正方形基本型-母题溯源（解析版）-2024年中考数学

正方形基本型-母题溯源

题型•归纳

模型解读...................................................................................2

【模型一】中点+折叠...................................................................2

【模型二】双中点（十字架模型拓展）....................................................4

【模型三】对角线模型.................................................................11

【模型四】半角模型...................................................................12

题型一中点+折叠模型....................................................................16

题型二双中点模型（十字架拓展）.........................................................19

2023・东营•中考真题....................................................................19

2203•绥化•中考真题....................................................................22

题型三对角线模型.......................................................................28

2023•攀枝花•中考真题..................................................................34

2023•四川宜宾・统考中考真题............................................................35

题型四半角模型（七个性质）.............................................................37

2023•重庆•中考真题....................................................................37

2023•眉山•中考真题....................................................................38

2022达州•中考真题....................................................................40

知识点•梳理

模型解读

【模型一】中点+折叠

性质一：AA'IA'D；性质二：F,G为中点；性质三：A'GLCG;性质四：ZEBG=45°；

性质五：DG=2CG；性质六：tanZDCN=-

3

性质一证明：AA'±AD

性质二证明：G是BC中点

性质三，四证明：HL全等

性质五证明：勾股，或“12345”模型

故；记)

【12345模型说明】易知a+£=45。,tana=1,tan£=,AB=12nCG=4,ZG=8

性质六证明：12345模型

【模型二】双中点(十字架模型拓展)

