高考数学-导数概念及函数的单调性、极值、最值（解析版）

专题05导数概念及函数的单调性、极值、最值

一、思维方法

二、查缺补漏

考点一：导数的运算考点二：求切线的方程

考点三：求曲线的切点坐标考点四：导数与函数图象问题

考点五：导数几何意义的应用考点六：不含参函数的单调性

考点七：讨论含参函数的单调性考点八：根据函数单调性求参数

考点九：利用导数比较大小考点十：利用导数解不等式

考点十一：根据函数图象判断极值考点十二：已知函数求极值

考点十三：根据极值求参数的值（范围）考点十四：利用导数求函数的最值

三、真题训练

2021年真题2022年真题

四、热点预测

单选题：共8题多选题：共4题

填空题：共4题解答题：共6题

【思维方法】

1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用

运算法则求导.

2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

4.求曲线在点P（xo,yo）处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导

数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直

于X轴，切线方程为X=X0.

5.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标

不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程（组）求解，求出切点坐标是解

题的关键.

6.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数

的方程（组）并解出参数：

⑴切点处的导数是切线的斜率；

(2)切点在切线上；

(3)切点在曲线上.

7.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.

8.确定函数单调区间的步骤：

⑴确定函数人大)的定义域；

(2)求了(x)；

(3)解不等式/(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式/(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

9.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨

论.

(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和

函数的间断点.

10.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如於)=/,/(X)=3X2^0(/,(X)

=0在x=0时取到)，兀乃在R上是增函数.

11.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件/(x)20(或/(x)W0),x

G(a,力恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应

注意参数的取值是了(力不恒等于0的参数的范围.

(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.

12.若函数y=/(x)在区间(a,力上不单调，则转化为了(x)=0在(a,勿上有解.

13.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的

问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.

14.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若

存在人为与了(X)的不等关系时，常构造含人劝与另一函数的积(或商)的函数，与题

设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.

15.由图象判断函数y=/(x)的极值，要抓住两点：(1)由y=『(x)的图象与x轴的交

点，可得函数y="x)的可能极值点；(2)由导函数y=/(x)的图象可以看出y=f(x)

的值的正负，从而可得函数y=/(x)的单调性.两者结合可得极值点.

16.运用导数求函数兀。极值的一般步骤：

(1)确定函数Xx)的定义域；

(2)求导数了(无);

(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；

⑷列表检验/(X)在/(x)=0的根xo左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

17.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0

和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

18.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检

验.

19.求函数火刈在闭区间［出加上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点

的函数值汽a),汽切与人劝的各极值进行比较得到函数的最值.

20.若所给的闭区间团，口含参数，则需对函数人为求导，通过对参数分类讨论，

判断函数的单调性，从而得到函数人x)的最值.

【查缺补漏】

【考点一】导数的运算

【典例1】(多选题)下列求导运算正确的是()

A.后)=一送BLy”

C.(xcosx)f=—sinxD.Q-j』1+5

2xr2

【解析】对于A,(=)=—去•Qnx)'=—金豕，对于B,(Xe)=(x+2x)e\对

于C,(xcosx)r=cosx—xsinx,对于D,；)=l+p.

故选AD.

【典例2】若於尸上+2x了21”T,则小尸

21

【解析】由已知/(x)=x—lnx+1一/

【典例3】设函数/)=昂.若了⑴兰，贝|。=.

［解析］由…(七)丁，可得了(1尸备%;*即

解得a=1.

【考点二】求切线的方程

【典例1】曲线y=3(f+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.

【解析】y=3(2x+l)ex+3(^2+x)ex=3ex(x2+3x+1),

所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率％=00*3=3,所以所求切线方程为3x—y=

0.

【典例2】曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为

【解析】设切点坐标为(xo,yo),

因为y=lnx+x+l,所以

所以切线的斜率为1+1=2,解得xo=l.

所以yo=ln1+1+1=2,即切点坐标为(1,2),

所以切线方程为y—2=2(x—1),即2x—y=0.

【典例3】已知於)为偶函数，当x<0时，段)=ln(—x)+3x,则曲线产危)在

点(1,—3)处的切线方程是.

【解析】设x>0,则一无<0,八一x)=lnx—3无，又人尤)为偶函数，/U)=lnx—3%，

，(%)=:一3,/(1)=—2,切线方程为y=—2x—1,即2x+y+l=0.

