重组卷04-2023年高考数学真题重组卷（解析版）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷04

新高考地区专用(解析版)

注意事项：

ɪ.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.(2022年高考北京卷)己知全集U={x∣-3<x<3},集合4={可-2<》41},则Q,A=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)1,l[l,3)C.[-2,1)D.(-3,-2](1,3)

D【解析】利用补集的定义可得正确的选项.

【详解】由补集定义可知:Q,A={x∣-3<x≤-2或1<尤<3},gp¾½=(-3,-2](1,3),

故选：D.

2.(2021•全国•统考高考真题)设2(z+3)+3(z-5)=4+6i,则Z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

C【解析】设z=α+6,利用共物复数的定义以及复数的加减法可得出关于°的等式，解出这两个未知

数的值,即可得出复数z.

【详解】设z=α+Zri,JJ}∣Jz=α-Zri,贝∣2(z+1)+3(z-三)=4α+6fei=4+6i,

[4〃=4

所以，G於，解得。=〃=1,因此，z=l+i.

[6⅛=6

故选：C.

3.(2021年高考全国∏卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，

地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为3600Okm(轨道高度是指卫星到地球表面的

距离).将地球看作是一个球心为O,半径r为640Okm的球，其上点4的纬度是指04与赤道平面所成角的

度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α,记卫星信号覆盖地球表

面的表面积为S=2仃2(1-COSa)(单位：km2),则S占地球表面积的百分比约为()

A.26%B.34%C.42%D.50%

C【解析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

ɪ6400

2万)(I-CoSa)=I-COSa=-6400+36000^042=42%-

4πr2-2-2~•一°

故选：C.

4.(2022年高考北京卷)已知函数/(x)=COS2x-sin?X,则()

A.f(x)在卜W上单调递减

B.Ax)在上单调递增

Cf(X)在(Om上单调递减D.F(X)在仔,旨上单调递增

C【解析】化简得出A")=c°s2。利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为/(x)=COS2χ-si∏2χ=cos2x∙

-τr<2x<-g,则"x)在(一1一!〕上单调递增，A错;

对于A选项,当—9<x<—J时

263k2

当一f<x<=时，-g<2x<g,贝∣J∕(x)在，了,有］上不单调，B错;

对于B选项,

4122oI4∖ZJ

当O<x<q时，0<2x<y,则〃X)在(0。)上单调递减，C对；

对于C选项,

当泊唔时，］<2x喏，则/(x)在《,金」二不单调，D错.

对于D选项,

故选：C.

5.(2021年高考全国I卷)若tan。=—2,则四必土如竺)=()

sin9+COSe

C【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(I=Sin2'+cos2j),进行齐次化处

理，化为正切的表达式，代入忸《。=-2即可得到结果.

【详解】将式子进行齐次化处理得：

Sine(1+sin2。)sin^(sin2^+cos2^+2sinOcos6)

=Sine(Sine+cos。)

sin6+cos6sin。+cos6

_sin。(Sine+cos。)_tan?6+tan8_4-2_2

sin2^+cos2θl+tan2θ1+45

故选：C.

【点睛】易错点睛：本题如果利用tan6=-2,求出SinaCOSe的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过

齐次化处理，可以避开了这一讨论.

6.（2022年高考天津卷）已知抛物线V=4石",名分别是双曲线∕l（α>08>0）的左、右焦点，抛

物线的准线过双曲线的左焦点月，与双曲线的渐近线交于点A,若/K用4=?,则双曲线的标准方程为（）

22

A.——y2=1B.=1

1016

22

C）V1.ɪ21

C.x~---=1rD.-------y^=1

44-

C【解析】由己知可得出C的值，求出点A的坐标，分析可得H周=忸6L由此可得出关于“、万、C的方

程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】抛物线V=4瓜的准线方程为χ=-√L则C=有，则川-6,0）、/^（√5,θ）,

bX=-C

,即点川-

不妨设点A为第二象限内的点，联立，a,可得<bec,1),

a

X=-Cy=-

∙τr

因为AE，月鸟且N耳6A==,则△耳KA为等腰直角三角形，

且M=忻用，即31=2C,可得3=2,

因此，双曲线的标准方程为f一£=1.