(1)知2推1：①M中点；②N是中点；③AMLDN

BNC

(2)已知：M是中点，N是中点，连接CE并延长，交AD于F

①求EM:ED:EN:AE=

②证明：EC平分/NEM

求变

③

AF

【解析】

法二：旋转相似（手拉手模型）

法三：四点共圆

②法一：角平分线定理

F在角平分线上，过F作角两边垂线

.DFSADEFDE1

*AF=S^=AE=2（角平分线定理2）

法二：12345模型（正切和角公式）

11

ZDEF=45°,ZEDC=-^tanZDCF=-

（3）已知：M,N是中点，。是中心，连接0E,①求DE:EG:GN;②证/OEC=90°

DE2NG1

ro12345模型

NE3'DG2

【解析】第二问

法一：由(2)可知NNEC=45°,故构造手拉手模型可得△黄0△黄(SAS),从而可得NNEO=45。，得证

或者换个方向也可以，像这种方方正正的图形也可以试试建系

A

B等-。

法二：四点共圆法三：补成玄图易知/OEG=45。

BN、、一一一，CBNC

(4)已知：M,N是中点，连接BE,证BE=CD

BNC

【解析】法一斜边上的中线等于斜边一般

法二：过AD的中点P作AE垂线，交AM于Q,可得Q是AE中点，则BQ垂直平分AE,故AB=BE

法三：对角互补得四点共圆，导角得等腰

法四：勾股定理，由(2)可知DE：NE=2:3,设值求值即可

(5)已知：M,N是中点，连接BE,AHLBE于H,交DN于K,证AK=CD

【解析】法一：构造玄图导等腰

N1=N2=N3二N4

法三：建系求坐标（略）

【模型三】对角线模型

互推关系

PA=PC①PA_LPE=>P/=PE

®PA=PE^>PALPE

【模型四】半角模型

如图，已知ABCD为正方形，ZFAE=45°,对角线BD交AE于M,交AF与N,AGXEF

5个条件知1推4

①ZEAF=45°

②BE+DF=EF

③AHLEF>AH=AB

④AE平分/BEF

⑤AF平分/DFE

【性质一】5个条件知1推4（全等）

【性质二】BG2jt-HD-=GH2（勾股证）

【性质三】NMGN=90°

【性质四】①AM2=MN,MD；②AN2=NM・NB；③SABCD=BNDM（2组子母，1共享型相似）

【性质五】△ANE,AAMF,是2个隐藏的等腰直角三角形（反8字相似或四点共圆）

□

【性质六】△AMN^AAFE,且相似比为注（用全等导角）

2

NDBMV2

【性质七】（旋转相似）

EC~FC~2

【性质一】DF+BE=EF

易证4ABE会AAGE,易证4AGF会4ADF

【性质二】BG2+HZ）2=G//2简证，如图

【性质三】ZMGN=900简证，如图：两组全等

【性质四】①AM?=MN•MD；②AN?=NM♦NB；③SABCD=BN-DM（2组子母，1共享型相似）

简证③，如图

SABCD=BN-DM（共享型相似）

/1=45°+/2=/BANnZ\BANsADMA=>BN«DM=AB«AD

【性质五】ZXANE,AAMF,是2个隐藏的等腰直角三角形

简证，以4ANE为例，AAMF方法相同

AMNM,,

法一：两次相似△AMNs^BMEn——=——ABMA^AEMNZABM=ZNEM=45°

ZBMEM

法二：ABEN四点共圆，对角互补NABE+NANE=180。或NABN=NAEN

【性质六】△AMNSAAFE,且相似比为1

2

先证相似，易知N1=N2=N3,故相似成立

相似比为：AH=AH=V2

AGAB2

■.匡八

【性质七】——ND=——BM=—V2

ECFC2

「ZDV2

y-------=--------

EC2

EC2

重点题型•归类精练

题型一中点+折叠模型

1.如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将ACOE沿直线OE折叠后，点C落在点尸处,

再将其打开、展平，得折痕OE.连接CP、BF、EF,延长2尸交AD于点G.则下列结论：①BG=DE；

112

②。尸，BG；®sinZDFG=~；@S,DFG=-f其中正确的有（）

A・1个B.2个C・3个D.4个

【解答】解：••・四边形A5CD是正方形，

A5=5C=A。=CO=4,ZABC=ZBCD=90°,

•.•石是边的中点，

/.BE=CE=2,

•・・将NCDE沿直线DE折叠得到ADFE,

DF=CD=4,EF=CE=2,ZDFE=ZDCE=90°,/DEF=/DEC,

EF=EB,

ZEBF=ZBFE,

•・•ZEBF=/BFE=1(180°-ZBEF),NCED=/FED=；(180°-ZBEF),

/.ZGBE=/DEC,

/.BG/IDE,

・•BE/IDG,

二.四边形5EDG是平行四边形，

；.BG=DE,故①正确；

EF=CE,

/EFC=ZECF,

ZFBE+ZBCF=ZBFE+ZCFE=1x180°=90°,

2

NBFC=9Q。,

/.CF1BG,故②正确；

•・•ZABG+ZCBG=ZBFE+ZDFG=90°,

:.ZABG=ZDFG,

,/AB=4,DG=BE=2,

AG-2,

BG=2A/5，

sinZDFG=sinNABG=—=~^==—故③错误;

BG1455

过6作8_1。尸于H,

tanZGFH=tanZABG=-,

2

.,.设GH=x,贝ljm=2x,

•••DH=y/DG2-x2，

DF=FH+DH=2X+NDG?一尤'=4，

解得：x=1.2,x=2(舍去)，

:.GH=1.2,

1I9

S^DFG=-x4xl.2=—,故④正确；

2.如图，正方形A2CD中，AB=12,点E在边BC上，BE=EC,将ADCE沿DE对折至ADFE,延长E尸

交边A8于点G,连接。G,BF,给出以下结论：@ADAG=\DFG；®BG=2AG；③BFIIDE；④

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA,ZDFE=ZC=90°,

NDFG=NA=90°,

在RtAADG和RtAFDG中，

UD=DF

\DG=DG'

RtAADG=RtAFDG(HL),故①正确；

・••正方形边长是12,

.­.BE=EC=EF=6,

设AG=FG=x,贝!jEG=x+6,8G=12—x,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG-,

即：(x+6)2=62+(12-x)2,

解得：x=4

AG=GF=4,BG=8,BG=2.AG,故②正确，

EF=EC=EB,

ZEFB=ZEBF,

•••NDEC=NDEF,ZCEF=ZEFB+ZEBF,

NDEC=ZEBF,

:.BF//DE,故③正确;

iFF679

SAGBE=-x6x8=24,=—■S=—x24=-,故④正确.