【考点三】求曲线的切点坐标

【典例1】在平面直角坐标系x0y中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A

处的切线经过点(一e,—l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是,此

时切线方程为.

【解析】设n),则曲线y=lnx在点A处的切线方程为y—m).

又切线过点(一e,—1),所以有“+l='(m+e).

再由几=lnm,解得根=e,n=\.

故点A的坐标为(e,1),

切线方程为X—ey=O.

x21

2.已知曲线丁=了一31nx的一条切线的斜率为5,则切点的横坐标为()

A.3B.2C.1D.|

【解析】设切点的横坐标为xo,

r21

*.*曲线丁=4-31nx的一条切线的斜率为1,

解得xo=3或xo=-2(舍去，不符合题意)，

即切点的横坐标为3.

故选A.

【考点四】导数与函数图象问题

【典例1】如图，点A(2,l),B(3,0),E(x,0)(xN0),过点E作OB的垂线I.记AAOB

在直线/左侧部分的面积为S,则函数S=/(x)的图象为下图中的()

【解析】函数的定义域为［0,+oo),当xG［0,2］时，在单位长度变化量Ar内面积

变化量AS大于0且越来越大，即斜率/(%)在［0,2］内大于0且越来越大，因此，

函数S=/(x)的图象是上升的且图象是下凸的；

当x©(2,3)时，在单位长度变化量Ax内面积变化量AS大于0且越来越小，即斜

率/(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S=/(x)的图象是上升的且图象

是上凸的；

当xG［3,+8)时，在单位长度变化量Ax内面积变化量AS为0,即斜率/(无)

在［3,+8)内为常数0,此时，函数图象为平行于X轴的射线.

故选D.

【典例2】已知y=/(x)是可导函数，如图，直线y=Ax+2是

曲线丁=兀0在x=3处的切线，令g(x)=_^(x)，g，(x)是g(x)的

导函数，则g'(3)=.

【解析】由题图可知曲线y=/(x)在x=3处切线的斜率等于

-p-V(3)=-|-

；g(x)=^x)，,g'(x)=Ax)+4(x)，

g'(3)=<3)+3/(3),又由题意可知火3)=1,

••.g，(3)=l+3X(-£|=0.

【典例3］如图所示，y=/(x)是可导函数，直线Z：y=kx+3是曲线y=«r)在x

f(x)

=1处的切线，令/1。)=一一，"(X)是"⑴的导函数，则旗1)的值是()

Ji

A.2B.1

【解析】由图象知，直线/经过点(1,2).

则上+3=2,k=~l,从而/(1)=—1,且五1)=2,

.f(无)xf(x)—f(x)

由h(x)=",侍h'(x)="2，

所以/z,(l)=r(l)-Xl)=-l-2=-3.

故选D.

【考点五】导数几何意义的应用

【典例1】(多选题)已知函数人》)=5—Inx,若兀r)在x=xi和x=X2(xi#X2)处切

线平行，则（)

AJ-।J-l

=B.xiX2<128

\/xiy/x22

C.XI+X2<32D.X?+X5>512

3^一:（X>O）,因为兀0在X=X1和X=X2（X1#X2）处切线

【解析】由题意知了（x）=

平行’所以/（》1）=/（32）,即2\1^一丁=2y/j^一石化简得7^+京^=]'故A正

确；由基本不等式及廿双可得上+/

x,9>2,即xiX2>256,故B

错误；xi+%2>2y[xix2>32,故C错误；X?+J^>2XIX2>512,故D正确.故选AD.

【典例2】已知函数八元）=0©%〃>0）与g（x）=2f—皿心0）的图象在第一象限有公

共点，且在该点处的切线相同，当实数机变化时，实数〃的取值范围为（）

A&，+8BS+°°

c(o,1D[O,4

【解析】设在第一象限的切点为4（X0,州）,

4xo=2x§—m,

所以xo>O,

{m>0,

由m=2看一4%0>0和xo>O,解得xo>2.

4xn4x

由上可知。=*,令//(%)=菽，

CCx>2,

.4(1—x)

则h'(x)=—

4(1—%)

因为x>2,所以"(x)=—<0,

4x

械0=菽在（2,+8）上单调递减,

C

所以即

0</z(x)<*,[故选D.

【典例3】函数y（x）=lnx—ax在x=2处的切线与直线以一y一1=0平行，则实

数<7=（）

A.-lB.|C.|D.l

【解析】'.,fix)=\nx—ax,：.f(x)=\—a.

