2023-2024学年高一下数学《复数》测试卷及答案解析

2023-2024学年高一数学《复数》

选择题（共8小题）

I.（2022春•鼓楼区校级期中）若复数z=N_,则［z-i∣=

B.√5

2.（2022•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数Z对应的点在第二象限，且闵=∣z-i∣=l,则

A.j∕‰A√B.C.-ɪ-ʧɜj-D.-l∙+zZl√

22222222

3.（2022•福州模拟）设复数Z满足（1-/）z=3+i,则复平面内与Z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2022春•福州期中）已知α,⅛∈R,ab≠On是“复数α+bi为虚数”的（）

A.必要非充分条件

B.充分非必要条件

C.充要条件

D.既非充分条件也非必要条件

5.（2022•福州模拟）若复数Z满足Z（1-/）=4/,则Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.（2021秋•福州期末）已知z=3-4i,则∣z∣+zi=（）

A.l+3zB.8-4/C.9+3/D.20+3Z

7.（2022春•仓山区校级期中）已知复数Z满足z（l+2i）=∣4+3i∣,（其中i为虚数单位），

则复数Z的虚部为（）

A.1B.iC.-2D.-2/

8.（2020秋•福州月考）已知复数2=1+3^为Z的共朝复数，则匹=（）

Z

A.3±LB.1LLC.iɪD.ItSL

2222

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2022•鼓楼区校级三模）设复数（αCR）,当〃变化时，下列结论正

a+2i

确的是（）

A.团=|力恒成立B.z可能是纯虚数

第1页（共14页）

C.Zj•可能是实数D.∣z∣的最大值为工

Z2

（多选）10.（2022春•鼓楼区校级期中）设Zi，Z2,Z3为复数，Z1W0,下列命题中正确的

是（）

A.若IZlI=忆2∣,则∣Z1Z3∣=∣Z2Z3∣

B.若Z1Z2=Z1Z3,则Z2=Z3

C.若Zl=Z则Z♦=Z2

z2zI

D.若Z∕+Z22>0,∣U!jzi2>-Z22

（多选）11.（2022春•仓山区校级期中）设Z1,Z2是复数，则下列说法中正确的是（）

A.若IZII=IZ2∣,510Z12=Z22

B.若IZII=IZ2∣,则zι=±z2

C.若z1z2=O,则ZI=O或Z2=0

D.若IZI-Z2∣=0,则z1=z2

（多选）12.（2022春•花都区校级期中）设复数Z满足Z=-I-23i为虚数单位，则下列

命题正确的是（）

A.∣z∣=Vδ

B.复数Z在复平面内对应的点在第四象限

C.Z的共粗复数为-l+2i

D.复数Z在复平面内对应的点在直线y=-2x上

Ξ.填空题（共4小题）

13.（2022春•福州期中）己知α,6eR,i是虚数单位,若α+i=l-bi,则（a+bi）2-.

14.（2021春•鼓楼区校级期中）zeC,若IZl-~z=l+2i>贝IJZ=.

15.（2021秋•福州期中）已知i为虚数单位，复数Z[=l+√ξi,在复平面中将Zl绕着原点

逆时针旋转165°得到Z2，则Z2=.

16.（2022春•仓山区校级期中）在复数范围内，-4的所有平方根为,并由此写出

-4的一个四次方根.

四.解答题（共4小题）

17.（2022春•鼓楼区校级期中）已知复数z=α+bi（.,⅛∈R）,若存在实数r,使Z=―∖+2i、.

t（l-i）

-成立.

第2页（共14页）

(1)求2α+b的值;

(2)求∣z-2∣的最小值.

18.(2022春•仓山区校级期中)已知复数Z="?-i(N?€R),且(l+3i)为纯虚数("⅛z

的共轨复数).

(1)求复数Z的模；

.2021

(2)复数Zl=且二——在复平面对应的点在第一象限，求实数”的取值范围.

Z

19.(2022春•项城市校级月考)当实数。取何值时,在复平面内与复数Z=(m2-4w)+(w2

--6)i对应点满足下列条件？

(1)在第三象限；

(2)在虚轴上；

(3)在直线X-尸∙3=0上.

20.(2021春•鼓楼区校级期中)已知复数z=3+bi(b=R),且(l+3i)∙z为纯虚数.

(1)求复数z；

(2)若3二一，求复数3以及模∣3∣.

