计数原理与排列组合小题归纳（十九个题型）-高考数学复习题型练习（解析版）

考向37计数原理与排列组

合小题最全归纳

，经典题型前

经典题型一：两个计数原理的综合应用

经典题型二：直接法

经典题型三：间接法

经典题型四：捆绑法

经典题型五：插空法

经典题型六：定序问题（先选后排）

经典题型七：列举法

经典题型八：多面手问题

经典题型九：错位排列

经典题型十：涂色问题

经典题型十一：分组问题

经典题型十二：分配问题

经典题型十三：隔板法

经典题型十四：数字排列

经典题型十五：几何问题

经典题型十六：分解法模型与最短路径问题

经典题型十七：排队问题

经典题型十八：构造法模型和递推模型

经典题型十九：环排问题

（2022・全国•高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁

相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

（2021•全国•高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目

进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者

中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的

位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有

C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思

想求解.

知识点1、分类加法计数原理

完成一件事,有”类办法,在第1类办法中有网种不同的办法,在第2类办法中有叫种不同的方法,…，

在第〃类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：N=mi+m2++也种不同的方法.

Oɪ1∖

<m>也m^,o

力.I—n?t—I.IODOOÆD

:∙mι+m2+m3+…+m用0D000

1111

训uUq〃I-TJI\mA,

L⅛

知识点2、分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成〃个步骤，做第1步有叫种不同的方法，做第2步有叫种不同的方法，…，做

第"步有”种不同的方法，那么完成这件事共有：N=my∙m2∙种不同的方法.

注意：两个原理及其区别

分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有〃类办法，这〃类办法之间是互斥的，那么求完

成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.

分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有〃个步骤，而且这几个

步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这见个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这

件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.

当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两

个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求

方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验

排列组合问题的很好方法.

知识点3、两个计数原理的综合应用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如

果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事

的方法数时，使用分步计数原理.

知识点4、排列与排列数

（1）定义：从〃个不同元素中取出m（m≤"）个元素排成一列，叫做从〃个不同元素中取出"，个元素的

一个排列.从〃个不同元素中取出〃?(〃Μ〃)个元素的所有排列的个数，叫做从”个不同元素中取出加个元

素的排列数，用符号4”表示.

(2)排列数的公式：(n-∕w+l)=-~~.

特例：当机=〃时，="!="("-l)("-2)3.21；规定：0!=1.

(3)排列数的性质：

①M=M;才；②Ar=-^-心③M=山父；+A3.

n—tnn—m

(4)解排列应用题的基本思路：

通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素).

注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，Α；=〃(〃-力-("-机+1)常

用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用A；=—^―.

{n-m)∖

知识点5、组合与组合数

(1)定义：从W个不同元素中取出，"("7≤")个元素并成一组，叫做从"个不同元素中取出机个元素的

一个组合.从“个不同元素中取出而(m≤")个元素的所有组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出机个元

素的组合数，用符号C：表示.

(2)组合数公式及其推导

求从〃个不同元素中取出W个元素的排列数4",可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这〃个不同元素中取出＞n个元素的组合数C："；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数；

根据分步计数原理，得到其,=C"∙；

因止匕Cm=里="("B"")(i+O.

这里〃，机eN,,且%≤",这个公式叫做组合数公式.因为M=所以组合数公式还可表示

[n-m)∖

为：M=Tf特例：c；=c：=i.

m∖yn-m)∖

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是

按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题.公式C；=〃（〃-1）（"2）…-+1）常用于具体数字计算,

m∖

C；=---常用于含字母算式的化简或证明.

m∖{n-ni)∖

（3）组合数的主要性质：①C：=C7"；②C；+C,Γ'=（ZL

（4）组合应用题的常见题型：

①“含有,,或“不含有,,某些元素的组合题型

②，，至少，，或，，最多,，含有几个元素的题型

知识点6、排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别

在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题.排列

是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排

列”.

知识点7、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多

少步；

3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.

