《第十三章 轴对称》单元测试卷及答案（共6套）

《第十三章轴对称》单元测试卷（一）时间：120分钟满分：120分题号一二三四五六总分得分一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．下列图标中是轴对称图形的是()2．如图，点C在AD上，CA＝CB，∠A＝40°，则∠BCD等于()A．40°B．70°C．80°D．110°第2题图第3题图第4题图3．妈妈问小欣现在几点了，小欣瞧见了镜子里的时钟如图所示(分针正好指向整点位置)，她立刻告诉了妈妈正确的时间，请问正确的时间是()A．6点20分B．5点20分C．6点40分D．5点40分4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是()A．15°B．20°C．25°D．30°5．若一个等腰三角形的两内角的度数为1∶2，则它的顶角的角度是()A．30°B．36°C．90°D．36°或90°6．已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有()A．3条B．5条C．7条D．8条二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．一个正五边形的对称轴共有________条．8．如图，等边△ABC中，AD为高，若AB＝6，则CD的长度为________．第8题图第10题图9．点(2＋a，3)关于y轴对称的点的坐标是(－4，2－b)，则ba＝________.10．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D.若AE＝3cm，△ADE的周长为10cm，则AB＝________.11．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2，PN＝3，MN＝4，则线段QR的长为________．第11题图第12题图12．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为________________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，AB＝AC，∠A＝100°，CE平分∠ACD，求∠ECD的度数．14．如图，已知AB＝AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗？为什么？15．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．16．如图，AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．17．如图是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形．试分别在图①和图②中，用无刻度的直尺通过连线的方式按要求作图：(1)在图①中画出一个小正方形ABCD；(2)在图②中画出图形的对称轴l.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，从①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CDA；③AB＝DC；④BE＝CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形(写出一种即可)．19．如图，在平面直角坐标系中，A(－3，2)，B(－4，－3)，C(－1，－1)．(1)在图中作出ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)写出点A1，B1，C1的坐标：A1________，B1________，C1________；(3)在y轴上画出点P，使PB＋PC最小．20．如图，OE平分∠AOB，EF∥OB，EC⊥OB.(1)求证：OF＝EF；(2)若∠BOE＝15°，EC＝5，求OF的长．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．22．如图，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC＋∠ADC＝180°.求证：(1)DC＝BC；(2)AB＋AD＝AC.六、(本大题共12分)23．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；(2)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？参考答案与解析1．D2.C3.D4.A5.D6．C解析：分别以A，B，C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个，如图①，分别为△ABD，△ABE，△ABF，△ACG，∴满足条件的直线有4条；分别以AB，AC，BC为底的等腰三角形有3个，如图②，分别为△ABH，△ACM，△BCN，∴满足条件的直线有3条．综上所述，满足条件的直线共有7条，故选C.7．58.39.110.7cm11.512．120°或75°或30°解析：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°.当△OCE为等腰三角形时，有如下情况．如图．①当E在E1时，OE＝CE，∴∠OCE＝∠AOC＝30°，∴∠OEC＝180°－30°－30°＝120°；②当E在E2时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝eq\f(1,2)(180°－30°)＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°.综上所述，∠OEC的度数为120°或75°或30°.13．解：∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠B＝(180°－100°)÷2＝40°，(2分)∴∠ACD＝100°＋40°＝140°.(4分)∵CE平分∠ACD，则∠ECD＝70°.(6分)14．解：AE∥BC.(2分)理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.由三角形的外角性质得∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠B.(4分)∵AE平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAE，∴∠B＝∠DAE，∴AE∥BC.(6分)15．解：∵△BDE是正三角形，∴∠DBE＝60°.(1分)∵BE垂直AC，∠BEA＝90°，∴∠A＝90°－60°＝30°.(3分)∵∠ABC＋∠C＋∠A＝180°，∠C＝∠ABC，∴∠C＝eq\f(180°－30°,2)＝75°.(6分)16．解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，∴BD＝DC.(2分)∵△ACD的周长是14cm，∴AD＋DC＋AC＝14cm，∴AD＋BD＋AC＝AB＋AC＝14cm.(4分)∵AB比AC长2cm，∴AB－AC＝2cm，∴AC＝6cm，AB＝8cm.(6分)17．解：(1)如图①所示．(3分)(2)如图②所示．(6分)18．解：选择的条件是：①∠B＝∠C，②∠BAD＝∠CDA(或①③，①④，②③)．(2分)证明如下：在△BAD和△CDA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,∠BAD＝∠CDA，,AD＝DA，))∴△BAD≌△CDA(AAS)，∴∠ADB＝∠DAC，(6分)∴AE＝DE，∴△AED为等腰三角形．(8分)19．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2分)(2)(3，2)(4，－3)(1，－1)(5分)(3)如图所示，连接B1C，交y轴于点P，点P即为所求．