所以，,C=∖∕^，解得力=2

4

C1=CT+⅛2c=∖[5

故选：C.

7.（2022高考全国乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手

与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P∣,Pz,P3,且P3>P2>P∣>O∙记该棋手连胜两盘的概率为P，则（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，P最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，P最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，P最大

D【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率P"1;

该棋手在第：盘与乙比赛且连胜两盘的概率PJ该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率P丙.并对三者

进行比较即可解决

【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，

记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为

则此时连胜两盘的概率为z⅞

则A'=∣[(1-22)P∕3+P2P1(1-科)]+g[(1-P3)p∣0+P3P1(1-02)]

=Pl(P2+P3)-2p∕2P3；

记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为P乙，

2

则P乙=(I-P∖)pm+PiP2(I-P3)=P2(Pl+凸)-PiP2P3

记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为年

PP

则=(I-Pi)P3P2+PiP3(I-P2)=3(∣+P2)-2p∣P2P3

则Z⅞一P乙=PI(P2+P3)-2月P2P3-[〃2(Pi+凸)-2PiP2P3]=(Pi-2)P3<O

P乙-。丙=(月+"3)-2pwM3-[必(Pl+0)-2p∣心凸]=(0一凸)Pi<。

即P甲<P乙，P乙<Pwi，

则该棋手在第二盘与丙比赛，P最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；

P与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.

故选：D

8.(2021年高考全国I卷)若过点(。力)可以作曲线y=e*的两条切线，则()

A.eh<aB.eα<⅛

C.Q<a<ehD.O<⅛<eα

D【解析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定

结果；

解法二：画出曲线y=e*的图象，根据直观即可判定点(α∕)在曲线下方和X轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线y=e*匕任取一点P(f,d),对函数y="求导得y'=e',

所以，曲线y=，在点P处的切线方程为y—e'=e'(x-r),即y=e'x+(l-f)e',

由题意可知，点(α力)在直线y=e'x+(1T)e'上，可得6=αe'+(1T)d=(α+1T)e',

令FG)=(α+lτ”,则r(f)=(α-f)d.

当t<αH寸，f'(t)>O,此时函数单调递增，

当时，r")<o,此时函数/。)单调递减，

所以，"<U"(α)=d',

由题意可知，直线y=b与曲线y=∕(f)的图象有两个交点，则b<∕(f)nHX=e",

当，<α+l时，/(f)>0,当r>α+l时，/(f)<0,作出函数/⑺的图象如下图所示:

由图可知，当o<b<e"时，直线y=b与曲线y=∕(r)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=e，的图象如图所示，根据直观即可判定点(4,3在曲线下方和X轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知O<b<ea.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性

进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2020年高考全国II卷）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11

天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加；

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；

CD【解析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差

的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.

【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工

指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；

由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，

复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；

由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确；

由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确；

【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数

增量的理解与观测，属中档题.

10.(2021年高考全国I卷)已知。为坐标原点，点6(CoSa,sina),B(COS〃,一sin/),

A(CoS(α+∕J),sin(α+尸))，A(l,0),则()

A.网=∣O周B.同=网

C.OA∙OPy=OPxOP2D.OAOPs=OP1OPi

UUUUUU

AC【解析】A、B写出明°鸟、M,A鸟的坐标，利用坐标公式求模,即可判断正误；C、D根据向量

的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：OP1=(cosα,sinα),QR=(COSP,-sin£),所以Ioql="cos?α+sin?α=1，

IOPII=J(COS/)2+(—sin/了=],故IOKRoR正确;

