2023-2024学年福州三校联盟数学高二年级上册期末学业水平测试模拟试题含解析

2023-2024学年福州三校联盟数学高二上期末学业水平测试模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z=2•产，则z的虚部为()

1-2/

11.

A.—B.—I

55

33.

C.—D.—I

55

2.如图，棱长为1的正方体ABC。-A4GA中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是

A.DC11DXP

8.平面2AP，平面AAP

C.NAPR的最大值为90

D.AP+PD,的最小值为，2+J5

3.已知双曲线的两个焦点为月(-&6,0),F,(A/10,0),河是此双曲线上的一点，且满足尸2=0,

MF1|.|MF2|=2,则该双曲线的方程是()

A%之B.x2-^-=l

A.------y=1

99

2222

」-匕=1D.土-乙=1

3773

4.设尸=2a(a—2)+3,Q=(a-l)(a-3),awR,则有()

A.PNQB.P>Q

c.P<QD.P<Q

5.在正项等比数列｛4｝中，为和为方程犬―10x+16=0的两根，则小92等于()

A.8B.10

C.16D.32

6.已知函数/(x)的图象如图所示，则导函数尸(x)的图象可能是()

7.已知数列｛4,｝满足％=1,«„+1=3«„+2"(HGN*),b*=S.设teZ,若对于V"eN*,都有2〉，恒成立,

an

则t最大值为

A.3B.4

C.7D.9

8.命题“VxeN,e、>sinx”否定是。

A.V%eN,ex<sinxB.X/xeN,eA>sinx

r

C.3x0eN,e'°>sinx0D.3x0eN,e°<sinx0

9.不等式—/+2%+3>0的解集为。

A.(-1,3)B.(-3,l)

C.(3,+co)D.(-<»,-3)1J(1,+OO)

10.已知数列｛4｝满足q=l,a“eZ,且一乃』<3"+g,a„->3n+1-1,贝!J%。?】

+2)

22022i32。一

A.-——B.----------

88

a20201D—

C.-——

88

11.设a,b,c非零实数，且。>6,则()

11

A.a+b>0B.—<—

ab

C.a-b>QD.ac>be

12.下面四个条件中，使a>5成立的充分而不必要的条件是

A.d>b+\B.d>b-l

C.a2>b2D.

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.执行如图所示的程序框图，则输出的5=_.

14.已知"力="—1,则曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程是,

|x-l|,x<0

15.已知函数〃x)=1，则/(/(一3))=

x2,x>0

22

16.已知双曲线L-土=1,则圆/+y2—6x+8=0的圆心C到双曲线渐近线的距离为

45

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)2020年8月，总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，

在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围.为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣

传节约粮食的相关活动.现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽

样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动

(1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？

(2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？

(3)食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量(单位：公斤)，以10

天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：

前10天剩菜剩饭的重量为：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2

后10天剩菜剩饭的重量为：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3

借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果(选择一种方法进行说明即可)

2n

18.(12分)已知命题P：«Vxe[l,2],x-a>0，命题染3x0eR,君+2方。+2-°=o”，若“P且q”

为真命题，求实数”的取值范围

19.(12分)已知函数/(x)=2x-(x-b)lnx(beR),g(x)="+e-l

(1)若函数f(x)的图象在点(e,/(e))处的切线与y=x平行，求的值；

(2)在⑴的条件下证明:Vx>O,f(x)<g(x)

20.(12分)(1)叙述正弦定理；

(2)在△ABC中，应用正弦定理判断“4>5”是“sinA>sin5”成立的什么条件，并加以证明.

21.(12分)已知直三棱柱ABC—A与G中，BA=BC=BB[=2,ABC^90，E、尸分别是AC、的中

点，。为棱瓦G上的点.

(1)证明：BF±DE；

（2）当4G=44。时，求直线5歹与平面OEf所成角的正弦值.

22.（10分）如图，正三棱柱A3C—4与G中，。是的中点，AB=BB[=2.

（1）求点C到平面AG。的距离;

（2）试判断入也与平面AG。的位置关系，并证明你的结论.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】根据复数的运算化简，由复数概念即可求解.