Ji

，曲线y=/(x)在x=2处切线的斜率k=f⑵,

因此;一a=a,；.a=：.

故选B.

【考点六】不含参函数的单调性

【典例1】函数五x)=f—21nx的递减区间是()

A.(0,1)B.(l,+8)

C.(—8,1)D.(T,1)

22(尤+1)(x—1)

【解析】./(x)=2x—;=------------；------------(尤>0),

.••当x©(0,1)时，/(x)<0,人乃为减函数；

当x©(l,+8)时，f(x)>0,/(x)为增函数.故选A.

【典例2】函数五x)=(x—3)e*的递增区间是()

A.(—8,2)B.(0,3)

C.(l,4)D.(2,+8)

【解析】f(x)=(x-3)d+(x—3)(e)=(尤一2)e"

令了(x)>0,解得x>2,故选D.

【典例3】已知定义在区间(一兀，兀)上的函数火x)=xsinx+cosx,则兀0的递增区

间是.

【解析】/(x)=sinx+xcos%—sinx=xcosx.

令/(x)=xcosx>Q,

则其在区间(一兀,兀)上的解集为(一兀,圄山野，

即兀0的单调递增区间为(一兀,一)和(0,S

【考点七】讨论含参函数的单调性

【典例1】已知函数Hx)=|ax2—(a+l)x+lnX,a>0,试讨论函数y=/(x)的单调

性.

【解析】函数五X)的定义域为(0,+8),

/(x)=ax-(a+l)+；

“X2—(〃+1)%+1(依-1)(%—1)

XX

(1)当0<。<1时，(>1,

.,.x£(0,1)和\,+8)时，/(x)>0；

'll'0时，/任)<°，

函数4x)在(0,1)和g,+8)上单调递增，在［1,0上单调递减;

(2)当。=1时，1=1,

.../(x)N0在(0,+8)上恒成立,

，函数兀X)在(0,+8)上单调递增；

(3)当a>\时，0<^<1,

.•.xG(0,0和(1，+8)时，7(x)>0；

・1，1)时，了(无)<°，

...函数凡X)在(0,0和(1,+8)上单调递增，在,，1)上单调递减.

综上，当0<a<l时，函数兀r)在(0,1)和+8)上单调递增，在11,力上单调

递减；

当a=\时，函数次x)在(0,+8)上单调递增；

当a>l时，函数於)在(0,0和(1，+8)上单调递增，在色1］上单调递减.

21—1

【典例2］已知«X)=Q(%—lnx)+—X2—，〃>0，讨论火工)的单调性.

【解析】火的的定义域为(0,+8),

a2।2(ax2—2)(x—1)

f^=a-~~^=了

当xG(O,1)U+°°时，r(x)>o,

当时，/«<0.

(2)当a=2时，A/|=1,在x£(0,+8)内，/(X)>O,人劝递增.

(3)当a>2时，Ovi<b

0u(i,+8)时，了@>0,

当xG0,

当i)时，/㈤<s

综上所述，当0<a<2时，/(x)在(0,1)和6J1,+8)内递增，在［1,、/马内递减.

当。=2时，夫x)在(0,+8)内递增；

(，1)内递减.

当。>2时，於)在0,+8)内递增，在

【典例3】已知函数人x)=a尤+lnx(a©R),求人x)的单调区间.

【解析】由已知得了(x)=a+:=.(x>0),

Ji人

①当时，由于x>0,故ax-\-l>0,/(x)>0,

所以人X)的单调递增区间(0,+8).

②当。<0时，令/(x)=0,得X=一

在区间(0,一J上，/(%)>0,在区间«,+H上，/(x)<0,

所以函数_/U)的单调递增区间为(o,—0,单调递减区间为(一5，+8).

【考点八】根据函数单调性求参数

b

【典例1】已知X=1是y(x)=2x+;;+lnx的一个极值点.

(1)求函数火X)的单调递减区间；

(2)设函数g(x)=«x)—若函数g(x)在区间［1,2］内单调递增，求实数。的

•X

取值范围.

b

【解析】(l)/(x)=2x+i+lnx,定义域为(0,+°°).

b,12x2+x-Z?

：.f(x)=2-^+~=x2

b

因为x=l是«x)=2x+1+lnx的一个极值点,

所以/(1)=0,即2—。+1=0.

解得6=3,经检验，适合题意，所以6=3.

2/+x—3

所以/(©=

令了(x)<0,得0<x<l.

所以函数;(x)的单调递减区间为(0,1).