2EGAGBE105

综上可知正确的结论的是4个

3.如图，矩形A8CD中，AB=3屈，BC=12,E为AD中点，尸为AB上一点，将AAE尸沿所折叠后,

点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是_2缶

••・四边形ABC。为矩形，

:.ZA=ZD=9Q°,BC=AD=U,DC=AB=346>

为A£>中点，

AE=DE=-AD=6

2

由翻折知，AAEFs\GEF,

AE=GE=6,NAEF=ZGEF,ZEGF=ZEAF=90°=ND,

GE=DE,

/.石。平分NOCG,

ZDCE=ZGCE,

•・•ZGEC=90°-ZGCE,/DEC=90°-ZDCE,

/.ZGEC=/DEC,

ZFEC=ZFEG+ZGEC=-xl80°=90°,

2

ZFEC=ZD=90°,

又•：NDCE=NGCE,

AFECSAEDC,

FEEC

"^DE^~DC，

■：EC=dDE〜DC。=而+(3厢2=3厢,

FE_3V10

・.丁运

.­.FE=2715

题型二双中点模型（十字架拓展）

2023•东营・中考真题

1.如图，正方形ABCD的边长为4,点E,尸分别在边DC,BC±,且BP=CE,4E平分/C4。，连接

DF,分别交AE,AC于点G,M,P是线段AG上的一个动点，过点尸作RV_LAC垂足为N,连接尸

2

有下列四个结论：①AE垂直平分。M；②PM+PN的最小值为3亚；®CF=GEAE；®SMDM=672.其

中正确的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

【答案】D

【详解】解：:ABCD为正方形，

BC=CD=AD,/ADE=/DCF=90。,

•・•BF=CE,

DE=FC,

DCF(SAS).

・•.ZDAE=ZFDC,

•「ZADE=90°,

:.ZADG+ZFDC=90°,

:.ZADG+ZDAE=90°,

:.ZAGD=ZAGM=90°.

•・.A石平分/CA。，

ZDAG=ZMAG.

•・・AG=AG,

.□AOGZAMG(ASA).

DG=GM,

•：ZAGD=ZAGM=90°,

石垂直平分0M,

故①正确.

由①可知，/ADE=/DGE=9。。,ZDAE=ZGDE,

:DADE-ODGE,

DEAE

'~GE~~DE'

:.DE2=GEAE,

由①可知OE=b,

:.CF2=GEAE.

故③正确.

•.•A3CD为正方形，且边长为4,

/.AB=BC=AD=4,

二.在RtZkA5c中，AC=®AB=4及.

由①可知，口4。6斐]41〃；评5人)，

AM=AD=4,

CM=AC-AM=442-4.

由图可知，口。“。和等高，设高为力，

一^LADM-S[]AOC-S^DMC，

4X/Z_4X4(4后—4)./Z,

2'

:・h=2C，

故④不正确.

由①可知，UAOG@AMG(ASA),

DG=GM,

关于线段AG的对称点为。，过点。作DVLAC,交AC于N',交AE于P,

PM+PN最小即为DN',如图所示，

由④可知△AOW的高力=2血即为图中的£W',

DN'=2收.

故②不正确.

综上所述，正确的是①③

2.如图，正方形A2CD中，点、E、F、G分别为边AB、BC、AO上的中点，连接AF、DE交于点M,

连接GA/、CG,CG与DE交于■点、N,则结论①GMLCM；②CD=DM；③四边形AGC尸是平行四边

形；④=中，正确的有（）个.

C.3D.4

【答案】B

【解答】解：■••AG//尸C且AG=fC,

四边形AGC尸为平行四边形，故③正确；

二.ZGAF=ZFCG=ZDGC,ZAMN=ZGND

在AADE和ABAF中，

AE=BF

<NDAE=ZABF,

AD=AB

AADE=ABAF(SAS),

:.ZADE=ZBAF,

ZADE+ZAEM=90°

ZEAM+NAEM=90°

ZAME=90°

NGND=90°

ZDE±AF,DE1.CG.