B：M=(COSa-1,Sina),AP2=(∞sy9-l,-sinyff),所以

222

IAF∖I=J(COSa-1)?+sin"a=Vcosa-2cosα+l+sina=λ∕2(l-cosa)=^4siny=2∣sin-^-∣,同理

22

IAP21=√(cosy5-l)+sin^=21sin∣,故∣A[∣,∣Ag|不一定相等，错误；

C：由题意得：OAOP3=1×cos(a+J3)+O×sin(6z÷/7)=cos(a+β),

OF∖∙OP2=cosa∙cos(—sinβ)=cos(ez+β),正确;

D：由题意得：OAOq=IXCoSa+0XSina=COSa,OP2∙OPi=cosβ×cos(cr÷yff)÷(-sinβ)×sin(a+β)

=COS(B+(α+B))=COS(α+2β),故一般来说θbθ[w。£∙O^故错误；

故选：AC

11.（2021年高考全国I卷）己知点尸在圆（万一5）2+（尸5）2=16上，点人（4,0）、3（0,2）,则（）

A.点尸到直线A8的距离小于10

B.点户到直线AB的距离大于2

C.当NPB4最小时，|冏=30

D.当NPBA最大时，∣P8∣=30

ACD【解析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点尸到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的

正误；分析可知，当NPBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.

【详解】圆（兀-5）2+（丫-5）2=16的圆心为加（5,5）,半径为4，

直线AB的方程为j+]=l,即x+2y-4=0,

圆心M到直线AB的距离为B：2X5-4|=U=lb√5>4,

√i¼21√55

所以，点尸到直线AB的距离的最小值为逆-4<2,最大值为M→4<10,A选项正确，B选项错误;

55

如下图所示：

dJv∖~*χ

当NPBA最大或最小时，依与圆M相切，连接"P、BM,可知PM_LP8，

IBM=J（O-5）2+（2-5）2=扃,IMq=4,由勾股定理可得IBPI=JlBM?-IMPf=3√Σ，CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线/与半径为「的圆C相离，圆心C到直线，的距离为d,则圆C上一点P到直线/的

距离的取值范围是[d—rM+r].

12.（2022年高考全国II卷）如图，四边形A8Cf>为正方形，EDABCD,FB//ED,AB=ED=IFB,

记三棱锥E—ACO,F-ABC,尸-ACE的体积分别为匕,匕,匕，则()

A.½=2V2B.V3=V1

C.½=V1+V2D.2V3=3V,

CD【解析】直接由体积公式计算匕%,连接3£＞交AC于点M,连接EM,FM,由匕=%一印"+VCYFM计算

出匕，依次判断选项即可.

设A8=Ef>=2EB=24,因为ED_L平面ABC£>,FBED,则匕=g∙EZ>S皿,=g∙2"g(24)2=?苏，

匕=：•尸8∙SABc=ga；(2a)2=|/，连接80交AC于点M,连接EM,FM,易得BO_LAC,

乂ED，平面ABC。，AeU平面AB8,则EDLAC,又EDBD=D,ED,BDu平面BDEF,则ACJ_平

面BDEF,

又8仞=。〃=,8。=缶，过尸作尸GJ_。E于G,易得四边形8。GF为矩形，则FG=8O=2√Σα,EG=α,

2

则EM=J(2a)2+(75a『=√6a,FΛ/=^α2+(√2a)2=岛，EF=Ja?+(2及。『=34,

EM-+FM2=EF2<则EMJ,∕⅞f,SEFM=LEM∙FM=巫a?,AC=2√2a,

22

则K=%Y-M+%一.W=3AC∙SMM=2/,则2匕=3匕，⅛=3½,匕=匕+匕，故A、B错误；C、D正确.

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2022年高考上海卷)在J的展开式中，含/•项的系数为

66【解析】

【解析】

写出展开式的通项，令X的指数为-4,求出参数的值，代入通项后即可得解.

【详解】

/+g(展开式的通项为47

=C[∙(χ3),-IJ)=C[2∙V

令36-4r=T,可得r=10,因此，展开式中含5项的系数为C；；=66.