(8分)20．(1)证明：∵OE平分∠AOB，∴∠BOE＝∠AOE.∵EF∥OB，∴∠BOE＝∠OEF，(2分)∴∠OEF＝∠FOE，∴OF＝EF.(4分)(2)解：如图，过E作ED⊥OA于D.∵CE⊥OB，OE平分∠AOB，∴DE＝CE＝5.(6分)∵∠BOE＝15°，∴∠OEF＝∠FOE＝15°，∴∠EFD＝30°，∴EF＝2DE＝10，∴OF＝EF＝10.(8分)21．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△DBE和△ECF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,∠B＝∠C，,BD＝CE，))∴△DBE≌△ECF(SAS)，(3分)∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．(4分)(2)解：由(1)可知△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3.(5分)∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝∠C，∴∠B＝eq\f(1,2)(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，(7分)∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF＝180°－110°＝70°.(9分)22．证明：(1)如图，在AN上截取AE＝AC，连接CE.(2分)∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°，AC＝EC＝AE.又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC.(4分)在△ADC和△EBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠BEC，,∠ADC＝∠EBC，,AC＝EC，))∴△ADC≌△EBC(AAS)，∴DC＝BC.(6分)(2)由(1)知△ADC≌△EBC，AE＝AC，∴AD＝BE，∴AB＋AD＝AB＋BE＝AE，∴AB＋AD＝AC.(9分)23．解：(1)△OBC≌△ABD.(1分)证明如下：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，∴∠OBC＝∠ABD.(3分)在△OBC和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝AB，,∠OBC＝∠ABD，,CB＝DB，))∴△OBC≌△ABD(SAS)．(5分)(2)由(1)知△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°.又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°－60°－60°＝60°，∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰．(8分)∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，∴AE＝2，(9分)∴AC＝AE＝2，∴OC＝1＋2＝3，∴点C的坐标为(3，0)．(11分)∴当点C的坐标为(3，0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．(12分)《第十三章轴对称》单元测试卷（二）第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分）1、下列说法正确的是（）．A．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形B．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C．所有直角三角形都不是轴对称图形D．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形2、点M（1，2）关于轴对称的点的坐标为（）．A．（－1，－2）B．（－1，2）C．（1，－2）D．（2，－1）3、下列图形中对称轴最多的是()A．等腰三角形B．正方形C．圆D．线段4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2，则斜边的长为（）．A．2B．4C．6D．85、若等腰三角形的周长为26，一边为11，则腰长为（）．A．11B．7.5C．11或7.5D．以上都不对6、如图所示，是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC其中正确的结论有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个7、如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16B．18C．26D．288、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）．A．75°或15°B．75°C．15°D．75°和30°9、等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐标，能确定的是（）．A．横坐标B．纵坐标C．横坐标及纵坐标D．横坐标或纵坐标10、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（）A：B：C：D：二、填空题（每小题3分，共15分）11、已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=．12、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度．13、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为．14、如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．15．已知A（-1，-2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于轴对称．B B C A 16、已知：如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于轴、轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；（8分）17.如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OC=OD，求证：OA=OB。（7分）18.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，AB=AC，求证：BD=EC。（7分）19、作图题（保留作图痕迹）（1）作线段AB的中垂线EF（5分）（2）作∠AOB的角平分线OC（5分）（3）要在公路MN上修一个车站P，使得P向A，B两个地方的距离和最小，请在图中画出P的位置。（5分）A B C D EA B C D E ABPC北21、（9分）如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛P在轮船的北偏西15°，3小时后轮船航行到点B，小岛P此时在轮船的北偏西ABPC北（详细答案）题号12345678910答案ACCBCBCAAA116；121200；13500，800或650，650；1415；15上，5；16图略17.证明：∵OC=OD∴∠D=∠C∵AB//DC∴∠B=∠D，∠A=∠CF∴∠A=∠BF∴OA=OB18.证明：过点A，作AF⊥BC。∵AD=AE，AF⊥BC∴DF=EF（三线合一）∵AB=AC，AF⊥BC∴BF=CF（三线合一）∴BF-DF=CF-EF即BD=EC19图略20.