3+。,a,1,a

(2)g(x)=/(x)—二^=2x+lnx--(x>0),g，a)=2+1+j(x>0).

因为函数g(x)在［1,2］上单调递增，

所以g%x)20在［1,2］上恒成立，

即2+：+/20在［1,2］上恒成立，

所以2X2—x在［1,2］上恒成立，

所以〃2(—2X2-X)max,［1,2］.

因为在［1,2］上，(—2X2—X)max——3,

所以—3.

所以实数〃的取值范围是［—3,+8).

【典例2］若函数ynR+d+mx+l是R上的单调函数，则实数机的取值范围

是()

A.生+8)B(-8,|

%，+8)D.［—8,0

【解析】由丁=/+冗2+小+1是R上的单调函数，

所以y=3f+2x+加三0恒成立，或y=3x2+2x+mC0恒成立，

显然y'=3x2+2x+根NO恒成立，

则/=4—12Z0,所以加斗

故选AC.

【典例3】设函数氏0=52—91nx在区间［a—1,。+1］上单调递减，则实数。的

取值范围是.

9

【解析】易知八%）的定义域为（0,+°°）,且了（龙）=%—二

Ji

9

又x>0,令/（x）=%——W0,得0<xW3.

因为函数人X）在区间3—1,。+1］上单调递减，

a—1>0,

所以解得l<aW2.

［a+lW3,

【考点九】利用导数比较大小

【典例1】（多选题）定义在（0,期上的函数人x）,已知/（x）是它的导函数，且恒有

cosx-f（x）+sinx-J（x）<0f^iL,则有（）

A.周>也用B.小局>局

C周〉书局D.限於小局

【解析】构造函数g（x尸察》4臼.则g，（x）J⑴工3fx<。，

即函数g（x）在I。，驾上单调递减，所以g（*ge，所以局>小局，同理，且用

>4S即也周>小局，故选CD.

【典例2］已知丁=%）是定义在R上的奇函数，且当x<0时不等式加）+4（x）<0

成立，若。=3°-3八3°，3）,b=logn3-f（logn3）,c=log3^-y^log3^,则a,b,c的大小

关系是（）

A.a>b>cB,c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

【解析】设g(x)=V(x),

则g'(x)=Ax)+邛(力，

又当x<0时，f(x)-\-xf(x)<0,

.,.x<0时，g'(x)<0,g(x)在(一8,0)上单调递减.

由y=/(x)在R上为奇函数，

知g(x)在R上为偶函数，

；.g(x)在(0,+8)上是增函数，

c=g(log3^=g(—2)=g(2),

又0<^3<1<303<73<2,

03

g(log7t3)<g(3)<g(2),即b<a<c.

故选D.

【典例3]已知函数Hx)=xsinx,x©R,则_/[1),五1),《一§的大小关系为()

B贝)却尚

c.周次1)>《制

Dj一部周次1)

【解析】因为Hx)=xsinx,所以火一x)=(—x>sin(—x)=;tsinx=/(x),所以函数於)

是偶函数，所以《一|]=局.又当野时，/(x)=sinx+xcosx>0,所以函数

危)在(0,野上是增函数，所以局勺⑴勺尊，即小加⑴飕I，故选A.

【考点十】利用导数解不等式

【典例1】已知人为在R上是奇函数，且了(x)为人防的导函数，对任意xGR,均

f(x)

有1A成立，若八―2)=2，则不等式火工)>—2厂1的解集为()

A.(—2,+°0)B.(2,+8)

C.(—8,-2)D.(—8,2)

f(x)

【解析】於)七/一可'(%)一加2.加)<0.

人f(%)

令g(x)=2工，

小)()

则g'(x)」f-(-%---~--f全X---,-I-n-2-，

：.g\X)<Q,则g(X)在(一8,+8)上是减函数.

由五—2)=2,且犬x)在R上是奇函数，

得火2)=—2,则媳)=£笠=一

「f(x)1

又火x)>—2-x1=2X>—g=g(2)，即gO)>g(2),

所以x<2.

故选D.

【典例2］已知函数段)=3x+2cosx.若。=/3&)，b=fil),c=/log27),则a,

b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

【解析】由题意，得了(尤)=3—2sinx.

因为一IWsinxWl,所以，(x)>0恒成立，

所以函数人x)是增函数.

因为正>1,所以36>3.

又Iog24<log27<log28,即2<log27<3,

所以2<log27<3也，

所以/2)</(log27)<^3V2),即b<c<a.