故答案为：66.

14.(2021高考全国I卷)已知。为坐标原点，抛物线C：V=2pχ(p>0)的焦点为尸，尸为C上一点，PF

与X轴垂直，Q为X轴上一点，且尸Q若I尸q=6,则C的准线方程为.

3

X=-∣【解析】先用坐标表示P,。，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得P,即得结果.

【详解】抛物线C：y=Ipx(…)的焦点呜,0),

:尸为C上一点，PB与X轴垂直，

所以P的横坐标为,代入抛物线方程求得P的纵坐标为±P,

不妨设P或,P),

因为Q为X轴上一点，且尸QLOP,所以。在F的右侧，

乂IFQl=6,

Dɑuɪɪ

.∙.β(6+-^,0),.∙.PQ=(6-P)

因为PQLOP,所以pQ.op=g6-p2=0.

Qp>O,.∙.p=3,

3

所以C的准线方程为X=-：

2

3

故答案为：χ=∙~~∙.

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

15.(2022年高考北京卷)已知数列h｝各项均为正数，其前〃项和5“满足为∙S,,=9(〃=1,2,).给出下列

四个结论：

①｛为｝的第2项小于3；②｛q｝为等比数列；

③｛4｝为递减数列；④｛4｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

99

an=----------

①③④【解析】推导出％4I,求出为、的的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调

性的定义可判断③.

【详解】由题意可知，∀n∈N,.an>O,

当”=1时，。：=9,可得q=3；

9999

当〃≥2时，由S”=一可得T=—,两式作差可得%=-------，

an¾-l¾%T

999

所以，一=一一册,则一一4=3,整理可得返+3W-9=0,

%Tana2

因为4>0,解得见=当二ɪ<3,①对；

(。YQ1

假设数列｛。“｝为等比数列，设其公比为g,则城=4%，即(=言，

所以，S；=SN，可得d(l+q)2=d(l+q+d),解得g=0,不合乎题意，

故数列｛%｝不是等比数列，②错；

QQ9(4—Cl

当〃22时，a,,=-------=-^~以>0,可得q<4ι,所以，数列｛4｝为递减数列，③对；

假设对任意的〃eN14,≥士，则SK)OflOfl2100000XT^=IO00,

IOUɪVV

991

所以，¾ooooo=--≤77M<诉，与假设矛盾，假设不成立，④对.

»ioooooIUUUIUU

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.

16.(2022年高考天津卷)设αeR,对任意实数x,记〃司=1疝1｛国-2/2一奴+3”5｝.若/(x)至少有3

个零点，则实数”的取值范围为.

“≥10【解析】设g(x)=d-av+3α-5,A(x)=∣x∣-2,分析可知函数g(x)至少有一个零点，可得出A≥0,

求出〃的取值范围，然后对实数〃的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数〃的不等式，综合可

求得实数。的取值范围.

【详解】设g(x)=x2-0x+3α-5,Λ(X)=∣Λ∣-2,由W-2=0可得χ=±2.

要使得函数/(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有-一个零点，则A=∕-i2α+20≥0,

解得4≤2或a≥10.

①当α=2时，g(x)=f-2x+l,作出函数g(x)、〃(x)的图象如卜图所示：

此时函数/(x)只有两个零点，不合乎题意;

②当α<2时，设函数g(x)的两个零点分别为为、x2(xl<x2).

要使得函数/(x)至少有3个零点，则*2<-2,

所以，2,解得ae0;

g(-2)=4+5α-5≥0

③当α=10时，g(x)=χ2-iθχ+25,作出函数g(x)、MX)的图象如下图所示:

由图可知，函数/(x)的零点个数为3,合乎题意：

④当α>10时，设函数g(x)的两个零点分别为马、x4(⅞<x4),

要使得函数/(x)至少有3个零点，则W22,

aC

—>2

可得12,解得α>4,此时Q>10.

g(2)=4+α-5≥0

综上所述，实数。的取值范围是［10,内).