1+i1+»㈠)一(J)(l+2i)=3+i_3J

【详解】因为2=匚r

l-2il-2i(l-2z)(l+2z)555

所以Z的虚部为!,

故选：A

2、C

【解析】,:421DC,,\B±DCX,：.DCi±面A3CR,u面A,BCDI，二DQ1D1P,A正确；二•平面D^P

即为平面D^BC,平面\AP即为平面AABB],且241平面\ABB},

平面243C，平面AABB],.•.平面24P，平面AAP,.•.B正确；

当0<AP（等时，NAP。为钝角，错;将面44,8与面A8C，沿48展成平面图形，线段即为AP+PD]

的最小值，在A2AA中，/£>04=135,利用余弦定理解三角形得叫=也二

即AP+PD1之，2+&，，D正确，故选C

考点：立体几何中的动态问题

【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：

求空间角、距离，归到三角形中求解；2.对于球的内接外切问题，作适当的截面，既要能反映出位置关系，又要反映

出数量关系；求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离

3、A

【解析】由叫=0,可得叫进一步求出(|吟|_|9|)2=|岫|2-2|叫卜|加工|+|峥「=36,由此

得到a=3,则该双曲线的方程可求

【详解】MF^MF2=0,

即

MF,MFXVMF2,

L2

：.\MFX\+\MF21=40

22

贝！I(\MFi\-\MF21)=\MFt|-2\MFl\.\MF2\+\MF2^=40-2x2=36

:.\MFl\-\MF2\=6=2a.即q=3

c=A/10»b2=c1—a2=1

则该双曲线的方程是：

故选：A

【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式(根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方

程)，再定式(根据已知建立方程组解方程组得解).

4、A

【解析】利用作差法计算尸-Q与o比较大小即可求解.

【详解】因为尸=2a(i—2)+3,Q=(〃—1)(〃—3),

所以「一0二勿(〃-2)+3-(〃一1)(〃-3)=々2>o,

所以

故选：A.

5、C

【解析】根据为和％9为方程炉-10x+16=0两根，得到q«9=16,然后再利用等比数列的性质求解.

【详解】因为由和％9为方程式T0x+16=0的两根,

所以q-ai9=16,

又因为数列｛4｝是等比数列,

所以线.(2=6•(g=16,

故选：C

6、D

【解析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答

【详解】原函数在［-3,3］上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在（0,0）处与工轴相

切，故/'（0）=0

可知，导函数图象为D

故选：D

7、A

【解析】整理数列的通项公式有：*+21=3（"+2"）,

结合％+吸=3可得数列｛an+2"｝是首项为3,公比为3的等比数列，

则%+2"=3",.•.%=3-2",

3用_2"+13"+2（3"—2"）3"1

b„=------------=--------------=------+2=--------+2

1c

t<-----------F2

原问题即：1-12]恒成立，

1cc1

--------+293--------+2

当〃一讨时,1-1],即i.||J>3,

综上可得：，的最大值为3.

本题选择A选项

点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推

关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关

系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项

8,D

【解析】根据含有量词的命题的否定即可得出结论.

【详解】命题为全称命题，则命题的否定为：3x0eN,<sinx0.

故选：D.

9、A

【解析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】-x2+2x+3>0=>(x+l)(x-3)<0=>-1<%<3,

故选：A.

10、A

【解析】由已知两个不等式，利用“两边夹”思想求得。“+2-4=3用，然后利用累加法可求得4021

【详解】；。"+1<3"+g，4+2-<3向+；,二3"+1-3<4+2<3"+1+；,又eZ,q=leZ，

M+1

4+2—%eZ，即an+2—an=3,

1011

]_232022_]

•••〃2021=4I+(Q3—6)+(Q5—Q3)-I---1-(^2021—々2019)=1+32+34++32()2°二-------二-------

1—98

故选:A

【点睛】本题考查数列的递推式，由递推式的特征，采用累加法求得数列的项.解题关键是利用“两边夹”思想求解

11、C

【解析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；

对于C利用作差法证明.

【详解】对于A：取。=-11=-2符合已知条件，但是〃+5>0不成立.故A错误；

对于B：取。=1力=-2符合已知条件，但是工=1,：=一工，所以工不成立.故B错误；

ab2ab

对于C：因为a>6,所以a-b>0.故C正确；

对于D：取a=l力=—2,c=-1符合已知条件，但是ac=—l,bc=2,所以ac>A不成立.故D错误;

故选：c.

12、A

【解析】由wi：：J型界北与£"二例:江柳，但无法得出j1，A满足;由.」1、ab均无法得出》岳不

满足“充分”；由:#加猾＞询》菽，不满足“不必要”.

考点：不等式性质、充分必要性.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，即可求解得答案

111

【详解】解：S=s+---=s+---—

k(k+1)kk+1

第一次循环，5=1+1-k=2；

第二次循环，S=l+l-=+=—1,k=3；

223

第三次循环，5=1+1----1------------1----------，k=4；

22334

1111111

第四次循环，5=1+1一一+-----+-----+-----，k=5i

2233445

依门11111111111皿­,幺,°11

第五次循环，5=1+1一一+----+-----+-----+-----=—,k=6,循环停止，输出S=一；

22334455666

故答案为：—.

6

14、ex-y-1—G

【解析】求导/'(%)=",得到了'⑴"⑴，写出切线方程.

