高中数学人教A版选修2-1测评3-1-5空间向量运算的坐标表示

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示课后篇巩固提升1.已知A(1,2,0)和向量a=(3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为()A.(7,10,24) B.(7,10,24)C.(6,8,24) D.(5,6,24)解析∵a=(3,4,12),且AB=2a,∴AB=(6,8,24),∵A(1,2,0),∴B=(6+1,82,24+0)=(5,6,24),故选D.答案D2.已知A(2,5,1),B(2,2,4),C(1,4,1),则向量AB与AC的夹角为(A.30° B.45° C.60° D.90°解析由已知得AB=(0,3,3),AC=(1,1,0),因此cos<AB,AC>=所以向量AB与AC的夹角为60答案C3.若a=(1m,2m1,0),b=(2,m,m),则|ba|的最小值是()A.5 B.6 C.2 D.3解析∵ba=(1+m,1m,m),∴|ba|=(1+m)2+(∴|ba|≥2,即|ba|的最小值为2.故选C.答案C4.已知空间向量OA=(x,y,8),OB=(z,3,4),OA∥OB,且|AB|=52,则实数z的值为(A.5 B.5C.5或5 D.10或10解析因为OA∥OB,所以存在λ∈R,使得OA=λ又|AB|=52,而AB=OB-OA=(zx则x解得x=10,y答案C5.已知点A(1,2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),则△ABC的形状是()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析AB=(3,4,8),AC=(5,1,7),BC=(2,3,1),所以|AB|=32+42+82=89,|因此|AC|2+|BC|2=75+14=89=|AB|2.所以△ABC为直角三角形.答案C6.下列各组向量中共面的组数为()①a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5);②a=(1,2,1),b=(0,2,4),c=(0,1,2);③a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,1).A.0 B.1C.2 D.3解析①设a=xb+yc,则1=3x+4y,2=0·x+2y,3=2x+5y,解得x=-1,y=1,故存在实数x=1,y=1使得a=b+c,因此答案D7.已知a=(1,2,3),b=(3,0,1),c=-15,①|a+b+c|=|abc|;②(a+b)·c=a·(b+c);③(a+b+c)2=a2+b2+c2;④(a·b)·c=a·(b·c).其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析由题设可得a+b+c=195则|a+b+c|=63525=6355,abc=-95,1,235,(a+b)·c=(4,2,2)·-15,1,-35=45+265=0,a·(b+c)=(1,2,3)·14(a+b+c)2=63525=1275,而a2=14,b2=10,c2=3525=75,所以a2+b2+c因为a·b=3+03=0,所以(a·b)·c=0,而b·c=35+0+35=0,故a·(b·c)=0,故④正确.故选答案D8.已知a=(2,1,3),b=(5,2,x),且a⊥b,则实数x的值为.

解析∵a=(2,1,3),b=(5,2,x),且a⊥b,∴a·b=102+3x=0,解得x=4.∴实数x的值为4.答案49.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=2,则实数x=.

解析由已知得(c+a)=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=2,解得x=8.答案810.已知a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b与2ab的夹角为钝角,则实数k的取值范围为.

解析由a=(1,1,0),b=(1,0,2),ka+b=(k1,k,2),2ab=(3,2,2),所以(ka+b)·(2ab)=3×(k1)+2k4<0,解得k<75若ka+b与2ab反向,则ka+b=λ(2ab),λ<0.则k=2λ,1=-λ,所以k=2.所以当ka+b与2ab的夹角为钝角时,综上,k的取值范围是(∞,2)∪-2答案(∞,2)∪-11.已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(1)求以AB和AC(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a解由题中条件可知,AB=(2,1,3),AC=(1,3,2),(1)cos<AB,AC>=AB·AC|AB||AC故以AB和S=|AB||AC|sin<AB,AC>=14×32=(2)设a=(x,y,z),由题意得x解得x故a=(1,1,1)或a=(1,1,1).12.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若DB∥AC,DC∥(2)问是否存在实数α,β,使得AC=αAB+βBC成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.解(1)设D(x,y,z),则DB=(x,1y,z),AC=(1,0,2),DC=(x,y,2z),AB=(1,1,0).因为DB∥所以(-解得x=-1,y(2)存在.理由如下:依题意AB=(1,1