《24.4 弧长和扇形面积》教案、导学案

《24．4弧长和扇形面积》教案【教学目标】1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程．2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算．【教学过程】一、情境导入在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？二、合作探究探究点一：弧长【类型一】求弧长在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.解析：根据弧长公式l＝eq\f(nπr,180)，这里r＝1，n＝120，将相关数据代入弧长公式求解．即l＝eq\f(120·π·1,180)＝eq\f(2,3)π.方法总结：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝eq\f(nπR,180)，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为________cm.解析：连接OB、OC，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为eq\f(60×π×6,180)＝2π.方法总结：根据弧长公式l＝eq\f(nπR,180)，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R和它所对的圆心角n的大小．【类型二】利用弧长求半径或圆心角(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于eq\f(π,2)，则该扇形的半径是________；(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是eq\f(π,3)，那么此扇形的圆心角的大小为________．解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据题意，得eq\f(45×π×R,180)＝eq\f(π,2)，解得R＝2.(2)根据弧长公式得eq\f(n×π×1,180)＝eq\f(π,3)，解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60°.方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．【类型三】求动点运行的弧形轨迹如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝eq\r(3)，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为eq\r(,3)，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l＝3×eq\f(120π×2,180)＋2×eq\f(90π×\r(3),180)＝4π＋eq\r(3)π.故填(4＋eq\r(3))π.方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．探究点二：扇形面积【类型一】求扇形面积一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π)解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(120×32π,360)＝3π.方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝eq\f(1,2)lr，其中l是弧长，r是半径．【类型二】求运动形成的扇形面积如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是()A．πB.eq\r(3)C.eq\f(3π,4)＋eq\f(\r(3),2)D.eq\f(11π,12)＋eq\f(\r(3),4)解析：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝1，由于这个三角板扫过的图形为扇形BCB1和扇形ACA1，∴S扇形BCB1＝eq\f(90·π·12,360)＝eq\f(π,4)，S扇形ACA1＝eq\f(90·π·（\r(3)）2,360)＝eq\f(3π,4)，∴S总＝eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)＝π.故选A.【类型三】求阴影部分的面积如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A．πcm2B.eq\f(2,3)πcm2C.eq\f(1,2)cm2D.eq\f(2,3)cm2解析：设两个半圆的交点为C，连接OC，AB，根据题意可知点C是半圆eq\o(OA,\s\up8(︵))，eq\o(OB,\s\up8(︵))的中点，所以eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(OC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，所以BC＝OC＝AC，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt△AOB的面积，又OA＝OB＝1cm，即图中阴影部分的面积为eq\f(1,2)cm2，故选C.方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活割补法、转换法等.《24.4弧长和扇形面积(第1课时)》教案【教学内容】1．n°的圆心角所对的弧长L=2．扇形的概念；3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=；4．应用以上内容解决一些具体题目．【教学目标】了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．【重难点、关键】1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用．2．难点：两个公式的应用．3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．【教具、学具准备】小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．【教学过程】一、复习引入（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．1．圆的周长公式是什么？2．圆的面积公式是什么？3．什么叫弧长？老师点评：（1）圆的周长C=2R（2）圆的面积S图=R2（3）弧长就是圆的一部分．二、探索新知（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．2．1°的圆心角所对的弧长是_______．3．2°的圆心角所对的弧长是_______．4．4°的圆心角所对的弧长是_______．……5．n°的圆心角所对的弧长是_______．（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：n°的圆心角所对的弧长为例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）分析：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．解：R=40mm，n=110∴的长==≈76.8（mm）因此，管道的展直长度约为76.8mm．问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题：1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．……5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．老师检察学生练习情况并点评1．3602．S扇形=R23．S扇形=R24．S扇形=5．S扇形=因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形S扇形=例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．解：的长=×10=≈10.5S扇形=×102=≈52.3因此，的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．三、巩固练习课本P122练习．四、应用拓展例3．（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．(a)(b)（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．