证：∵在等边△ABD中，有AD=AB，且∠DAB=600在等边△AEC中，有AC=AE，且∠EAC=600∴∠DAB=∠EAC∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE∴△DAC≌△BAE∴CD=BE21.解：连接AP，且做PD垂直于AB交AB延长线于D点∵∠PBC=30°∴∠PBA=150°又∵∠A=15°∴∠APB=15°（180-150-15）∴PB=PA=45×3=45海里∴PD=22.5海里(30度角所对的边等于斜边一半)22.5大于20，所以不会触礁。《第十三章轴对称》单元测试卷（三）一、选择题1.已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为A．9B．12C．9或12D．52.下列判断中错误的是（）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等3.的角平分线AD交BC于点D，，则点D到AB的距离是（）A．1B．2C．3D．4COCODPBA4．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（）A．4 B．5 C．6 D．8ABCDE5.如图，是等腰直角三角形，，，若，垂足分别是．ABCDE则图中全等的三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对6.如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（）Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个AFCDHAFCDHBMEG拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1ABCDE8.如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，ABCDEA．20°B．25°C．30°D．40°9.如图，中，，，垂直平分，则的度数为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、填空题CDAEB10.如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数是．CDAEB11.如图，在等边中，分别是上的点，且，则 度．BDAEC如图，在中，点是上一点，，，BDAEC则度．13.等腰三角形的一个底角为，则顶角的度数是14.已知在和中，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．15.如图，在中，，平分，，那么点到直线的距离是cm．16.如图，在中，，，分别是，的中点，，为上的点，连结，．若，，，则图中阴影部分的面积为 ．三、计算题17.如图，在，，．求的度数．ＡＡＢＣ四、证明题18.已知：如图，是和的平分线，．求证：．19.如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，ＦＡＧＣＤＢ的平分线，交于点，，垂足为．ＦＡＧＣＤＢ求证：．20.如图所示，在中，分别是和上的一点，与交于点，给出下列四个条件：①；②；③；④．（1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定是等腰三角形（用序号写出所有的情形）；（2）选择（1）小题中的一种情形，证明是等腰三角形．ABC12O21.已知：如图，平分ABC12O求证：是等腰三角形．五、开放题22.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．解：需添加条件是．理由是：六、猜想、探究题23.如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．（1）在图1中，交于，交于．①证明；②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；图1图2图3（3）继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图1图2图324.（1）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系．答案一、选择题1.B2.B3.B4.C5.A6.Ｂ7Ｂ8.D9.Ｄ二、填空题10.11.12.13.12014.（或，或）15．316.30三、计算题17.解：ＡＢＡＢＣ四、证明题18.证明：因为是和的平分线，所以，．所以．在和中，所以．ABC12ABC12OEF563419.证明：，是边上的中线，．平分，，．20.（1）①③，①④，②③，②④（2）证明：略21.证明：作于，于又，（注：与平分等同，直用）．，．．．，即．．（注：此步可不写．）是等腰三角形．五、开放题22.解：需添加的条件是：BD=CD，或BE=CF．……2分添加BD=CD的理由：如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．………………4分又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BDE=∠CDF．…6分∴△BDE≌△CDF(ASA)．∴DE=DF．…8分添加BE=CF的理由：如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．……4分∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD．………6分又∵BE=CF，∴△BDE≌△CDF(ASA)．∴DE=DF．……8分六、猜想、探究题23.（1）①证明：连结．在中，，．，．（1分）方法一：．，．．．（3分）方法二：．．．．．（3分）②四边形的面积不发生变化；（4分）由①知：，．．（6分）（2）仍然成立，（7分）证明：连结．在中，，，，．．．，．．．（9分）（3）． （11分）24.解：（1）如图（共有2种不同的分割法，每种1分，共2分）（2）设，，过点的直线交边于．在中，①若是顶角，如图1，则，，．此时只能有，即，，即． 4分②若是底角，则有两种情况．第一种情况：如图2，当时，则，中，，．1．由，得，此时有，即． 5分2．由，得，此时，即．6分3．由，得，此时，即，为小于的任意锐角． 7分第二种情况，如图3，当时，，，此时只能有，从而，这与题设是最小角矛盾．当是底角时，不成立． 9分《第十三章轴对称》单元测试卷（四）时间：120分钟满分：120分题号一二三总分得分一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个交通标志图中为轴对称图形的是()2．在平面直角坐标系xOy中，点P(－3，5)关于y轴的对称点的坐标是()A．(3，5)B．(3，－5)C．(5，－3)D．(－3，－5)3．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是()A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆4．下列说法中，正确的是()A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等B．两个全等三角形一定关于某条直线对称C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线对称D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线对称5．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为()A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里6．如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是()A．40°B．