故答案为：［1。,”).

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(I)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(2021年高考全国∏卷)记S“是公差不为0的等差数列｛4｝的前八项和，若α3=S5,%%=S4.

(1)求数列｛叫的通项公式叱;

(2)求使S成立的〃的最小值.

⑴%=2〃-6；(2)7.【解析】⑴由题意首先求得右的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通

项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】⑴由等差数列的性质可得：S5=5a,,则：a3=5a3,.-.a3=0,

2

设等差数列的公差为d,从而有：a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d,

S4=4+@+弓+4=(里一2d)+(七一d)+%+(g+")=—2√∕,

从而：_d」2d，由于公差不为零，故：d=2,

数列的通项公式为：3)d=2〃-6.

(2)由数列的通项公式可得：q=2-6=-4,贝lj：S“=〃X(-4)+"(；-1)X2=〃2-5”,

则不等式S.>α“即:n2-5n>2n-6.整理可得：（〃-1）（〃-6）>0,

解得：”<1或〃>6,又"为正整数，故"的最小值为7.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数

列的有关公式并能灵活运用.

18.（2022高考全国1卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为

良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾

病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾

P(B∖A)P(B∖A)

病P(引4)与P(Alm的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

P(AlB)P(AIB)

(i)证明:R=

P(A∣B)P(AjB)

（ii）利用该调查数据，给出P（Al砌,P（Ai月）的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.

n(ad-hcy)2

附公

(α+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

p(κ1≥k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

（1）答案见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）R=6;【解析】（1）由所给数据结合公式求出K2的值，将其与临界

值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；（2）⑴根

据定义结合条件概率公式即可完成证明；（ii）根据（i）结合已知数据求R.

(1)

n(ad-bc)2200(40x90-60×IO)2

由已知K?==24,

(a+⅛)(c+d)(a+c)(b+Cl)50×150×100×I00

又P(K2≥6.635)=().01,24>6.635.

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

(2)

P(8∣A)P(B∖A)P(AB)P(A)P(W月)P(A)

⑴因为R=

P(BIA)P(B∣A)—P(A)P(AB)P(A)P(AB)

所以R=3S∙迺卫

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

P(4∣8)P(XIA)

所以R=

P(A∖B)P(A∖B)

(ii)

由已知P⑷8)=需'P(A国=啬’

-60-----90

又尸⑷8)=而,P(A∖B)=-

100

P(A∣B)^lg),

所以6

R=P(A∣β)P(A∣B)^^

19.(2020高考江苏卷)在AABC中，角A,B,C的对边分别为mb,c,已知a=3,c=0,8=45。.

(1)求SinC的值；

4

(2)在边BC上取一点。，使得8sZADC=-g,求tanND4C的值.

(I)SinC=正；⑵tanNQAC=二【解析】(1)方法一：利用余弦定理求得匕，利用正弦定理求得SinC

511

(2)方法一：根据cosZADC的值,求得SinZADC的值，由(1)求得COSC的值,从而求得SinZDAC,COSZDAC

的值，进而求得tanND4C的值.

【详解】(1)［方法一］：正余弦定理综合法

由余弦定理得6?=∕+cJ24ccosB=9+2-2x3χ√Σx"=5,所以b=6.

2

由正弦定理得q=±nsinC=迪O=@.

SinCSinBb5

［方法二］【最优解】：几何法

过点A作AE_LBC,垂足为E.在RtZkABE中，由C=√2,B=45?,可得AE=JgE=1,又。=3,所以EC=2.

在RtACE中，AC=AEi+EC1=√5-因此SinC=；=±.

∖∣55

(2)[方法一]：两角和的正弦公式法

由于cosZADC=—I,Z.ADCe(∙^∙,τr],所以SinZ.ADC=Vl—cos2ZADC=∙∣.

由于NAOCe(],〃)，所以Ce(O所以CoSC=次-sir?C=乎.

