第六章信号的矢量空间分析

§6.1引言信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。本章主要内容利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；信号的正交函数分解；相关函数；能量谱和功率谱；§6.2

信号矢量空间的基本概念线性空间范数内积柯西－施瓦茨不等式一．线性空间定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。例:若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的积，记作定义１设是一个非空集合，为实数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的和，记作通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．例５在区间上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．例６正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为验证对上述加法与乘数运算构成线性空间．证明所以对定义的加法与乘数运算封闭．二．范数

常用范数若“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。考虑一个实数集合M.如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。

在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。

一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的信号，sup表示其幅度值。(3)常用的范数可见，一阶范数表示信号作用的强度。一阶范数物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。二阶范数三．内积直角坐标平面内两矢量相对位置关系利用范数符号，将矢量长度分别写作于是上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的“校准”情况。即多维三维推广信号空间对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为内的两连续信号的内积四．柯西－施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式证明柯西－施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式证明:即所以则有对于二维矢量空间，已知有如下关系§6.3信号的正交函数分解矢量的正交分解正交函数正交函数集复变函数的正交特性将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。简化系统分析与运算，总响应=单元响应之和。信号分解的目的误差矢量系数两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？方式不是惟一的：一．矢量的正交分解正交分解空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。一个三维空间矢量，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：

二．正交函数误差系数相关系数分解的原则：fe(t)的方均值最小，即误差信号功率(能量)最小。求系数c12交换微积分次序(1)(2)(3)先微分可得系数为再积分例6-3-1所以例6-3-2显然，由于所以例6-3-3用正弦波逼近三角函数,所以三．正交函数集任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：原函数近似函数r=0,1,2,...n基底函数分解原则是误差函数方均值最小理解正交函数集规定：所有函数应两两正交。不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。

是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。此公式是个通式，适合于任何正交函数集。两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是c12=0，即：

总结两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满足正交。四.复变函数的正交特性则此复变函数集为正交函数集。§6.4完备正交函数集、

帕塞瓦尔定理完备正交函数集帕塞瓦尔定理定义1：

定义2：

一．完备正交函数集二．帕塞瓦尔定理设为完备的正交函数集，即误差函数即因为代入即物理意义：

一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。信号的能量基底信号的能量各信号分量的能量数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。§6.6相关能量信号与功率信号相关系数与相关函数相关与卷积的比较相关定理6.6在一个周期内，R消耗的能量平均功率可表示为设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R上的电压瞬时功率为一．能量信号和功率信号定义讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：

(有限值)

(有限值) 满足式的称为能量信号，满足

式称功率信号。定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R=1，则在整个时间域内，实信号f(t)的平均功率能量一般规律

一般周期信号为功率信号。

非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。

还有一些非周期信号，也是非能量信号。如u(t)是功率信号；而tu(t)为非功率非能量信号;δ(t)是无定义的非功率非能量信号。例6-5-1判断下面的信号是功率信号还是能量信号。数学本质:相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。物理本质:相关与信号能量特征有着密切联系。

1．相关系数由两个信号的内积所决定：二．相关系数与相关函数相关系数此时，能量误差为令相对能量误差为其中由柯西－施瓦尔茨不等式，得所以2．相关函数f1(t)与f2(t)是能量有限信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数f1(t)与f2(t)是功率有限信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数分如下几种情况讨论：(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号①f1(t)与f2(t)为实函数:相关函数定义:可以证明：τ的偶函数相关函数：同时具有性质：(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号②f1(t)与f2(t)为复函数:

相关函数：

自相关函数：

(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号①f1(t)与f2(t)为实函数:相关函数：自相关函数：(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号②

f1(t)与f2(t)为复函数:两者的关系即与为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。反褶与之卷积即得与的相关函数

三．相关与卷积的比较

与卷积表达式：与相关函数表达式：说明相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。①

②

③

例6-5-2对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有此例结论1.周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同。2.自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。3.余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。四．相关定理若已知则若则自相关函数为由相关函数定义可知取傅里叶变换同理可得：相关定理证明说明1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之积。2.自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。§6.6能量谱和功率谱6.7能量谱与功率谱1.能量谱由相关定理知所以又能量有限信号的自相关函数是有下列关系若为实数,上式可写成……帕塞瓦尔方程定义……能量谱密度（能谱）所以有所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。2．功率谱是功率有限信号fT(t)f(t)ttT2T2-信号f(t)及其截断函数T是有限的，能量有限则的平均功率为：定义f(t)的功率密度函数(功率谱）一个极限的概念，单位频带内信号功率随频率的变化情况，无相位信息t并取两端乘以可以得到：即功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。利用相关定理有：例6-6-1求余弦信号的自相关函数和功率谱。为功率信号,所以自相关函数为:因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换,所以功率谱为:求功率谱例6-6-2白噪声，其功率谱密度为利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相关函数为冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。求自相关函数。§6.7信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析能量谱和功率谱分析信号经线性系统的自相关函数6.8前面，从中研究了现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。三者的关系一．能量谱和功率谱分析X时域频域物理意