【详解】因为/(%)="—1,

所以广(%)=",

所以曲线y=f(x)在点(L/⑴)处的切线方程是y-e+l=e(x-l),

即e%_y_l=O,

故答案为：ex-y-1^0

15、2

【解析】利用函数/(%)的解析式由内到外逐层计算可得了(/(-3))的值.

|x-l|,x<0]

[详解][y(x)=<1,.,./(-3)=|-3-1|=4,因此，/(/(_3))=〃4)=43=2.

故答案为：2.

16、2

【解析】求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解.

【详解】解：由题得圆炉+由一6%+8=0的圆心为(3,0),

222

双曲线'—,=1的渐近线方程为>=;方X,即2x—百丁=0.

|6|

所以圆心C到双曲线渐近线的距离为=2.

V4+5

故答案为：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)6,4,2；(2)j；(3)答案见解析.

【解析】(1)先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；

(2)先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；

(3)可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.

122

【详解】解：(1)报名的学生共有126人，抽取的比例为—=二，

12621

222

所以高一抽取63x—=6人，高二抽取42义一=4人，高三抽取21x—=2人.

212121

(2)记高二四个学生为1,2,3,4,高三两个学生为5,6,抽出两人表示为(x,j),

则抽出两人的基本事件为

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)

共15个基本事件，

其中高二学生都在同一组包含(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个基本事件.

记抽出两人都是高二学生为事件A,则P(A)=2=|，

2

所以高二学生都在同一组的概率是

(3)法一：(数字特征)前10天的平均值为23.5,后10天的平均值为20.5,

因为20.5<23.5,

所以宣传节约粮食活动的效果很好.

法二：(茎叶图)画出茎叶图

前10天行10大

225

51224

8654232

522135

202460

1934

183

因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，

所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.

18、。<一2或。=1

【解析】先分别求出q为真时，。的范围；再求交集，即可得出结果.

【详解】若P是真命题.则a<x~对任意xe[1,4恒成立，二。W1；

若4为真命题，则方程必+2℃+2—a=0有实根，

AA=4a2-4(2-a)>0,解得或aW—2,

由题意，?真也真，...aW—2或。=1

即实数”的取值范围是aW—2或a=l.

19、(1)b=e；(2)证明见解析.

【解析】(1)由题意可得尸(e)=l,从而可求出b,

(2)先构造函数s(x)=/-x-1,利用导数可求得s(x)>。对任意x>0恒成立，^>%+1对任意%>0恒成立，

从而将问题转化为只需证x-(x-e)In为，e对任意%>0恒成立，再次构造函数〃(x)=x-(x-e)Inx,利用导数求

出其最大值小于等于e即可

b

【详解】(1)解：/(x)=2x-(x-b)Inxj\x)=l-lnx+-

函数/(尤)的图象在点(e,/(e))处的切线与丁=%平行，

b

f\e)=1—1H—=1,

e

解得b=ei

证明：(2)由(1)得/(x)=2x-(x-e)lnx

/(x)<g(x)即2x-(x-e)Inx</+e—1对任意尤>0恒成立，

令5(x)=ex-x-1,贝!)s'(x)=e*-1,

•当尤>0时，s'(x)>s'(0)=0,

...函数s(x)在(0,+8)上单调递增，

•••s(0)=0,.•.5(%)>0对任意x>0恒成立,

即/>x+1对任意%>0恒成立，

,只需证2x-(x-e)In%,x+1+e-1对任意%>0恒成立即可，

即只需证无一(x-e)ln%,e对任意%>0恒成立，

%—ce

令〃(x)=%一(％—e)lnx,贝=1—Inx--------=——In],

xx

由/(九)单调递减，且/(e)=0知，

函数〃(九)在(0,e)上单调递增，在(e,+s)上单调递减，

:.”(%)01ax=u(e)=e,：.x-(x-e)InA;,e得证，

故不等式/(x)<g(x)对任意尤>°恒成立

20、(1)正弦定理见解析；(2)充要条件，证明见解析

【解析】(1)用语言描述正弦定理，并用公式表达正弦定理

(2)利用“大角对大边”的性质，并根据正弦定理进行边角互化即可

【详解】(1)正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值之比相等且等于这个三角形外接圆的直径,

即_^=」_=_^=2R.

sinAsinBsinC

(2)A>5是sinA>sinB充要条件.

证明如下：

充分性：

QA>B,:.a>b

又Q-^—=-^—=2R

sinAsinB

a=27?sinA,b=2RsinB

27?sinA>27?sinB

故有：sinA>sinB

必要性：

Q^-=—^=2R

sinAsinB

.4a.「b

sinA=——,sinB=——

2R2R

又sinA>sinB

ab

,—>—

…2R2R

综上，A>5是sinA>sin5的充要条件

21、(1)证明见解析

⑵叵

10

【解析】(1)由题意建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，

(2)求出平面