1、如图，在圆中，将圆分〃等份得到〃个区域％,M2,M3,,M,（“∙.2）,现取左伏..2）种颜色对

这〃个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有（-1）"（4-D+伏-1）”种.

2、错位排列公式R=(»W+»〃！

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占"位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现

在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即

优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨

论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素,

被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

(1)以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；

(2)以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；

(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某人个元素排在相邻位

置上，求不同排法种数的方法是：先将这发个元素“捆绑在一起“，看成一个整体，当作一个元素同其他元素

一起排列，共有.二M种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有A；种排法.根据分步乘

法计数原理可知，符合条件的排法共有AZM种.

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将"个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻

(k<n-k+l),求不同排法种数的方法是：先将)个元素排成一排，共有A：；1种排法；然后把Z个

元素插入〃-4+1个空隙中，共有AtM种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有

θʤ种.

经典题型练

经典题型一：两个计数原理的综合应用

1.（2022•江苏•南京市第一中学高三阶段练习）为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每

年4月25II为“创建文明城•生态志愿行”为主题的生态活动日，现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、

铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至

少带一个，则不同的安排方案共有（）

A.50种B.60种C.70种D.80种

【答案】A

【解析】携带工具方案有两类：

第一类，1个勾子，1个夹子，3把铁锹，所以携带工具的方案数有C；A；=20种；

第二类，1个勾子，2个夹子，2把铁锹，所以携带工具的方案数有C；C；=30种；

所以不同的安排方案共有50种，

故选：A

2.（2022・重庆・高三阶段练习）用1,2,3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之

和为奇数的共有（）

A.600个B.540个C.480个D.420个

【答案】A

【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是3个奇数1个偶数，或3个偶数1个奇数，

若为3个奇数1个偶数，则偶数一定排在个位，从4个偶数中选个排在个位有C：=4种，

再在5个奇数中选出3个排在其余三个数位，有A：=60种排法，故有C：A；=240个数字；

若为3个偶数1个奇数，则奇数不排在个位，从5个奇数中选一个排在前三位有C；A；=15种，

再在4个偶数中选出3个排在其余三个数位，有A：=24种排法，故有C；A；A：=360个数字；

综上可得一共有240+360=600个数字；

故选：A

3.（2022・全国•高三专题练习）用0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）

A.36B.48C.60D.72

【答案】C

【解析】当个位数为0时，有用=24个，

当个位数为2或4时，有2^6=36个,

所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，

故选：C.

4.（2022・全国•模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中48两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，

则不同的摆放种数为（）

A.360B.480C.600D.720

【答案】B

【解析】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，

①当C在位置1时，不同的摆法有A；=120种；

②当C在位置2时，不同的摆法有C；A：=72种；

③当C在位置3时，不同的摆法有A；A；+A；A；=48种；

由对称性知C在4、5、6位置时摆放的种数和C在3、2、I时相同，

故摆放种数有2x（120+72+48）=480.

故选：B.

123I4I56

5.（2022•全国•高三专题练习）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百

位上的数字之和为偶数的四位数共有.个（用数字作答）.

【答案】144

【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：A；C；=18种；

当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：C；A；C；+C；C；A；C；=126种，

根据分类计数原理得到共有18+126=144个.

故答案为：144.

6.（2022・全国•高三专题练习）有四张卡片,正面和背面依次分别印有数字“1,0,2,4”和“3,5,0,T,,

一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为.

【答案】264

【解析】当四位整数中无0出现时，则必有5和2,其中1和3二选一，4和7二选一，四个数再进行全排

列，故共有C；C；A：=96种选择；

当四位整数中出现一个0时，可能是从5和0种选取的，也可能是从2和0种选择的，有C；种，0可能的

位置在个位，上位或百位，从3个位置选择一个，有C；种，另外1和3二选一，4和7二选一，有C；C；种，

加上另一个非O数，三个数进行全排列，有A；种，故共有C；C；C；C；A；=144种选择；

当四位整数中出现两个O时，两个O的位置有C；种选择，另外I和3二选一，4和7二选一，有C；C种,

这两个数再进行全排列,有A；种,共有C；C；C；A：=24种，

综上：96+144+24=264种选择

故答案为：264

经典题型二：直接法

7.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩,

回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析,

5人的名次排列方式共有（）种

A.54B.72C.96D.120

【答案】A

【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，

分2种情况讨论：

①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有=6种情况，

此时有3x6=18种名次排列情况；

②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有&=6种情况，

剩卜的三人安排在其他三个名次，有用=6种情况，

此时有6X6=36种名次排列情况；

则一共有36+18=54种不同的名次情况，

故选：A.

