1）由题意，得，即函数的定义域关于原点对称，所以函数为奇函数．（2）设，是内任意两实数，且，则因为，所以，所以，所以函数在内是增函数．（3）因为函数在内是增函数，所以函数在上也是增函数，所以，．所以函数在上的值域为．18．已知函数．（1）求证:不论为何实数，总是增函数;（2）确定的值，使为奇函数;（3）当为奇函数时，求的值域．【答案】见详解【解析】（1）的定义域为．设，则因为，所以，，所以，即，所以不论为何实数，总为增函数．（2）因为为奇函数，所以，即，解得，所以（3）由（2）知，．因为，所以，所以，所以，所以的值域为．19．求函数的最大值和最小值．【答案】，．【解析】令，则，转化为求在]上的最大值和最小值．20．已知函数，．(1)判断函数的奇偶性;(2)若当时，恒成立，求实数的最大值．【答案】见详解【解析】（1）由条件得，其定义域是，关于原点对称，又，故是奇函数（2）解法1由，得．=1\*GB3①当时，，