,.，G点为AO中点，

GN为\ADM的中位线，

即CG为0M的垂直平分线，

:.GM=GD,CD=CM,故②错误;

在AGQC和AGMC中，

DG=MG

/<CD=CM,

CG=CG

/.AGDC=AGMC(SSS),

ZCDG=ZCMG=90°,

ZMGC=ZDGC,

/.GMLCM,故①正确；

ZCDG=ZCMG=90°,

，G、D、C、〃四点共圆，

ZAGM=ZDCM,

・•CD=CM,

ZCMD=ZCDM,

在RtAAMD中，ZAMD=90°,

/.DM<AD,

/.DM<CD,

ZDMCwZDCM,

ZCMDZAGM,故④错误.

2203•绥化・中考真题

3.如图，在正方形A8CD中，点E为边CO的中点，连接AE,过点B作，AE于点尸，连接8。交AE于

点G,FH平分/BFG交BD于点、H.则下列结论中，正确的个数为（）

@AB2=BF-AE-,②/BGF：SABAF=2:3；③当AB=a时，BD1-BDHD=a2

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【详解】,・•四边形A3CQ是正方形,

AZBAD=ZADE=90°,AB=AD

*/BF1AE

：.ZABF=90°-ZBAF=/DAE

cosNABF=cosNEAD

即处=必

又AB=AD,

ABAE

；・AB?=BF•AE，故①正确;

设正方形的边长为。，

,・•点七为边8的中点，

・・.DE=~,

2

tan/ABF=tansZEAD=—

2

在RtZXABE中，AB=NAF?+BF2=&F=a，

：.AF=­a

5

在Rt^ADE中，AE=^AD2+DE2=^~

2

・•・EF=AE-AF=—a--a=­a.

2510

,/AB//DE

"GAB冲GED

.AG_AB__

・・---------2

GEDE

：.GE=-AE=—a

36

•口「AhAF5加右V52石

・・rG=AE-Ar-GE=——a---a------a=-----a

25615

旦

.AF-3

''~FG~245-2

-----a

15

:&BGF:SABAF=2：3,故②正确；

,/AB=a,

：.BD2AB2+AD22a2,

如图所示，过点H分别作3F,AE的垂线，垂足分别为M,N,

又：BF1AE,

.••四边形厂是矩形，

,/FH是/BFG的角平分线,

，HM=HN,

：.四边形尸7WWN是正方形，

FN=HM=HN

'：BF=2AF=—a,FG=—a

515

.MH_FG

•,丽一而一,

1SMH=b,贝lj8尸=+PM=BM+M//=3b+b=4b

在RtDBAffi中，BH=IBM。+MH?=Mb，

••nu275

•BF=-----a

5

•2石,,

•----Q=4。

5

角军得：b=^-a

10

.Rq/777V5V2

・・BH=vl0x——a=——a,

102

ABD2-BDHD=2a2-42ax—a=a2,故④正确

2

4.如图，已知石，尸分别为正方形A5CD的边AB,5C的中点，A方与。石交于点“，O为的中点,

则下列结论:

2

①ZAME=90°；②ZBAF=ZEDB；(3)ZBMO=90°；@MD=2AM=4EM；(§)AM=-MF.其中正确

结论的是（）

A.①③④B.②④⑤C.①③④⑤D.①③⑤

【解答】解：在正方形A5CD中，AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90°,

・「石、尸分别为边A3,5C的中点，

AE=BF=-BC,

2

在AABF和\DAE中，

AE=BF

<ZABC=/BAD,

AB=AD

AABF3ADAE(SAS),

ZBAF=/ADE,

•/ZBAF+ZDAF=/BAD=90°,

/ADE+ZDAF=/BAD=90°,

/.ZAMD=180°-(ZADE+/DAF)=180。—90°=90°,

NAME=180。—ZAMD=180。—90°=90°,故①正确；

DE是AABD的中线，

ZADEwZEDB,

ZBAFZEDB,故②错误；

•/ABAD=90°,AMLDE,

\AED^AMAD^AMEA,

AMMDAD

-'EM~AM~AE~'

/.AM=2EM,MD=2AM,

MD=2AM=4EM,故④正确；

设正方形A5c。的边长为2a,则5/二〃，

在RtAABF中，AF7AB2+BF?=耳，

•••ZBAF=ZMAE,ZABC=ZAME=90°,

/.AAME^AABF,

.AMAE

一~AB~~AF"