8.某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出A,8,C,ZλE,尸共6名同学进行决赛，决出第1

名到第6名的名次（没有并列名次），A和8去询问成绩，回答者对A说“很遗墉，你和B都末拿到冠军；对

B说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）

A.720种B.600种C.480种D.384种

【答案】D

【解析】山题意，48不是第一名且B不是最后一名，B的限制最多，故先排8,有4种情况，

再排A,也有4种情况，余下4人有.父=4x3x2x1=24种情况，

利用分步相乘计数原理知有4x4x24=384种情况.

故选：D.

9.甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）

A.24种B.6种C.4种D.12利1

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，

则只需对剩下3人全排即可，

则不同的排法共有禺=3X2X1=6,

故选：B.

10.某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的

选法种数为（）.

A.10B.30C.40D.46

【答案】C

【解析】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人

若女教师为0人，则男教师有3人，有C；C；=10种选择；

若女教师为1人，则男教师2人，有C；C；=30种选择；

故女教师最多为1人的选法种数为10+30=40种

故选：C

经典题型三：间接法

11.将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站

法有（）.

A.1860种B.3696种C.3600种D.3648种

【答案】D

【解析】7个人从左到右排成一排，共有段=5040种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有用6=720

种不同的站法，甲站在最右端有父=720种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有&A：=48种

不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有5040-720-720+48=3648

种不同的站法∙

故选：D

12.某学校计划从包含甲、乙、丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲、乙、丙三位教师至

少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）

A.21种B.231种C.238种D.252种

【答案】B

【解析】10人中选5人有C；。=252种选法，其中，甲、乙、丙三位教师均不选的选法有C；=21利J

则甲、乙、丙三位教师至少一人被选中的选法共有C：0-C；=231种.

故选：B

13.中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就

是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲

座，共讲六次.讲座次序要求"射'’不在第一次，“数”和"乐"两次不相邻，贝六艺"讲座不同的次序共有（）

A.408种B.240种C.1092种.D.120种

【答案】A

【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为A：A；,

其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为A；A：A；,

于是得A；A；-A；A：A；=5x120-4x24x2=408,

所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.

故选：A

14.红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共

有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目.演出时

要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（）

A.96B.326C.336D.360

【答案】C

【解析】所有演出方案有＜=720种，

歌舞类相邻有MM=240种，

小品类相邻有=240种,

歌舞与小品均相邻有8用A：=96种，

所以总数有温—（用6+66-8KM）=720-384=336种.

故选：C.

经典题型四：捆绑法

15.（2022•浙江邵外高三阶段练习）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和

丁相邻的不同排列方式有种.

【答案】24

【解析】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有A；=2利J

然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有A：=6种，

因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，

利用插空法排列甲,排法有A；=2种,

所以不同的排列方法有=2x6x2=24种.

故答案为：24

16.（2022•江西•高三开学考试（理））中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、

南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于东、西、南、北、中五个方位.郭靖同学决定利用今年寒假时间，

游览以下五座名山：嵩山、泰山、华山、黄山、庐山，若他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序必

须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序共有种（用数字作答）.

【答案】12

【解析】先将黄山排在首位，再将“五岳”中的名山（共3座）捆绑，再与庐山排列，

故郭靖同学针对这五座名山的游览顺序种数为A；A：=12.

故答案为：12.

17.（2022•湖北•高三开学考试）五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的

站法种数为.

【答案】12

【解析】由李四、王五相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学，

又张三站在最右边，只有1种情况，

所以不同站法种数为IxA；xA；=12种，

故答案为：12.