故选D.

【典例3】函数八%)的导函数为〃x),对任意xGR,都有/(x)>—加0成立，若人也

2)=1,则满足不等式危旧的x的取值范围是()

A.(l,+8)B.(0,1)

C.(ln2,+8)D.(0,In2)

【解析】对任意xGR,都有/(x)>-/x)成立，即/(x)+Hx)>0.

令g(x)=e-y(x),

则g")=eV(x)+)x)]>0,

所以函数g(x)在R上单调递增.

不等式即e%>)>1,即g(x)>l.

因为加12)=2,

所以g(ln2)=*"(In2)=2x1=l.

故当x>ln2时，g(x)>g(ln2)=1,

所以不等式8。)>1的解集为(1112,+8).

故选C.

【考点十一】根据函数图象判断极值

【典例1】设函数人x)在R上可导，其导函数为了(X),且函数y=,『

(1—x)/(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A.函数人X)有极大值人2)和极小值汽1)'

B.函数火工)有极大值/一2)和极小值火1)

C.函数人x)有极大值人2)和极小值五-2)

D.函数人x)有极大值1一2)和极小值人2)

【解析】由题图可知，当尤<一2时，了(x)>0；

当一2<x<l时，/(^)<0；当1<%<2时，/(x)<0；

当x>2时，/(x)>0.

由此可以得到函数应¥)在X=—2处取得极大值，

在x=2处取得极小值.

故选D.

【典例2】设函数而c)在R上可导，其导函数为/(x),且函数g(x)=3(x)的图象

如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A<x)有两个极值点

B次-2)为函数的极大值

C._/(x)有两个极小值

D人-1)为4x)的极小值

【解析】由题图知，当无6(—8,—2)时，g(x)>0,.-.f(x)<0,

当XG(—2,0)时,g(x)<0,.,./(x)>0,

当xG(0,1)时，g(x)<0,.寸㈤<0,

当xG(l,+8)时，g(x)>o,.•./(元)>0,

.•优x)在(一8,-2),(0,1)上单调递减，

在(一2,0),(1,+8)上单调递增.

故ABD错误，C正确.

故选C.

【典例3】(多选题)函数y=/(x)的导函数y=/(x)的图象如图所示，则()

A.—3是函数y=/(x)的极值点

B.-1是函数y=/(x)的极小值点

口=%)在区间(一3,1)上单调递增

D.-2是函数丁=兀0的极大值点

【解析】根据导函数的图象可知，当x©(—8,—3)时，/(x)<0,当x©(—3,—

1)时，/(x)>0，所以函数y=/(x)在(一8,—3)上单调递减，在(一3,—1)上单调

递增，可知一3是函数y=/(x)的极值点，所以A正确.

因为函数y=/(x)在(一3,1)上单调递增，可知一1不是函数y=/(x)的极小值点，

一2也不是函数y=/(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误.

故选AC.

【考点十二】已知函数求极值

【典例1】已知函数八x)=lnx—ax(aGR).

⑴当。=3时，求於)的极值；

⑵讨论函数人乃在定义域内极值点的个数.

【解析】⑴当时，4r)=lnL；x,函数的定义域为(0,+8)且一£=

乙乙人N

2一二

~2^9

令/(尤)=0,得x=2,

于是当x变化时，r(x),/X)的变化情况如下表.

X(0,2)2(2,+8)

+0——

»In2-1

故;(x)在定义域上的极大值为火x)极大值=/(2)=ln2—1,无极小值.

(2)由(1)知，函数兀0的定义域为(0,+°°)，

/W=1-«=1一〃元

-A/X,

当时，/(x)>0在(0,+8)上恒成立，

则函数在(0,+8)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点;

当a>0时，若xd[o,0，则/(x)>0,

若+8),则了任)<0,

故函数在x=(处有极大值.

综上可知，当aWO时，函数八X)无极值点，

当。>0时，函数y=/(x)有一个极大值点，且为x=1.

【典例2】已知函数求函数4x)的极值.

【解析】因为人的二%2—l—2alnx(x>0),

2a2(x2—g)

所以了(x)=2x「

xx

①当〃<0时，因为％>0,且所以/(x)>0对x>0恒成立，所以八工)在(0,

+8)上单调递增，/(X)无极值.

②当6>0时，令/(x)=O,解得汝=如，冗2=—,(舍去).