2+i

第3页(共14页)

2023-2024学年高一数学《复数》

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.(2022春•鼓楼区校级期中)若复数z=N-,则∣z-i∣=()

1+i

A.2B.√5C.4D.5

【考点】复数的模.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数：数学运算.

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论.

【解答】解：复数z=-g-=,2(1;i)=2,Ll?=]_i,

1+i(1+i)(l-i)ι2+ι2

贝22

IJlZ-i∖=∖l-2i∖=√I+(-2)=√5-

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

2.(2022•鼓楼区校级模拟)在复平面内，复数Z对应的点在第二象限，且闵=∣z-i∣=l,则

Z=()

A.jβ,+Λ(,B.-A-Vl-

4c.D.-JL+ZZIJ

22222222

【考点】复数的模；复数的运算.

【专题】转化思想：转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.

【解答】解：设Z=X+yi(XV0,y>0),

^∖z∖=∖z-i∖=lf

.∙.∕×2+y2=1,解得X=XIy=L

Vχ2+(y-l)2=122

3岑^4⅛i∙

故选：A.

【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题.

3.(2022•福州模拟)设复数Z满足(I-/)z=3+i,则复平面内与Z对应的点位于()

第4页(共14页)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据已知条件，先对Z化简，再结合复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：：（1-i）z=3+i,

•_3+i_(3+i)(1+i)

z^l-i^(l-i)(l+i)^1+21,

.∙.复平面内与Z对应的点(1,2)位于第一象限.

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题.

4.（2022春•福州期中）已知4,b∈R,''b≠Q"是"复数0+初为虚数”的（）

A.必要非充分条件

B.充分非必要条件

C.充要条件

D.既非充分条件也非必要条件

【考点】虚数单位i、复数：充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】对应思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【分析】根据充分必要条件的定义以及虚数的定义判断即可.

【解答】解：a,⅛∈R,若b六0,则复数α+加是虚数，是充分条件,

反之，若复数α+bi为虚数，则bWO,是必要条件,

.∙."6≠0''是"复数α+加是虚数”的充分必要条件,

故选：C.

【点评】本题考查了充分必要条件和虚数的定义，是基础题.

5.（2022•福州模拟）若复数Z满足Z（1-/）=4i,则Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：（1-/）=43

4i4i(1+i)

z1-i(1+i)(1-i)=-2+2i>

第5页（共14页）

.∙.z在复平面内对应的点(-2,2)位于第二象限.

故选：B.

【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练

掌握公式，属于基础题.

6.(2021秋•福州期末)已知z=3-4i,则团+zi=()

A.1+3/B.8-4/C.9+3/D.20+3Z

【考点】复数的模.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据题意，求出团和Zi的值，计算可得答案.

【解答】解：根据题意，z=3-4i,则∣z∣=√9+16=5,

zi—(3-4Z)i=4+3i,

贝!]∣z∣+zi=9+33

故选：C.

【点评】本题考查复数的计算，注意复数的模，属于基础题.

7.(2022春•仓山区校级期中)已知复数Z满足z(l+2i)=∣4+3i∣,(其中。为虚数单位),

则复数Z的虚部为()

A.1B.iC.-2D.-2/

【考点】复数的运算.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】推导出z=l-2i,由此能求出复数Z的虚部.

【解答】解：•••复数Z满足Z(l+2f)=∣4+3∕∣,

∙.=∣4+3i∣=5=5(l-2i)=5(l-2i)f,2,∙.

l+2il+2i(l+2i)(l-2i)1-4i2

复数Z的虚部为-2.

故选：C.

【点评】本题考查复数的虚部求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

8.(2020秋•福州月考)已知复数z=1+3W为Z的共规复数，则也=()

Z

A.ilkB.ItLc,ι∑3LD.ɪtɜk

2222

【考点】复数的运算.

第6页(共14页)

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据Z,求出Z的共规复数，代入也化简计算即可.

【解答】解：∙.,z=l+i,.∙.Z=I^i'

•LZ=1+1+i=(2+i)(1+i)=l+3i

,,丁1ςΓ(l-i)(1+i)~1~

故选：D.

【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2022•鼓楼区校级三模）设复数z=」—（4eR）,当。变化时，下列结论正

a+2i

确的是（）

A.∣z∣=，恒成立B.Z可能是纯虚数

C.Zj•可能是实数D.IZl的最大值为工

Z2

【考点】复数的模；虚数单位i、复数.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】首先根据得到Z=T--------i,再结合复数的定义和运算性质依次判断选项

a2÷4a2+4

即可.