∵四边形ABCD是正方形∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（2）120°；70°（3）；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是．五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握：1．n°的圆心角所对的弧长L=2．扇形的概念．3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=4．运用以上内容，解决具体问题．六、布置作业1．教材P124复习巩固1、2、3P125综合运用5、6、7．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计选择题1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A．3B．4C．5D．62．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（）A．1B．C．D．(1)(2)(3)3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）A．12mB．18mC．20mD．24m二、填空题1．如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．2．如图3所示，OA=30B，则的长是的长的_____倍．三、综合提高题1．已知如图所示，所在圆的半径为R，的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．2．如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．答案:一、1．B2．D3．D二、1．45°R2．3三、1．连结OD、O′C，则O′在OD上由=R，解得：∠AOB=60°，由Rt△OO′C解得⊙O′的半径r=R，所以⊙O′的周长为2r=R．2．⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20cm，4cm，4cm，可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm，所以OA=8cm，OB=12cm，因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，所以⊙A滚动回原位置经过距离为2×8=16=4×4，而⊙B滚动回原位置经过距离为2×12=24=4×6．因此，与原题意相符．3．设屏幕被着色面积为S，则S=S△ABD+S扇形BDD`+S△BC`D`=S矩形ABCD+S扇形BDD`，连结BD′，在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′=AD=，∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，∴S=·22+1·=+．《24.4.1弧长和扇形面积》教案教学目标知识技能掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算.数学思考通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生分析问题、解决问题的能力.解决问题通过扇形面积公式的推导，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力．情感态度在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想．重点弧长,扇形面积公式的导出及应用．难点对图形的分析问题与情境师生行为设计意图活动一：创设情境，引入课题制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图1中虚线的长度），再下料，这就涉及到计算弧长的问题．图图1活动二：思考：试一试问题1：你还记得圆周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角呢？设：圆的半径为，求的圆心角所对的弧长.问题2：你还记得圆面积的计算公式吗？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？的圆心角呢？设：已知⊙O半径为，求的圆心角所对的扇形面积.教师提出问题后，学生认真思考，说明解题的关键是求中心线“展直长度”，但如何求呢？从而引出今天的课题：弧长和扇形面积．教师根据学生已有的知识结构，强调弧、扇形的有关概念．教师引导学生由圆周长入手，推导弧长公式．教师提出问题后，学生认真思考，由中等学生回答：圆周长为，可看作是360°的圆心角所对的弧长；1°的圆心角所对的弧长为；圆心角为n°的弧长是圆心角为1°的弧长的n倍；∴的圆心角所对的弧长为.∴弧长公式为：注：不写度，和180表示的是倍、分关系.教师关注学生对公式的理解程度.教师引导学生类比弧长公式的推导过程，推导出扇形面积公式：（1）圆面积S=πR2，可以看作是360°的圆心角所对的扇形面积；由实际问题引出课题，可激发学生的学习兴趣．在教师的引导下，推出弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，更要学会学习新知识的方法．教会学生用类比的方法研究问题．比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系？活动三：解决问题对于本节开头提出的问题，你能解答吗？活动四：比一比，看谁算得快？练习：1.半径为4，80°的圆心角所对的弧长为；2.扇形的弧长为，半径为3，则其面积为；3.扇形的半径为24，面积为240，则这个扇形的圆心角为；活动五：例题分析如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.012（2）圆心角为1°的扇形的面积=．（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；∴扇形面积公式为.经过观察，学生能够看出：，其中，是扇形的弧长，为半径．学生观察本节开头提出的问题，根据图1中所给的数据，由弧长公式，就可以得出的长：因此所要求的展直长度2×700+1570=2970∴所要求的展直长度约为2970mm.教师提出问题后，学生认真思考，独立完成，看谁最先做好．教师出示例题后，引导学生分析已知条件，教师要关注学生对题目中的有关概念是否清楚，如水面高指的是什么？类比的推出扇形面积公式，并由学生比较两个公式的联系，使学生在学习知识时，明确知识之间的联系，在解题时，根据题目条件，选择适当的公式．数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识．迅速、正确的运用所学公式解题，培养学生良好的学习习惯，训练学生的解题速度．培养学生综合运用知识解题的能力．活动六：理一理学生小结教师归纳布置作业：A组：P122页练习：1，2，P124页习题24.4：1.（1）、（2），2，6，7．B组：P122页练习：1，2，P124页习题24.4：2，3，5，6．经过分析，学生知道了水面高即弧的中点到弦AB的距离．因此想到做辅助线的方法：连接OA、AB，过O作OC⊥AB于点D，交于点C．教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，用实物投影展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价．由学生谈谈本节课学习的体会和收获，各抒己见．教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确．知识：弧长公式；扇形面积公式：．能力：灵活运用公式解决实际问题．数学思想：数形结合思想．学生课下独立完成．教师对学生的作业在批改后及时反馈．B组补充作业：已知：如图，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积．学生在学习新知识的同时要想到学过的知识，在这里就运用了垂径定理．巩固所学知识，达到复习的目的，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，对教学进度和方法进行适当调整，并对有困难的学生给予指导。发展学生的解决实际问题的能力和应用意识.初步探索建立数学模型.让学生畅所欲言，教师了解学生的学习情况，并让学生逐渐的学会总结。检查知识的落实性，以便发现问题和及时解决问题。继续培养学生的探究意识和学习上持之以恒的精神.《24．4．1弧长及扇形面积》导学案姓名：班级：组别：评定等级【自主学习】（一）复习巩固：1．圆与圆的五种位置关系：、、、、.2.已知两圆的半径分别3cm和2cm，若两圆没有公共点，则圆心距d的取值范围为（）A.d＞5或d＜1B.d＞5C.d＜1D.1＜d＜5（二）新知导学1.弧长计算公式在半径为R的圆中，n0的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l=2.扇形面积计算公式①定义：叫做扇形.②在半径为R的圆中，圆心角为n0的扇形面积的计算公式为：S扇形=由弧长l=和S扇形=