所以当X变化时，/(%),“X)的变化情况如下表：

X(0,\[a)(y[a,+°°)

rw—0+

»极小值

所以当时，«r)取得极小值，且五，^)=("\/^)2—1—2aln,\[a=a-1-tzlna,

无极大值.

综上，当。<0时，函数«¥)在(0,+8)上无极值.

当。>0时，函数Hx)在x=g处取得极小值a—1—alna,无极大值.

【典例3】已知函数段)=x—1+义?©&e为自然对数的底数)，求函数於)的

极值.

【解析】求导得，了(x)=l—名，当aWO时，f(x)>0,/(x)为(一8,十8)上的增函

V

数，所以函数火》)无极值.

当。>0时，令/(x)=0,得6^=<7,即x=lna,

当尤6(—8,山a)时，/(x)<0；

当xG(lna,+8)时，/(x)>0.

所以五x)在(一8,Ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增.

故兀0在x=lna处取得极小值且极小值为火Ina)=lna,无极大值.

综上，当aWO时，函数五x)无极值；

当a>0时，y(x)在x=lna处取得极小值Ina,无极大值.

【考点十三】根据极值求参数的值(范围)

【典例口已知x=；是函数Hx)=x(lnax+1)的极值点，则实数a的值为()

AAeB."eC.lD.e

【解析】因为函数“x)=x(lnax+l)有极值点，

所以了(%)=(lnax+l)+l=2+lnax.

因为冗=：是函数“x)=x(lnax+1)的极值点，

c

所以=2+=0.

所以=—2,解得4Z=1.

故选B.

.4....

【典例2】已知函数兀0=必一加十力.若兀¥)在。+3)上存在极大值，则a

的取值范围是.

2

【解析】/(AOMBX2—2ax=%(3%—2a),令1(%)=0,得%i=O,

当〃=0时，兀0单调递增，兀0无极值，不合题意.

当a>0时，火工)在％=半处取得极小值，在冗=0处取得极大值，

则a—l<O<a+3,又a>0,所以Q<a<1.

°

当。<0时，兀0在1=胃处取得极大值，在尤=0处取得极小值，

则。一lu^va+B,又a<0,所以一9<a<0.

所以。的取值范围为(一9,0)U(0,1).

【典例3］已知在％=—1处有极值0,则a-\-b=.

【解析】f(x)=3X2+6ax-\-b,

/(-1)=0,4=1,。=2,

由题意得，解得或<

/(-I)=0,［。=3b=9.

当a=l,b=3时，f(x)^3x2+6x+3^3(x-\-l)2^Q,

在R上单调递增，

.•犹x)无极值，

所以。=1,0=3不符合题意,

当。=2,0=9时，经检验满足题意.

.,.a+b=ll.

【考点十四】利用导数求函数的最值

【典例1】已知函数g(x)=aln无+九2—(a+2)x(aGR).

(1)若。=1,求g(x)在区间［1,e］上的最大值;

(2)求g(x)在区间［1,e］上的最小值力他).

【解析】.,.g(x)=lnx+%2—3x,

•卬(无)=：+2%-3=(2%—1)(%—1)

x

V%e[l,e],・卬(%)20,

；・ga)在[1,e]上单调递增,

••g(x)max=g(e)=e2-3e+1.

(2)g(x)的定义域为(0,+8),

g'(x)=(+2x—(a+2)

.A/

2/—(〃+2)%+〃

X

(2x-4)(％—1)

X

①当gwi,即aW2时，g(x)在［1,e］上单调递增，h(d)=g(l)=­a—l；

②当l<^<e,即2<a<2e时，g(x)在1,，上单调递减,在售e上单调递增，h(d)

⑷—,£12

一21—aIn2一4〃一。；

③当自2e,即aN2e时，g(x)在［1,e］上单调递减，h(a)—g(e)==(1—e)t7+e2—2e.

’—a-1,a<2,

综上，h(a)=<2<o<2e,

、(1—e)tz+e2—2e,〃N2e.

【典例2】已知函数g(x)=lnx—宗+Z?在区间［1,3］上的最小值为1,求g(x)在

该区间上的最大值.

【解析】依题意知，g(x)的定义域为(0,+°°).

因为g(x)=lnx一"十。，

1x

所以对g(x)求导，得g'(x)=1—a

4—%2(2—.x)(2+x)

~4x~4x

当2)时,g'(x)>0,当尤e(2,3)时,g'(x)<0,

所以g(x)在［1,2］上单调递增，在［2,3］上单调递减，

在区间［1,3］上,g(x)max=g(2)=ln2—b.