【解答】解：Z=—一岩——

22

a+2iCa+2i)(a-2i)a+4a+4

团=；=J--黄~~-M一U~~$，故/正确;

V(a2+4)2(a2+4)2

对于8,Z=―------「当”=0时，Z=-Li是纯虚数，故B正确;

a2+4a2+42

)

对于C,z+λ=~^-------ɪ-i+a+2i=<-y—+a+.

za+4a+4a+4a÷4

令2--2-=0,即“2+3=0无解，故C错误；

a2+4

a?+41?1

对于D,∣z∣2=

(a2+4)2(a2+4)2a2+44

当且仅当α=0时，取等号，

.∙.∣z∣的最大值为工，故。正确.

2

第7页（共14页）

故选：ABD.

【点评】本题考查复数的运算，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

（多选）10.（2022春•鼓楼区校级期中）设zι,Z2,Z3为复数，zι≠0,下列命题中正确的

是（）

A.若IZll=IZ2∣,则∣z1z3∣=归2z3∣

B.若Z1Z2=Z1Z3,则Z2=Z3

C.若Zl=£，则"77=Z2

D.若Z∕+Z22>0,则Z∕>-Z22

【考点】复数的模.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，共轨复数的定义，即可求解.

【解答】解:对于峰,由复数模的性质可得，∣Z1Z3∣=∣Z1∣∣Z3∣,匕2Z3∣=忆2∣∣Z3∣,

∙∙%l=㈤，

∣Z1Z3∣=匕2Z3∣，故/正确，

对于8,∙.'ZIZ2=Z1Z3,

.".Z1（Z2-Z3）=0,

Vzi≠0,

.∙.Z2=Z3,故8正确，

对于C,Tzi=H

z2

'zI=Z2=z2，故C正确，

对于。，令z?=-i，z'1+i，满足Z12+Z22>O,但z∕>-Z22不成立，故。错误.

故选：ABC.

【点评】本题主要考查复数模的性质，共辄复数的定义，属于基础题.

（多选）11.（2022春•仓山区校级期中）设zι,Z2是复数，则下列说法中正确的是（）

A.若IZlI=IZ2∣,则zp=z22

B.若IZIl=IZ2∣,则Z1=±Z2

C.若z1z2=O,则ZI=O或z2=O

第8页（共14页）

D.若IZl-Z2∣=0,则z1=z2

【考点】复数的模.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合复数的乘积运算法则，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：对于4,令zι=l,Z2-i,满足匕II=忆2I，但故/错误，

对于8,令Zl=I,Z2=i,满足IZIl=IZ2∣,但zι≠土Z2,故8错误，

对于C,∙.'zι,Z2是复数,zιz2=0,

二由复数的乘积运算法则可知，Zl=O或Z2=O,故C正确，

对于。，".'∣zι-Z2∣=0,

.'.21-Z2—0,即Z1=Z2,故£）正确.

故选：CD.

【点评】本题主要考查复数的乘积运算法则，以及特殊值法，属于基础题.

（多选）12.（2022春•花都区校级期中）设复数Z满足Z=-I-23i为虚数单位，则下列

命题正确的是（）

A.∣Z∣=Vδ

B.复数Z在复平面内对应的点在第四象限

C.Z的共辄复数为-1+2;

D.复数Z在复平面内对应的点在直线y=-Zr上

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学抽象；数学运算.

【分析】根据复数的模、复数的几何意义、共轨复数等知识，逐一判断各选项即可.

【解答】解：由Z--1~2i,得IZlW（T）2+（-2）2,故“正确：

复数Z在复平面内对应的点的坐标为（-1,-2）,在第三象限，故B不正确：

Z的共辗复数为-1+23故C正确：

复数Z在复平面内对应的点（-1,-2）不在直线y=-2x上，故。不正确.

故选：AC.

【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，复数的模和共轨复数，属基础题.

三.填空题（共4小题）

13.（2022春•福州期中）已知“，hER,i是虚数单位，若α+i=l-bi,则（“+bi）2=

第9页（共14页）

2i・

【考点】复数的运算.

【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】利用复数相等的条件求得。与b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简求解

（a+bi）2.