35°C．25°D．20°7．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为()A．50°B．65°C．80°D．50°或80°8．如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP＝2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E.使其满足AD＝DC＝CE＝EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP，∠BCP的平分线，分别交AB于D，E，则D，E两点即为所求；乙：分别作线段AC，BC的垂直平分线，分别交AB于点D，E，则D，E两点即为所求．下列说法正确的是()A．甲、乙都正确B．甲、乙都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确9．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为()A．60°B．45°C．40°D．30°10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，则AB的长为()A．4B．6C．8D．1011．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状r12．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE的长为()A．7B．8C．9D．1013．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA＝()A．30°B．45°C．60°D．75°14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC＝45°，则∠ABC的度数为()A．75°B．80°C．70°D．85°15．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有()A．1个B．3个C．2个D．4个16．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP.其中正确的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2空，每空2分．把答案写在题中横线上)17．已知点A(m＋3，2)与点B(1，n－1)关于x轴对称，m＋n＝.18．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝20，则△PMN的周长为.19．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB，则∠BA1C＝80°；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E……按此做法继续下去，则第5个三角形中以A5为顶点的内角度数是5°.三、解答题(本大题有7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(8分)如图，已知AB＝AC，AE平分∠BAC的外角，那么AE∥BC吗？为什么？21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN分别交AB于D，交AC于E，BC＝6cm.求：(1)∠EBC的度数；(2)△BEC的周长．22．(9分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，连接CD交AB于点O，连接BD.(1)求证：AB垂直平分CD；(2)若AB＝6，求BD的长．23．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．24．(10分)作图题：(1)利用如图①所示的网格线作图：在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB＝QC；(2)如图②，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点．①作点E关于直线AD的对称点E′；②当EM＋CM的值最小时，作出此时点M的位置(标注为M′)．25．(11分)如图，△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边向右侧作等边△ADE.(1)如图①，点D在线段BC上移动时，直接写出∠BAD和∠CAE的大小关系；(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，猜想∠DCE的大小是否发生变化．若不变，请求出其大小；若变化，请说明理由．26．(12分)(1)问题探究：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线．请叙述辅助线的添法，并完成探究过程；(2)探究应用1：如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB的中点F，连接EF.线段BE与DE之间的数量关系是，并说明理由；(3)探究应用2：如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D在线段CB的延长线上，以AD为边作等边△ADE，连接BE.线段BE与DE之间的数量关系是，并说明理由．参考答案与解析1．D2.A3.A4.A5.D6.C7.D8.D9.C10.C11．B12.C13.C14.A15.B16．D解析：如图，连接OB.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°－∠BAD＝30°.∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确．∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∴∠APC＋∠DCP＝150°.∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°－(∠OPC＋∠OCP)＝60°.∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确．如图，在AC上截取AE＝PA.∵∠PAE＝180°－∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO＋∠OPE＝60°.∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE.在△OPA和△CPE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PA＝PE，,∠APO＝∠CPE，,OP＝CP，))∴△OPA≌△CPE(SAS)，∴AO＝CE，∴AC＝AE＋CE＝AO＋AP，故③正确．过点C作CH⊥AB于H.∵∠PAC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，∴CH＝CD，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CH，S四边形AOCP＝S△ACP＋S△AOC＝eq\f(1,2)AP·CH＋eq\f(1,2)OA·CD＝eq\f(1,2)AP·CH＋eq\f(1,2)OA·CH＝eq\f(1,2)CH·(AP＋OA)＝eq\f(1,2)CH·AC，∴S△ABC＝S四边形AOCP，故④正确．故选D.17．－318.2019．80°5°解析：∵在△CBA1中，∠B＝20°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝eq\f(180°－∠B,2)＝80°.∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝eq\f(1,2)∠BA1C＝eq\f(1,2)×80°；同理可得∠EA3A2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×80°，∠FA4A3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×80°，∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)×80°.∴第5个三角形中以A5为顶点的内角度数为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)×80°＝5°，故答案为80°，5°.20．解：AE∥BC.(2分)理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.由三角形外角的性质得∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠B.(5分)∵AE平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAE，∴∠B＝∠DAE，∴AE∥BC.(8分)21．解：(1)∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠C＝∠ABC＝65°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝50°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝15°.(5分)(2)∵AE＝BE，AB＝AC＝8cm，BC＝6cm，∴△BEC的周长＝BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝8＋6＝14(cm)．(9分)22．(1)证明：∵线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，∴AD＝AC，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形．(2分)∵∠BAC＝30°，∴∠DAB＝30°，∴∠BAC＝∠DAB，(4分)∴AO⊥CD，CO＝DO，∴AB垂直平分CD.(6分)(2)解：由(1)可知∠DAB＝30°.又∵∠ADB＝90°，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×6＝3.(9分)23．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△DBE和△ECF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,∠B＝∠C，,BD＝CE，))∴△DBE≌△ECF，(3分)∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．(4分)(2)解：如图，由(1)可知△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝∠C，∴∠B＝eq\f(1,2)(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，(7分)∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF＝70°.(9分)24．解：(1)如图①所示．(5分)(2)如图②所示：作出点E′(其中没加垂直符号扣1分)；连接CE′(或BE)与AD的交点即为M′.(10分)25．解：(1)∠BAD＝∠CAE.(2分)(2)∠DCE＝60°，不发生变化．(4分)理由如下：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，AD＝AE，∴∠ACD＝120°，∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.(7分)在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝120°－60°＝60°.(11分)26．解：(1)作CB的垂直平分线分别交AB，BC于P，D，连接CP.(1分)∴PC＝PB，∴∠PCB＝∠B＝30°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＝60°，∠ACP＝60°，∴∠APC＝∠A＝∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形，∴AC＝AP＝PC，∴AC＝AP＝PB＝eq\f(1,2)AB，即AC＝eq\f(1,2)AB.(3分)(2)BE＝DE(4分)理由如下：∵F是AB的中点，∴AF＝eq\f(1,2)AB.∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB，∠CAB＝60°.∴AC＝AF.∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴∠CAB－∠3＝∠DAE－∠3，即∠1＝∠2.(6分)在△ACD和△AFE中，AC＝AF，∠1＝∠2，AD＝AE，∴△ACD≌△AFE(SAS)，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF⊥AB.∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴BE＝DE.(8分)(3)BE＝DE(9分)理由如下：如图所示，取AB的中点F，连接EF，∴AF＝eq\f(1,2)AB.∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB，∠CAB＝60°，∴AC＝AF.∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴∠CAB＋∠BAD＝∠DAE＋∠BAD，即∠CAD＝∠FAE.(11分)在△ACD和△AFE中，AC＝AF，∠CAD＝∠FAE，AD＝AE，∴△ACD≌△AFE(SAS)，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF⊥AB.∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴BE＝DE.(12分)《第十三章轴对称》单元测试卷（五）时间：120分钟满分：120分题号一二三总分得分一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．下列瑜伽动作中，可以看成轴对称图形的是()2．如图，点C在AD上，CA＝CB，∠A＝40°，则∠BCD的度数为()A．40°B．70°C．80°D．110°第2题图第4题图3．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是()A．12B．15C．18D．204．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是()A．DE＝DCB．AD＝DBC．AD＝BCD．BC＝AE5．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为()A．30°B．36°C．54°D．72°第5题图第6题图第7题图6．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是()A．(－2，1)B．(－1，1)C．(1，－2)D．(－1，－2)7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE的长为()A．7B．8C．9D．108．如图，∠A＝80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是()A．40°B．30°C．20°D．