AMa

即右=而，

解得

5

:.MF=AF-AM=45a--—a=—a,

55

2

：.AM=-MF,故⑤正确；

如图，过点/作于N,

c、MNANAM

贝U——二——二——，

BFABAF

2^/5

即MN_AN_,

ala45a

24

解得MN=ya,AN=-a,

46

NB-AB—AN—2。—ci——a,

55

根据勾股定理，BM=yjBN2+MN2=,

过点M作GH//A2,过点。作。KLGH于K,

则OK=ci—〃=—a,MK——a—a=—a,

5555

在RtAMKO中，MO=^MK2+OK2=^~«,

B

根据正方形的性质，BO=2ax—=41a,

2

222

BM+MO=(+(亚Q)2=2a，

55

BO2=(V2ci)2=2a2,

BM2+MO2=BO2,

.•.△BMO是直角三角形，ZBMO=9Q°,故③正确;

综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个

5.如图，在正方形ABCD中，E、尸分别在CD、AD边上，ACE=DF,连接BE、CP相交于G点.则下

列结论:①BE=CP;②SDBCC=S四边形DFGE;③CG?=3G•GE；④当E为CO中点时，连接。G,则NFGD=45°,

正确的结论是.（填序号）

D

【答案】①②③④

【分析】①由“SAS”可证口改为芬CDP,可得BE=CF；

②由全等二角形的性质可得S^BCQ=S^CDF，由面积和差关系可得$8CG=S四边形DFGE；

③通过证明□BCGsOCEG,可得*=段，可得结论；

B3GC

④通过证明点。，点E,点G,点尸四点共圆，可证/DEb=ZDG/=45。.

【详解】解：・・•四边形ABC。是正方形，

BC=CD,/BCD=/CDF=90°,

在口8。£和口。。产中，

BC=CD

<NBCD=NCDF=9。。,

CE=DF

.♦.□BCE/CDF(SAS),

：.BE=CF,故①正确，

,.,□BCE^ZCDF,

:.SABCE=SRDF,

SQSCG=S四边形。尸GE；故②正确,

,/□BCE^ZCDF,

・・・ZDCF=ZEBC,

・.・ZZ)CF+ZBCG=90°,

・・・/EBC+/BCG=90。,

ZBGC=ZEGC=90°f

：.DBCG^OCEG,

.CGGE

**GC?

：.CG2=BGGE;故③正确；

如图，连接石方，

・・,点E是CO中点,

DE=CE,

"：CE=DF,

：.DF=CE=DE,

：.NDFE=NDEF=45。,

'：ZADC=NEGF=90°,

.•.点D,点E,点G,点尸四点共圆,

ZDEF=ZDGF=45°,故④正确；

综上所述：正确的有①②③④

题型三对角线模型

1.如图，在边长为1的正方形A8CO中，动点尸，E分别以相同的速度从。，C两点同时出发向C和8运

动（任何一个点到达即停止），连接AE、8尸交于点尸，过点尸作PM//CD交BC于M点，PNUBC交CD

于N点，连接MN,在运动过程中则下列结论：①AABE=ABCF；②AE=BF；③AELBF；④CF?=PEUBF;

⑤线段MN的最小值为叵工.其中正确的结论有（）

3个C.4个D.5个

【解答】解：.•・动点尸，E的速度相同,

DF=CE,

又•：CD=BC,

CF=BE,

在AA8E和ABCF中，

AB=BC

<NABE=NBCF=90°

BE=CF

.-.AABE=ABCF(SAS),故①正确；

NBAE=ZCBF,AE=BF,故②正确；

ZBAE+ZBEA=90°,

ZCBF+ZBEA=90°,

:.ZAPB=90°,故③正确；

在ABPE和ABCF中,

ZBPE=ZBCF,/PBE=ZCBF,

NBPEsNBCF,

PE_BE

…而一茄’

/.CF\JBE=PEHBF,

•・•CF=BE,

CF2=PEOBF,故④正确；

・•・点P在运动中保持NAPB=90°,

.・•点P的路径是一段以AB为直径的弧，

如图，设的中点为G,连接CG交弧于点尸，此时。尸的长度最小,

在RtABCG中，CG=VBC2+BG2=J1+-=—,

V42

•・•PG=-AB=-,

22

:,MN=CP=CG-PG=—--=^^-,

222

即线段MN的最小值为避二1,故⑤错误；

2

综上可知正确的有4个，

故选：C.