19

又g(l)=-g+。，g(3)=ln3—g+。，

g(3)—g(l)=ln3—1>0,

所以g(X)min=g(l)=—1+/?=1,

95

解得。=R,所以g(2)=ln2+g.

于是函数g(x)在区间［1,3］上的最大值为g(2)=ln2+1.

%2

【典例3】设函数/)满足力(x)+2动㈤=弓，火2)=M，则x>0时，加)()

4O

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

12

【解析】构造函数g(x)=x2")，则/(尤)=4(》)+2求x)=?g(2)=2?贯2)=向

所以人》)=&¥，

xgf(x)~2g(x)e*—2g(x)

小尸?=•

记h(xj—^—lg{x),则h'(x)=ex—2g'(x)~—(x—2),当0<x<2时，h'(x)<0,所以

力(x)单调递减；

当x>2时，"(x)>0,所以/z(x)单调递增.

h(x)

故ma)］min=e2—2g(2)=0,所以/(尤)=一^5—e0恒成立，故函数兀0既无极大值

也无极小值.故选D.

【真题训练】

1.(2021•乙卷)设oWO,若x=a为函数/(x)=a(x-a)2Qx-b)的极大

值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<.crD.ab>d1

【解析】令/(无)=0,解得x=a或x=。，即x=a及.x=b是/(x)的两个零点,

当。>0时，由三次函数的性质可知，要使尤=。是/（无）的极大值点，则函数/

（无）的大致图象如下图所示，

则0<a<b；

当。<0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/（3的极大值点，则函数/

（x）的大致图象如下图所示,

综上，ab>a2.

故选：D.

2.（2021•新高考I）若过点（a,b）可以作曲线y=e*的两条切线，则（）

A.eb<.aB.ea<bC.0<。<於D.Q<.b<.ea

【解析】函数是增函数，y'=">0恒成立，

函数的图象如图，y>0,即切点坐标在x轴上方，

如果（a,。）在x轴下方，连线的斜率小于0,不成立.

点（a,。）在x轴或下方时，只有一条切线.

如果（a,。）在曲线上，只有一条切线；

（a,b）在曲线上侧，没有切线；

由图象可知（。，。）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0V

b<ea.

故选：D.

法二：设过点(a,b)的切线横坐标为f,

则切线方程为y=—(x-7)+/,可得(a+1-/),

设f(?)=，(a+1-/),可得f⑺=e'(a-Z),tE(-°°,a),f(r)

>0,f(r)是增函数，

te(a,+8),f(?)<o,f(r)是减函数，

因此当且仅当0<0<e〃时，上述关于f的方程有两个实数解，对应两条切线.

故选：D.

3.(2021•新高考n)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x)：f(x)

=x2.

dy(X1X2)=/(Xl)/(X2)；②当花(0,+8)时，f(x)>0；@f(x)

是奇函数.

2=22

【解析】/(X)=/时，f(x1X2)=(x1X2)x1x2=f(x1)f(X2)；当在(0,

+°°)时，f(x)=2x>0；f(x)=2x是奇函数.

故答案为：/(x)=/.

另解：幕函数/(x)=^(a>0)即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，

综上所述，取/(x)即可.

4.(2021•新高考I)函数/(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为.

【解析】法一、函数/1(x)=|2x-1|-2/〃x的定义域为(0,+8).

当•时，f(%)=\2x-1|-2lnx=-2x+l-2lnx,

此时函数/(x)在(0,点上为减函数，

当■时，f(x)—\2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx,

则#(x)=2上=2"),

XX

当xC(p1)时，f(x)<0,f(x)单调递减，

当xe(1,+8)时，f(%)>o,f(%)单调递增，

,：f(x)在(0,+8)上是连续函数，

.,.当XC(0,1)时，f(x)单调递减，当XC(1,+8)时，于3单调递增.

当尤=1时/(%)取得最小值为/(I)=2X1-1-2历1=1.

故答案为：1.

法二、令g(x)=|2x-1|,h(%)=2lnx,

分别作出两函数的图象如图：

由图可知，/(x)芸/1(1)=1,

则数/(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1.

故答案为：L

5.(2021•上海)已知/(x)=鼻+2,则尸(1)=

X

【解析】因为/(X)=-+2,

X

令/(x)=1,即旦+2=1,解得x=-3,

x

故/1(1)=-3.