10°第8题图第9题图9.如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4……若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1的度数为()A.eq\f(70°,2n)B.eq\f(70°,2n＋1)C.eq\f(70°,2n－1)D.eq\f(70°,2n＋2)10．已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有()A．3条B．5条C．7条D．8条二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11．等腰三角形的底角的度数为80°，则它的顶角的度数为________．12．如图，等边△ABC中，AD为高．若AB＝6，则CD的长度为________．第12题图第13题图13．如图所示是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B＝20°，则∠E＝________°.14．已知点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b，1－b)，则ab的值为________．15．如图，在△ABC中，AB＝BC，D是BC边上一点，点A在线段CD的垂直平分线上，连接AD.若∠B＝50°，则∠BAD＝________°.第15题图第16题图16．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F.若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为________cm.三、解答题(共8题，共72分)17．(8分)如图，已知AB＝AC，AE平分∠BAC的外角，那么AE∥BC吗？为什么？18．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC于点E，D为AB上一点，△BDE是正三角形．求∠C的度数．19．(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)求出△ABC的面积；(2)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；(3)写出点A1，B1，C1的坐标．20.(8分)如图，从①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CDA；③AB＝DC；④BE＝CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形(写出一种即可)．21．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；(2)若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．22．(10分)如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB、AC分别相交于点M，N且MN∥BC.(1)求证：BM＝OM；(2)若△AMN与△ABC的周长之比为2∶3，△ABC的周长为30，求BC的长．23．(10分)如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．(1)求证：CD＝BE；(2)若DE⊥AC，求BP的长．24．(12分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边向下侧作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边向下侧作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；(2)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？参考答案与解析1．A2.C3.C4.C5.B6.B7.CD解析：如图，连接OA，OB.∵∠BAC＝80°，∴∠ABC＋∠ACB＝100°.∵O是AB，AC垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC，∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，∴∠OBA＋∠OCA＝80°，∴∠OBC＋∠OCB＝100°－80°＝20°.∴∠BCO＝∠CBO＝10°，故选D.9．C解析：在△ABA1中，∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝70°.∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝eq\f(∠BA1A,2)＝35°.同理可得∠B2A3A2＝eq\f(∠B1A2A1,2)＝17.5°＝eq\f(70°,22)，∠B3A4A3＝eq\f(1,2)×17.5°＝eq\f(70°,23)，∴∠An－1AnBn－1＝eq\f(70°,2n－1).故选C.10．C解析：分别以AB，AC为腰的等腰三角形有4个，如图①所示，分别为△ABD，△ABE，△ABF，△ACG，∴满足条件的直线有4条；分别以AB，AC，BC为底的等腰三角形有3个，如图②所示，分别为△ABH，△ACM，△BCN，∴满足条件的直线有3条．综上可知满足条件的直线共有7条，故选C.11．20°12.313.2014.－1015.1516．8解析：如图，连接AD.∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×4·AD＝12，解得AD＝6cm.∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM＋MD的最小值．∴△BDM的周长最短为(BM＋MD)＋BD＝AD＋eq\f(1,2)BC＝6＋eq\f(1,2)×4＝6＋2＝8(cm)．故答案为8.17．解：AE∥BC.(1分)理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.由三角形外角的性质得∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠B.(4分)∵AE平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAE，∴∠B＝∠DAE，∴AE∥BC.(8分)18．解：∵△BDE是正三角形，∴∠DBE＝60°.(2分)∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°，∴∠A＝90°－60°＝30°.(4分)∵∠ABC＋∠C＋∠A＝180°，∠C＝∠ABC，∴∠C＝eq\f(180°－30°,2)＝75°.(8分)19．解：(1)依题意，S△ABC＝eq\f(1,2)×5×3＝eq\f(15,2).(3分)(2)△A1B1C1如图所示．(5分)(3)A1(1，5)，B1(1，0)，C1(4，3)．(8分)20．解：选择的条件是：①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CDA(或①③，①④，②③)．(2分)证明：在△BAD和△CDA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,∠BAD＝∠CDA，,AD＝DA，))∴△BAD≌△CDA(AAS)，∴∠ADB＝∠DAC，(6分)∴AE＝DE，∴△AED为等腰三角形．(8分)21．解：(1)∵AD⊥BE，BD＝DE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠AED＝∠B，∠C＝∠CAE.(2分)∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝eq\f(180°－∠BAE,2)＝70°，∴∠C＝eq\f(1,2)∠AED＝35°.