2.如图，正方形A5c。中，A5=3,点E是对角线AC上的一点，连接OE,过点E作交A5

于点尸，连接O尸交AC于点G,下列结论：

①DE=EF；®ZADF=ZAEF；®DG2=GEDGC;④若AF=1,则EG=|■血，其中结论正确的个数是

4

)

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如图，连接BE,

Mi-

四边形ABC。为正方形，

/.CB=CD,ZBCE=ZDCE=45°,

在ABEC和\DEC中，

DC=BC

<ZDCE=ZBCE,

CE=CE

ADCE=NBCE(SAS),

DE=BE,ZCDE=ZCBE,

:./ADE=/ABE,

•/ZDAB=90°,ZDEF=90°,

:.ZADE+ZAFE=1SO°,

ZAFE+ZEFB=180°,

/ADE=NEFB,

/./ABE=ZEFB,

/.EF=BE,

:.DE=EF,故①正确；

•・•ZDEF=90°,DE=EF,

/.ZEDF=ZDFE=45°,

•/ZDAC=45°,ZAGD=ZEGF,

:.ZADF=NAEF,故②正确；

•・•ZGDE=ZDCG=45°,ZDGE=ZCGD,

/.ADGEsbCGD,

.DG_CG

一~EG~~DG"

即。G2=GEnCG,故③正确；

如图，过点石作ENLA5于点N,

vAF=1,AB=3,

BF=2,AC=V32+32=372，

BE=EF,

FN=BN=1,

:.AN=2,

-AE=《2。+2'=2V2，

CE=AC-AE=42,

将'DEC绕点A逆时针旋转90°得到ADMA,连接MG,

易证\DMG=ADEG(SAS),AAMG是直角三角形，

MG=GE,

MG'=EG?=A"+AG'=CE2+AG2,

设EG=x,则AG=2应-x，

•••(V2)2+(2V2-X)2=X2,

解得：x=(V2,即EG=。后，故④正确.

44

故选：D.

3.如图，正方形ABC。中，点E,尸分别为边8C,上的点，连接AE,AF,与对角线分别交于

点G,H,连接E4.若NEAF=45。，则下列判断错误的是（）

A.BE+DF=EFB.BG2+HD2=GH2

C.E,尸分别为边BC,CD的中点D.AH1EH

【解答】解：如图1,将AA。b绕点A顺时针旋转90。得到AABM,此时AB与重合,

图1

由旋转可得：AB=AD,BM=DF,ZDAF=ZBAM,ZABM=ZD=90°,AM=AF,

ZABM+/ABE=90°+90。=180°,

.・•点M,B,石在同一条直线上.

•・•ZEAF=45°,

/.ZDAF+/BAE=ZBAD-ZEAE=90°-45°=45°.

•・•NBAE=NDAF,

/.ZBAM+ZBAE=45°.

即ZMAE=ZFAE.

在\AME与/SAFE中，

AM=AF

<ZMAE=ZFAE,

AE=AE

AAME=AAFE(SAS),

:.ME=EF,

:.EF=BE+DF9故A选项不合题意，

如图2,将AAO"绕点A顺时针旋转90。得到AA5N,此时A3与重合，

卸

:.AADH=AABN,

/.AN=AH,ZBAN=ADAH,ZADH=ZABN=45°,DH=BN,

ZNBG=90°,

/.BN2+BG2=NG2，

•・•ZEAF=45°,

ZDAF+ZBAE=45°,

/BAN+/BAE=45°=ZNAE,

/.ANAE=ZEAF,

又•：AN=AH,AG=AG,

AANG=AAHG(SAS),

/.GH=NG,

:.BN2+BG2=NG2=GH2,

:.DH2+BG2=GH2,故3选项不合题意;

•・•ZEAF=ZDBC=45°,

•・•点A,点5,点E,点H四点共圆，

ZAHE=ZABE=90°,

/.AH1HE,故。选项不合题意，

故选：C.