18.（2022•全国•高三专题练习）现有4位学生和2位教师站成一排照相，两位教师站在一起的排法有

___________种.

【答案】240

【解析】由题意可得将2位教师看成一个整体，再与4位学生全排列，

所以共有A；A；=2x5x4x3x2x1=240种排法，

故答案为：240

19.（2022•全国•高三专题练习（理））成语“五音不全''中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，

是中国古乐基本音阶.把这五个音阶排成一列，形成一个音序.满足“徵"“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前

的不同音序的种数为.（用数字作答）

【答案】24

【解析】把“徵”“羽”看成一个元素，在排好顺序的4个位置中选两个，按“宫”在后，“徵”“羽”在前的顺序，

有种排法，

另两个位置排"商'”'角"，有A；种排法，

“徵’‘“羽,,又可交换顺序排列，有A；种排法，

故所求音序种数为C：A；A；=24.

故答案为：24.

经典题型五：插空法

20.（2022•湖北•高三开学考试）将语文、数学、英语、物理、化学,生物六本书排成一排，其中语文、数学相

邻，且物理、化学不相邻，则不同的排法共有种.（用数字作答）

【答案】144

【解析】先利用捆绑法把语文书、数学书看作一个整体，有A；=2种；

再把其与英语书、生物书进行全排列，有A；=6种；

再用插空法安排物理书.化学书，有Aj=12利

所以一共有2x6x12=144.

故答案为：144

21.（2022•全国•高三专题练习）英文单词"se〃小〃ce”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n

不相邻一共可以得到英文单词的个数为.（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）

【答案】2520

【解析】英文单词''se〃招“ce”中字母e有3个，字母”有2个，字母s、八C各有一个，优先考虑无限制的字

母，注意重复字母需除去顺序，共有第=120种，再插入2个字母〃，共有C；=21种，所以一共有

120x21=2520种.

故答案为：2520

22.（2022•全国•高三专题练习）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右

排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有种

（结果用数字表示）.

【答案】44

【解析】先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形：

第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男和空位共A；=2种，

将女生插空时又分两种情形：

先排两男和空位时，空位两侧排两名女生时计A；=2种；

空位两侧共排一名女生时计C；C；C；=8种，

共计A；（A；+C；C；C；）=2（^i；

第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位共C8=4利,,将女生插空共C；C；=6种，共计

C；A；C；C；=24种，

综上，共计A；（A；+C；CC；）+C；A汜;C；=44种.

故答案为：44

23.（2022•全国•高三专题练习）“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称.为

弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、

《春秋》分开排的情况有种.

【答案】72

【解析】先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有A；种排法

再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有A8中排法

所以满足条件的情形共有A；A；=72种.

故答案为：72

24.（2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测）某等候区有9个座位（连成一排），甲、乙、丙、丁四人

随机就座，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有种.

【答案】360

【解析】甲、乙、丙、丁每两人之间至少有一个空位，即甲、乙、丙、丁互不相邻，

将甲、乙、丙、丁四个人插入其它五个座位形成的六个空中，

有A：=360（种）不同的坐法.

故答案为：360.

25.（2022•全国•高三专题练习）某学校为贯彻“科学防疫”理念，实行“佩戴口罩，间隔而坐”制度.若该

学校的教室一排有8个座位，安排4名同学就坐，则不同的安排方法共有种.（用数字作答）

【答案】120

【解析】因为四个空位可产生五个空，则这四个同学可用插空法就坐，

因此共有4=120种不同的安排方法.

故答案为：120.

经典题型六：定序问题（先选后排）

26.满足x,∙eN"（i=l,2,3,4）,且XICX2<∙r3<Z<10的有序数组（斗，电，与，匕）共有（）个.

A.C：B.ZC.C1θD.用

【答案】A

【解析】：数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为C；.

故选：A.