所以sinADAC=sin(万一ZZMC)=sin(ZADC+ZC)

./AnCr>,∕λrι厂•r32石(4∖ʌ/ʒ2Λ∕5

—sin∙ZS4ZX?∙cosC+cos^AL)C∙sinC=-×------Fl—×—=------.

55I5)525

由于ND4Ce[θ,]｝所以CoSNZMC=ʌ/l—sin2NQAC=噂

2

/八…sinZDAC2

所以tanZDAC=--------------=—

CoSNDAC11

［方法二］【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

44

在(1)的方法二的图中，由CoSZADC=-一,nɪf⅜cosZADE=cos(^∙-Z.ADC)=-cosZADC=—,从而

55

./八…∕fL4LsinZDAE4

sinZDAE=cosZADE=—,tanZDAE=-------------=—.

5cosNDAE3

../八-,丁…ECC-,.^//-e/~八、tanZEAC-tanZEAD2

乂l由(1)可rz得ptanNEAC=----=2,所rι以tan∕f>zγAaλC=tan(NEAC-NE4O)=---------------------------------=一

AE1+tanZE4C∙tanZEAD11

［方法三］：几何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=石.

AFL4

在RtzXADEl∣l,AD=-------------=√5,ED=ADcosZADE=—,

sinZADE3

2

所以CD=CE-OE=—.

3

在.48中，由正弦定理可得SinNDAC=C&∙sinC=也，

AD25

2

由此可得tanZDAC=-.

［方法四1：构造直角三角形法

如图，作AE∙LBC,垂足为E,作。G_LAC,垂足为点G.

在（1）的方法二中可得AE=I,CE=2,AC=石.

由COSZAf)C=-&,可得COSNAZ)E=♦,sinNADE=Jl-COS,NADE=」.

555

Ap5/--------------42

在∕⅛∆ADE中，AD=―——=-,DE=^AD2-AE2=-,CD=CE-DE=-.

SinZADfi333

由(1)知SinC=@，所以在RtZ∖CQG中，DG=CDsmC=空,CG=JcD?-DG?=述,从而

51515

AG=AC-CG=^-.

15

DG2

在Rt.ADG中，tanNDAG=-----——.

AG11

2

所以IanZDAC=-.

【整体点评】（1）方法r使用余弦定理求得6=逐，然后使用正弦定理求得SinC；方法二：抓住45。角

的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法-：使用两

角和的正弦公式求得/D4C的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，

运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得“4C的正弦值，进而得解；

方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有NzMC的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.

20.（2020年高考全国∏卷）如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，POj_底面4BCD设平面力£）与平

面P8C的交线为/.

（1）证明：/_L平面PDC；

（2）已知PD=AO=I,Q为/上的点，求PB与平面QCO所成角的正弦值的最大值.

（1）证明见解析；（2）述.【解析】（1）利用线面垂直的判定定理证得ADL平面P0C,利用线面平行的

3

判定定理以及性质定理，证得4）〃/,从而得到平面Pr>C；

（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q（MO,1）,之后求得平

面。8的法向量以及向量产后的坐标，求得卜》<〃,心>|的最大值，即为直线PB与平面。8所成角的正弦

值的最大值.

【详解】（1）证明：

在正方形ABCD中，ADHBC,因为ADN平面尸8C,BCU平面PBC,

所以AD〃平面PBC,又因为Az）U平面PM，平面PADc平面PBC=/,

所以AEW/,因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AQ±DC,/_LDC,且尸£）_L平面ABCD,

所以Ar>_LP£>,.JJ.P£）,

因为8PD=D,所以平面Pr）C.