故答案为：-3.

2x-l

6.(2021•甲卷)曲线y=《运在点(-1,-3)处的切线方程为

【解析】因为丁="，(-1,-3)在曲线上,

x+2

2(x+2)-(2x-l)5

所以y=

(x+2产(x+2)2

所以V"」=5,

则曲线丁=红'在点(-1，-3)处的切线方程为：

x+2

y-(-3)=5[x-(-1)],即5x-y+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

7.(2022•乙卷)函数/(%)=cosx+(x+1)sin%+l在区间[。，2TC]的最小值、最

大值分别为()

”，三+2

22

【解析】/(x)cosx+(x+1)sinx+1,xE[0,2n],

贝U/(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx,

令cosx=0得，-或弓

...当xRO,-y)时，f(x)>0,f(x)单调递增；当(与，等)时，f

(x)<0,f(x)单调递减；当xE(得二2n］时，f(x)>0,f(x)单调递

."(x)在区间［0,2n］上的极大值为八5)=9+2,极小值为/(等)=-等,

又,：于(0)=2,f(如)=2,

；•函数/(x)在区间［0,2川的最小值为-等，最大值为皆+2，

故选：D.

8.(2022•新高考I)(多选)已知函数/(x)=x3-x+L则()

A./(x)有两个极值点

B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

【解析】，(x)=3N-l,令/(%)>0,解得*<零或x>喙，令/(%)

<0,解得当〈除，

OO

减，且f+9>o,f阵)=9-平>0,

0y□y

：.f(%)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项5错误；

又f(%)(-%)=--x+1-x3+x+l=2,则f(尤)关于点(0,1)对称,故选

项C正确；

假设y=2x是曲线y=f(x)的切线，设切点为(a,b),则3a7=2,解得］a=l

L2a=blb=2

或

lb=-2

显然(1,2)和(-1,-2)均不在曲线y=/(x)上，故选项。错误.

故选：AC.

9.(2022•新高考I)若曲线y=(x+a)有两条过坐标原点的切线，则。的取

值范围是.

x

【解析】y'="+(x+a)eS设切点坐标为(xo,(%o+a)eo)，

xx

切线的斜率k=eo+(Xo+a)eo,

xXXs

，切线方程为y-(xo+tz)eo=(e°+(x0+a)e)(x-xo),

xXoX

又,切线过原点，，-(沏+。)eo=(e+(xo+a)e°)(-&)，

-

整理得：XQ2+axQa=O,

•.•切线存在两条，...方程有两个不等实根，

/.A=a2+4a>0,解得aV-4或a>0,

即a的取值范围是(-8,-4)U(0,+8),

故答案为：(-8,-4)U(0,+8).

10.(2022•新高考H)曲线y=ln\x\过坐标原点的两条切线的方程

为，•

【解析】当x>0时，y=lnx,设切点坐标为(xo,livco'),

,.丁=工，...切线的斜率左=：,

XX。

•••切线方程为丁-加3二;^-^),

x0

又,切线过原点，.-lnxo=-1,

••%o——e9

・••切线方程为y~1=—(x-e)，即x-ey=O，

e

当xVO时，y=ln(-x),与的图像关于y轴对称,

，切线方程也关于y轴对称，

，切线方程为x+ey=O,

综上所述，曲线y=/”|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x-ey=O,x+ey=O,

故答案为：x-ey=O,x+ey—Q.

11.（2022•乙卷）已知x=xi和x=X2分别是函数/（x）=2。-ex2（。>0且a

W1）的极小值点和极大值点.若Xl<龙2,则。的取值范围是.

【解析】对原函数求导（%）=23na-ex）,分析可知：f（x）在定义

域内至少有两个变号零点，

对其再求导可得：f"（x）=2a，Una）2-2e,

当a>l时，易知/（x）在R上单调递增，此时若存在配使得尸（xo）=0,

则/（X）在（-8,X0）单调递减，（X0,4-00）单调递增，

此时若函数/（X）在％=即和X=X2分别取极小值点和极大值点，应满足阳>松,

不满足题意；

当0<a<l时，易知/（x）在R上单调递减，此时若存在xo使得/（xo）=

0,

则/（%）在（-8,xo）单调递增，（%o,+8）单调递减，且x°=loga~^~~

（lna）

此时若函数/（X）在X=X1和无=X2分别取极小值点和极大值点，且X1VX2，

故仅需满足f（xo）>0,

—^―_1/re

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