27.A8,C,ZλE五人并排站成一排，如果8必须站在A的右边，（43可以不相邻）那么不同的排法有（）

A.120种B.90种C.60种D.24种

【答案】C

【解析】所有人排成一排共有：用=120种排法

8站在A右边与A站在B右边的情况一样多

.∙∙所求排法共有:彳=60种排法

2

本题正确选项：C

28.OMI是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是

两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合.在DNA中只有4种类型的碱基，分别用工、

C、G和7表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是AT,或者是C-G,

不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链

上碱基的顺序.如图所示为一条。单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基

A,2个碱基C和1个碱基T,则不同的插入方式的种数为（）

...AGGATCGG...

A.20B.40C.60D.120

【答案】C

屋720

【解析】依题意可知，不同的插入方式的种数为Vhr=T==60.

当卷46×2×1

故选：C

29.某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序己确定，则不同的排法有（）

A.120种B.80种C.20种D.48种

【答案】C

【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、内，方法数为8=20.

故选：C.

30.某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共

有多少种站法（）

A.36B.90C.360D.720

【答案】B

【解析】6个高矮互不相同的人站成两排，

后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为・6=90,

故选：B

31.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬

挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为（）

_■一■¾■■■上

A.2520B.5040C.7560D.10080

【答案】A

【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下,

先对8盏不同的花灯进行全排列，共有用种方法,

因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，

所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，

故一共有丁U=2520种，

故选：A

经典题型七：列举法

32.三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传

球方式共有（）

A.6种B.8种C.10种D.16种

【答案】C

【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知:

经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种，

故选：C.

33.三人踢穰子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，健子又被踢回甲，则不

同的传递方式共有（）

A.4种B.5种C.6种D.12种

【答案】C

【解析】解析：若甲先传给乙，则有甲T乙T甲一乙T甲，甲一乙一甲一丙一甲，甲一乙一丙一乙一甲3

种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式.

答案：C.

34.设玉，巧，We{T,0J2},那么满足0≤x"考+考≤8的所有有序数组（Λ,,Λ2,X5）的组数为（）

A.45B.46C.47D.48

【答案】C

【解析】①当占=2时，xj+xl=O,则々=W=。，共1组；

②当士=1时，-∖≤xl+xj<l,则巧，鼻不同时为2,共CC-1=42-1=15组；

③当W=O时，0≤x"考≤8,则须,9为{-1,0,1,2}中任一元素，共Cy=42=16组:

④当Xl=-I时，1≤*+*≤9,则/，W不同时为0,共CJ∙C-1=42-1=15组.

故满足题意的有序数组共有47组.

故选：C.

35.从集合｛1,2,3,4,,15｝中任意选择三个不同的数,使得这三个数组成等差数列,这样的等差数列有（）

个

A.98B.56C.84D.49

【答案】A

【解析】当公差为1时，数列可以是：1,2,3,2,3,4,3,4,5...........13,14,15,共13种情况.

当公差为2时,数列可以是：1,3,5,2,4,6,3,5,7,……11,13,15,共”种情况.

当公差为3时,数列可以是：1,4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9种情况.

当公差为4时，数列可以是:L5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7种情况.

当公差为5时,数列可以是：1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5种情况.

当公差为6时,数列可以是：1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3种情况.

当公差为7时，数列可以是：1,8,15,共1种情况.

总的情况是13+11+9+7+5+3+1=49.

又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，

所以这样的等差数列共有98个.

故选：A

36.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定

紧，但不能承续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是.

【答案】60

【解析】根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一

个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有10x6=60

种方法，故答案是60.

经典题型八：多面手问题

37.我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其

余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法.

A.675B.575C.512D.545

【答案】A

【解析】分析：根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解.

详根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理.

第一类2个只会左边的都不选，有C；C；=100种；

第二类2个只会左边的有1人入选，有C；C，C；=400种；

第三类2个只会左边的全入选，有C=U∙C=175种，所以共有675种不同的选法，故选A.

38.某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有.5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，

现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法

A.225B.185C.145D.IlO

【答案】B

【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类.