4.在正方形ABC。中，点E为边上一点且CE=2B石，点厂为对角线8D上一点且连接AE

交5。于点G,过点尸作/H，AE于点H,连接CH、CF,若HG=2cm,则ACHF的面积是当cm2.

—5—

【解答】解：如图，过尸作C5C于/,连接FE,FA,

/.FI//CD,

•・•CE=2BE,BF=2DF,

:.设BE=EI=IC=a,CE=FI=2a,AB=3a,

•••贝！1比=/。=必=氐，

.•.H为AE的中点,

:.HE=-AE=^^

22

,・,四边形是正方形,

5G平分NA5C,

.EGBE_1

"'AG~^B~3'

.\HG=-AE=—a=2,

44

CL——J10,

5

72;56

ShCHF=S^HEF+S^CEF-S^CEH=Q~〃)+Q-2a-2a---2a--a——a

2245

56

故答案为:

5

5.如图，正方形AFBH,点T是边AF上一动点,M是HT的中点,MNLHT交AB于N,当点T在AF上运动时,

MN一一一

——的值是否发生改变?若改变求出其变化范围:若不改变请求出其值并给出你的证明

HT

【解析】易知NT=HN,证明/TNH=90°即可

TN=HN^>TN_LHN

2023•攀枝花•中考真题

6.如图，已知正方形ABCD的边长为3,点尸是对角线8。上的一点，于点尸，PE_LA3于点E,

连接PC,当尸E:尸尸=1:2时，则尸C=()