(4分)(2)∵△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，∴AB＋BE＋EC＝8cm，(6分)即2DE＋2EC＝8cm，∴DC＝DE＋EC＝4cm.(8分)22．(1)证明：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.∵MN∥BC，∴∠CBO＝∠BOM，∴∠ABO＝∠BOM，∴BM＝OM.(4分)(2)解：同理可得CN＝ON，∴△AMN的周长为AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋BM＋CN＋AN＝AB＋AC.(7分)∵△AMN与△ABC的周长之比为2∶3，△ABC的周长为30，∴△AMN的周长为20.∴BC＝△ABC的周长－(AB＋AC)＝△ABC的周长－△AMN的周长＝30－20＝10.(10分)23．(1)证明：作DF∥AB交BC于F.(1分)∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°.∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF.(2分)∵点P为DE中点，∴PD＝PE.在△PDF和△PEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PFD＝∠PBE，,∠DPF＝∠EPB，,PD＝PE，))∴△PDF≌△PEB(AAS)，∴DF＝BE，∴CD＝BE.(5分)(2)解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°－∠A＝30°，∴AD＝eq\f(1,2)AE，∠BPE＝∠ABC－∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE.由(1)得CD＝BE，∴BP＝BE＝CD.(7分)设BP＝xcm，则BE＝CD＝xcm，AD＝(12－x)cm，AE＝(12＋x)cm.∵AE＝2AD，∴12＋x＝2(12－x)，解得x＝4，即BP的长为4cm.(10分)24．解：(1)△OBC≌△ABD.(1分)证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，∴∠OBC＝∠ABD.(3分)在△OBC和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝AB，,∠OBC＝∠ABD，,CB＝DB，))∴△OBC≌△ABD(SAS)．(5分)(2)由(1)知△OBC≌△ABD，∴∠BOC＝∠BAD＝60°.又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°－60°－60°＝60°，∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰．(8分)∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，∴AE＝2，(9分)∴AC＝AE＝2，∴OC＝1＋2＝3，∴当点C的坐标为(3，0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．(12分)《第十三章轴对称》单元测试卷（六）时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列瑜伽动作中，可以看成轴对称图形的是()2．平面直角坐标系中，点(－2，4)关于x轴的对称点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2的度数为()A．60°B．90°C．120°D．180°4．如图，如果直线MC是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝∠B＝110°，那么∠BCD的度数为()A．110°B．100°C．70°D．50°5．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为()A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为()A．13B．14C．15D．167．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为()A．50°B．65°C．80°D．50°或80°8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为()A．5B．10C．15D．209．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC＝45°，则∠ABC的度数为()A．75°B．80°C．70°D．85°10．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为()A．90°B．75°C．70°D．60°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高．若AB＝6，则CD的长为________．12．已知点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b，1－b)，则ab的值为________．13．如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为________．14．如图，在等边△ABC中，AB＝2，D为△ABC内一点，且DA＝DB，E为△ABC外一点，BE＝AB，且∠EBD＝∠CBD，连接AE，DE，CE.下列结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB＝30°；④若EC∥AD，则S△EBC＝1.其中正确的结论有________(填序号)．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．下列图形中，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，画出它的所有对称轴．16．如图，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠DAC，那么AE∥BC吗？为什么？四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，AB＝AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC＝6，△BDC的周长为15，求AC的长．18．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，∠ADC＝60°，求∠C的度数．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD＋CE＝5，求线段DE的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)求出△ABC的面积；(2)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；(3)写出点A1，B1，C1的坐标．六、(本题满分12分)21．如图，在四边形ADBC中，AC＝AD，∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，连接AB，CD交于点O，∠BAC＝30°.(1)求证：AB垂直平分CD；(2)若AB＝6，求BD的长．七、(本题满分12分)22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．八、(本题满分14分)23．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过点P作PE⊥A