【解答】解：由α+i=l-bi,得α=l,b=-1,

：.（α+bi）2=（1-z）2=1-2z+z2=-2z.

故答案为：-2匚

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题.

14.（2021春•鼓楼区校级期中）zee,若IZI-W=I+2i，贝∣Jz=-∣∙+2i―.

【考点】复数的运算.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】设z=α+加（.,⅛∈R）,代入IZI-W=1+2L整理后利用复数相等的条件求解α

与b的值，则Z可求.

【解答】解：设z=α+加（α,fe∈R）,

由IZl-z=l+2i,得M+b2-（a-bi）=1+2T

即V再S-a+bi=l+2"

Λ,√a2+b2-a=l,解得，a^,

廿2[b=2

・・・z=?2i，

故答案为：l+2i.

2

【点评】本题考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础题.

15.（2021秋•福州期中）已知i为虚数单位，复数z1=1/「在复平面中将Zl绕着原点

逆时针旋转165°得到Z2,则Z2=-W.

【考点】复数的运算.

【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解.

第10页（共14页）

【解答】解：Zl=I在复平面内对应的点为（1，M），

将其逆时针旋转165°后落在第三象限，且与X轴负半轴的夹角为45°,所以对应的点

为（-&，-√2）.

所以Z2=-V2^->∏i.

故答案为：-V2^V2∕∙

【点评】本题考查复数的几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

16.（2022春•仓山区校级期中）在复数范围内，-4的所有平方根为±2i,并由此写

出-4的一个四次方根1+/.

【考点】虚数单位i、复数.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】由题意利用虚数单位i的运算性质，复数的开方运算，得出结论.

【解答】解：在复数范围内，∙.∙（±2力2=-4,故-4的所有平方根为±2。

V-4=4（cosπ+∕sinπ）,故它的四次方根为^（COSekI.+n_+汝］产卜"+“,

故它的一个四次方根√5（冬i喙）=1+3

故答案为：±2i；1+工

【点评】本题主要考查复数的开方运算，虚数单位，•的运算性质，属于基础题.

四.解答题（共4小题）

17.（2022春•鼓楼区校级期中）已知复数z=α+4Q,⅛∈R）,若存在实数f,使上④_

t（l-i）

-3。”成立.

⑴求2a+b的值；

（2）求∣z-2出勺最小值.

【考点】复数的运算；复数的模.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算.

【分析】（1）由复数的运算化简殳”，再由复数相等得到2α+b的值；

1-i

（2）由模长公式结合二次函数的性质得出最值.

【解答】解：（1）6+2i=（6+2i）（1+i）=4+8i=2+43

1-i（1-i）（1+i）2

—2424

z=γ-+γi-3ati=γ+（γ-3at）i'

第11页（共14页）

(2

.τ=a

・・j4，

--3at=-b

:•里=2a,3at=6,

t

:∙2a-6=-b,解得2α+b=6.

22

(2)∣z-2∣=∣("2)+(6-2α)∕∣=√(a-2)+(6-2a)

=V5a2-28a+40=(a-γ-)2+∣-

∙∙∙∣z-2∣的最小值为逃

5

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

18.(2022春•仓山区校级期中)已知复数Z="?-i6"∈R),且^^∙(l+3i)为纯虚数("⅛z

的共甄复数).

(1)求复数Z的模；

.2021

(2)复数Zl=且二——在复平面对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

Z

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算.

【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】(1)结合复数的四则运算进行化解，然后结合纯虚数概念可求必进而可求；

(2)先结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的几何意义可求.

【解答】解：(I)^∙(l+3i)=(m+i)(1+3/)="-3+(3w+l)i为纯虚数，

则m=3,z=3-i,

所以∣z∣=JTU;

(2)zι=a∑F021=Qj_=(a-i)(3+i)=3a+l+(a-3)i在复平面对应的点在第一

Z3-i(3-i)(3+i)10

象限，

所以3α+l>0且α-3>0,

所以α>3,

故α的取值范围为(3,+∞).

【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义的应用，属于基础题.

22

19.(2022春•项城市校级月考)当实数α取何值时，在复平面内与复数Z=(w-4w)+(w

第12页(共14页)

-w-6)i对应点满足下列条件？

(1)在第三象限；

(2)在虚轴上；

(3)在直线x-y÷3=0上.

【考点】虚数单位i、复数.