①“2人既会英语又会法语“不参加，这时有CC:种：

②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，

这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，

因此有GCC+C；GC“中；

③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，

这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，

因此有C也C：+C；C;C；+c；c；c；c：种.

综上分析，共可开出c；c：+GCC：+c；Gc++c；c；c：+GeC=I85种.

故选：B.

39.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临

近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨,

2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法

共有（）

A.26种B.30种C.37种D.42种

【答案】C

【解析】根据题意，设A=｛只会划左桨的3人｝,8=｛只会划右桨的3人｝,C=｛既会划左桨又会划右桨

的2人｝,据此分3种情况讨论：

①从A中选3人划左桨，划右桨的在（BuC）中剩下的人中选取，有C；=10种选法,

②从A中选2人划左桨，C中选1人划左桨，划右桨的在（BUC）中选取，有C；C；C：=24种选法，

③从A中选1人划左桨，C中2人划左桨，8中3人划右桨，有C；=3种选法，

则有10+24+3=37种不同的选法.

故选：C.

经典题型九：错位排列

40.编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的

编号与座位号一致的坐法有（）

A.10种B.20种C.30种D.60种

【答案】B

【解析】先选择两个编号与座位号•致的人，方法数有《=10，

另外三个人编号与座位号不一致，方法数有2,

所以不同的坐法有10X2=20种.

故选：B

41.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，

若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【解析】根据题意，分以下两步进行：

（1）在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里，有=15种选法，假设选出的2个小球的编号为5、6；

（2）剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里，

对于编号为1的小球，有3个盒子可以放入，假设放入的是2号盒子.

则对于编号为2的小球，有3个盒子可以放入，

对于编号为3、4的小球，只有1种放法.

综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为15x3x3=135种.

故选：B.

42.若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里,

并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）

A.20B.90C.15D.45

【答案】D

【解析】根据题意，分2步分析：

①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有C；种选法，

②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卜片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那

个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，

所以不同的拿卡片的方法有C；∙C；∙C；=45利L

故选：D.

经典题型十：涂色问题

43.（2022•全国•高三专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：

湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄

绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有种不同的涂色方法.

【解析】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有C：-1=5种选法，因此不

同的涂色方法有5x2=10种，

当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有2种方法选法，

因此不同的涂色方法有2x2χ2=8种，

当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有2种方法选法，

因此不同的涂色方法有2X3/2X（2+1）=36种，

当选择四种颜色时，不同的涂色方法有2x2x2+2x2=12种，

所以共有10+8+36+12=66种不不同的涂色方法，

故答案为：66

44.（2022•全国•高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得

使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）.

【答案】420

【解析】求不同的着色方法数有3类办法，川5种颜色有A；种，

用4种颜色，2,4同色或3,5同色，有2A；种，

用3种颜色，2,4同色且3,5同色，有A；种，

所以不同的着色方法共有A；+2A；+A；=120+2x120+60=420（种）.

故答案为：420

45.（2022•全国,高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一

次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A,B,C,。和A，Bl,C-R分

别各涂2种不同颜色的涂色方法共有种；区域A,B,C,。和A,B∣,Cl,R分别各涂4种

不同颜色的涂色方法共有种.

/B1A1\

【答案】24216

【解析】AC,Bf>,4£避R同色,所以先涂ACW有：C那，再涂AG,鸟&有A；种，所以共有:C闲A；=24

种.

先涂AB,C,D共有：A：=24种，设四种颜色为4,b,c,d,假设48,。,。涂的颜色分别为。自，/,则

4，稣4,2涂色情况如下：

(b,a,d,c),{b,c,d,a),{h,d,c,a),{c,a,d,h),(c,d,a,lj)∖c,d,b,a),{d,a,b,c),(d,c,a,b),(d,c,b,a),共9种,

所以：A：x9=216种.

故答案为:24；216.

46.（2022•全国•高三专题练习）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角

三角形和一个正方形构成.现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域

不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有种.

【答案】48

【解析】由题意，分2步进行，第一步，对于区域①②⑤两两相邻，有A：=24种涂色方法,

第二步，对于区域③④必须