AFD

【答案】c

【分析】先证四边形AEPF是矩形，可得PE=A尸，/PFD=90。,由等腰直角三角形的性质可得=。尸，

可求”，D尸的长，由勾股定理可求AP的长，由“SAS”可证△ABPgZXCBP,可得AP=PC=VL

【详解】解:如图：

连接AP,

；四边形A3CD是正方形，

AB=AD=3,ZAPS=45°,

vPF1AD,PEIAB,ZBAD=90°,

，四边形AEPF是矩形，

:.PE=AF,ZPFD=90°,

是等腰直角三角形，

PF=DF,

•;PE:PF=1:2,

AF:DF=1:2,

：.AF=1,DF=2=PF,

AP=yjAF2+PF2=Vi+4=V5，

•••AB=BC,ZABD=ZCBD=45°,BP=BP,

AABP^ACBP(SAS),

AP=PC=4s

2023・四川宜宾•统考中考真题

7.如图,边长为6的正方形ABCD中,M为对角线3。上的一点,连接AM并延长交CD于点尸.若PM=PC,

则AM的长为（）

A.3（V3-1）B.3（3痒2）C.6（V3-1）D.6（36-2）

【答案】C

【详解】解：；四边形ABC。是边长为6的正方形，

AD=CD=6,ZADC=90°,ZADM=ZCDM=45°,

DM=DM

在4ADM和△COM中,\NADM=NCDM=45°,

AD=CD

:UADM^JCDM（SAS）,

ZDAM=ZDCM,

•••PM=PC,

ZCMP=ZDCM,

ZAPD=ZCMP+ZDCM=2NDCM=2ZDAM,

又ZAPD+ZDAM=180°-ZADC=90°,

ZDAM=30°,

设PD=x,则AP=2尸0=2尤，PM=PC=CD—PD=6-x,

AD=yjAP2-PD2=怎=6，

解得X=2VL

:.PM=6-x=6-243,AP=2x=46,

AM=AP-PM=4G-（6_2G）=6（G_1）

题型四半角模型（七个性质）

2023•重庆・中考真题

1.如图，在正方形43CD中，点E,尸分别在3C,CD±,连接AE,AF,EF,NEAF=45。.若/BAE=a,

则/FEC一定等于（）

A.2aB.90。一2aC.45。一aD.90。一a

【答案】A

【详解】将口人。尸绕点A逆时针旋转90。至

・・•四边形ABC。是正方形，

AAB=AD,ZABC=ZD=ABAD=AC=90°,

由旋转性质可知：ZDAF=ZBAH,ZD=ZABH=90°,AF=AH,

：.ZABH+ZABC=180°,

，点H,B,。三点共线，

VABAE=a,/E4尸=45。，/BAD=/HAF=9。。,

：.ZDAF=ZBAH=45°-a,/EAF=NEAH=45。,

ZAHB+ZBAH=90°,

：.ZAHB=450+a,

^AEF^UAEH中

AF=AH

</FAE=/HAE,

AE=AE

.••□AFE印AHE(SAS),

：.ZAHE=ZAFE=45。+a,

・・・ZAHE=ZAFD=ZAFE=45。+a,

，ZDFE=ZAFD+ZAFE=90°+2a,

"?ZDFE=ZFEC+ZC=ZFEC+90°,

ZFEC=2a

2023•眉山•中考真题

2.如图，在正方形A8CD中，点E是CQ上一点，延长CB至点尸，使BF=DE,连结AE,A£EF,EF交

于点K,过点A作AG1EF,垂足为点H,交CP于点G,连结HDHC.下列四个结论：①AH=HC；

②HD=CD；③NFAB=NDHE；@AK-HD=y/2HE2.其中正确结论的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据正方形A8C。的性质可由SAS定理证△ABBgaADE,即可判定AAE尸是等腰直角三角形,

进而可得诳=印由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得=由此即可判断①正

AbAK

确；®ZADH+ZEAD=ZDHE+ZAEH,可判断③正确，进而证明□AFK加7TOE,可得——=—,

HDHE

结合AF=6AH=4iHE，即可得出结论④正确，由随着。石长度变化而变化，不固定，可判断②

CO不一定成立.

【详解】解：・・,正方形ABC。，

AB=AD,ZADC=ZABC=ABAD=ZBCD=90°,

・・・ZABF=ZADC=90°,

,/BF=DE,

：.AABF^AADE(SAS),

ZBAF=ZDAE,AF=AE,

：.ZFAE=NBAF+NBAE=/DAE+NBAE=/BAD=90°,

・・・/XAEF是等腰直角三角形，ZAEF=ZAFE=45°,

AHLEF,

：.HE=HF=AH=-EF,

2

•・・NDCB=90。,

CH=HE=-EF,

2

:.CH=AH,故①正确；

XVADCD,HD=HD,

.,kOAH£)=OCHD(SSS),

ZADH=ZCDH=-ZADC=45°,

2

ZADH+ZEAD=ZDHE+ZAEH,即：45°+ZEAD=NDHE+45°,

ZEAD=ZDHE,

/.ZFAB=ZDHE=ZEAD,故③正确,

又,/ZAFE=ZADH=45°,

：iOAFK\JnHDE,

.AFAK

""HD~~HE,

又AF=6AH=叵HE,

/-AKHD=^2HE2,故④正确，

1800-45°

,/若HD=CD,则ZDHC=ZDCH=-------------=67.5°,

2

又；CH=HE,

：.ZHCE=NHEC=67.5°,

而点£是8上一动点，NAEQ随着DE长度变化而变化，不固定，

而/”EC=180°-/AE。一45°=135°-/AE。，

则故NHEC=67.5°不一定成立，故②错误；

综上，正确的有①③④共3个

3.如图，在正方形A8CD中，点E,尸分别在8C,CD上，AE=AF,AC与E尸相交于点G.下列结论:

①AC垂直平分EF；®BE+DF=EF■,③当尸=15。时，AAE尸为等边三角形；④当NEA尸=60。时,

ZAEB=ZAEF.其中正确的结论是（）

B.②④C.①③④D.②③④

【解答】解：.••四边形ABCD是正方形，

AB=AD=BC=CD,NB=ND=90°,ZACD=ZACB=45°,

AB=AD,AE=AF,

/.RtAABE二RtAADF(HL),

/.BE=DF,

CE=CF,

又•・•/ACD=ZACB=45°,

二.AC垂直平分石厂，故①正确；

/CE=CF,ZBCD=90°,AC垂直平分所，

EG=GF,

当平分NA4C时，BE=EG,即8£+。尸=所，故②错误；

,/RtAABE=RtAADF,

ZDAF=ZBAE=15°,

NEAF=60°,

又=AE=AF,

，AAE尸是等边三角形，故③正确；

AE=AF,ZEAF=60°,

\AEF是等边三角形，

ZAEF=