（2）［方法一］【最优解】：通性通法

因为。P,DA,。C两两垂直，建立空间直角坐标系。-冲z,如图所示：

因为PD=AD=1,设0(0,0,0),C(0,l,0),A(1,O,O),P(O,O,1),B(1,1,O),

设Q(m,0,l),贝IJ有DC=(0,1,0),JDQ=(m,0,1),fB=(1,1,-1),

设平面QCD的法向量为n=(x,y,z),

DC∙∏=O口Jy=O

则Y,即「Z

DQπ=0[∕nr+z=O

令X=1,贝IJZ=-机，所以平面QS的一个法向量为〃=（1,0,_加），则

n∙PB↑+0+m

cos<n,PB>=

∣n∣∣FB∣√3∙√m2+l

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB

2

与平面QCD所成角的正弦值等于ICoS<n,PB>|==>/3l+2m+m

g∙√"+l3Vm2+1

=走∕l+^L≤a∕l+⅛l［≤且.√∏ΓT="当且仅当m=l时取等号，所以直线总与平面QCD所

3V∕n2+13VW2+133

成角的正弦值的最大值为也.

3

［方法二1：定义法

如图2,因为/u平面PBC,Qel,所以Q∈平面PBC.

在平面R4D中，过P点作「，交。£>FF,连接EA

因为PD_LF面ABCD,DCU平面ABCD,所以Oe_L尸£>.

又由£>C_LA£>,A。PZ)=£),PDU平面PAL),AOU平面PAD,所以。CL平面PAr>.乂PFU平面尸AD,

所以OCLPF.又由？F_LQ2QOOC=RQE)U平面QOC,。CU平面QOC,所以PEL平面QOC,从

而ZFEP即为P8与平面QCD所成角.

设尸Qi在“QD中，易求PF二号

由VPQE与BEC相彳以，得名=笔=:,可得PE=巫

EBBC1a+∖

所以SinNFEP=,当且仅当”=1时等号成立.

［方法三］：等体积法

如图3,延长CB至G,使得BG=PQ,连接G。，GD,则尸3//QG,过G点作GM_L平面。。。，交平面

QQC于M,连接Q",则NGQM即为所求.

设尸Q=X,在三棱锥Q-OCG中，V=^PD-CD(CB+BG)=^(↑+x).

326

2

在三棱锥G-QDC中，VG_QDC^CDQD=^GM∙∣√l+x.

由%-DCG=^G-QDC得工(1+X)=ς^GM•—λ∕l+X2,

o32

12xx

解得GM==Jlt...=∕ι+-2∑τ≤近,

√1+X2Vl+xV1+X

当且仅当x=l时等号成立.

在RtAPDB中，易求P8=6=QG,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为

∕KΛΠΓ'近瓜

sin/MQG=.

【整体点评】(2)方法一:根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCO所成角的正弦值即为平面QCo

的法向量〃与向量P8的夹角的余弦值的绝对值，即卜。s<",PB>∣,再根据基本不等式即可求出，是本题的

通性通法，也是最优解；

方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QeQ所成角，再利用解三角形以及基本不等

式即可求出；

方法三：巧妙利用PB〃QG,将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QC。所成角的

正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出.

22

21.(2022年高考北京卷)己知椭圆：E:，+%=l(a>6>0)的一个顶点为40,1),焦距为26.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(-2,l)作斜率为％的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与X轴交于点M,N,

当IMNl=2时，求攵的值.

⅛=1

⑴(2M=T【解析】(1)依题意可得2C=2ΛΛ即可求出。，从而求出椭圆方程;

c2-a2-b2

首先表示出直线方程，设凶)、联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、

(2)3(%,C(X2,Λ),AB

AC的方程，表示出/、XN,根据IMNl=IXNrMl得到方程，解得即可:

【详解】(1)解：依题意可得6=1，2c=2√3,又/=/一从，

所以α=2,所以椭圆方程为片+J=1；

4

(2)解：依题意过点尸(—2,1)的直线为y—1=MX+2),设Ba,必)、C(x2,y2),不妨令-2≤占<々≤2,

y-1=k(x+2)

由I-,,消去V整理得(1+4&2)/+06公+8%)x+16公+16%=0,

14

所以A=(16^+81-40+4/)06公