中考数学总复习《阿氏圆模型》专项提升练习题附答案

第1页（共1页）中考数学总复习《阿氏圆模型》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【技巧总结】计算PA+k.PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PA+k.PB的值最小解决步骤具体如下：1如图将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB2．计算出这两条线段的长度比OP:OB=K3在oB上取一点C，使得OC:OP=k即构造△POM∽△BOP则PC:PB＝k.PC=kPB.4.PA+kPB=PA+PC≥AC当A、P、C三点共线时可得最小值1．如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C． D．2．如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝9BC＝4以点C为圆心3为半径做⊙C分别交ACBC于DE两点点P是⊙C上一个动点则PA+PB的最小值为．3．如图在平面直角坐标系xOy中A（6﹣1）M（44）以M为圆心2为半径画圆O为原点P是⊙M上一动点则PO+2PA的最小值为．4．如图半圆的半径为1AB为直径AC、BD为切线AC＝1BD＝2P为弧AB上一动点则PC+PD的最小值为．5．如图四边形ABCD为边长为4的正方形⊙B的半径为2P是⊙B上一动点则PD+PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．6．如图在△ABC中∠B＝90°AB＝CB＝2以B为圆心作圆B与AC相切点P为圆B上任一动点则PA+的最小值是．7．如图边长为4的正方形内切圆记为圆OP为圆O上一动点则PA+PB的最小值为．8．如图等边△ABC的边长6内切圆记为⊙OP是⊙O上一动点则2PB+PC的最小值为．9．如图在平面直角坐标系中点A（40）B（44）点P在半径为2的圆O上运动则AP+BP的最小值是．10．如图已知菱形ABCD的边长为4∠B＝60°⊙B的半径为2P为圆B上一动点则PD+PC的最小值是．11．如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°CB＝4CA＝6圆C的半径为2点P为圆上一动点连接APBP．求①AP+BP；②2AP+BP；③AP+BP；④AP+3BP的最小值．12．如图Rt△ABC∠ACB＝90°AC＝BC＝2以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动且CD＝连接AFBD（1）求证：△BDC≌△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中BD+AD的最小值．13．如图在Rt△ABC中∠A＝30°AC＝8以C为圆心4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点点D在AC上且CD＝2试说明△FCD∽△ACF；（3）点E是AB边上任意一点在（2）的情况下试求出EF+FA的最小值．

参考答案与试题解析1．如图AC是圆O的直径AC＝4弧BA＝120°点D是弦AB上的一个动点那么OD+BD的最小值为（）A．B． C． D．【解答】解：∵的度数为120°∴∠C＝60°∵AC是直径∴∠ABC＝90°∴∠A＝30°作BK∥CADE⊥BK于EOM⊥BK于M连接OB．∵BK∥AC∴∠DBE＝∠BAC＝30°在Rt△DBE中DE＝BD∴OD+BD＝OD+DE根据垂线段最短可知当点E与M重合时OD+BD的值最小最小值为OM∵∠BAO＝∠ABO＝30°∴∠OBM＝60°在Rt△OBM中∵OB＝2∠OBM＝60°∴OM＝OB•sin60°＝∴DB+OD的最小值为故选：B．2．如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝9BC＝4以点C为圆心3为半径做⊙C分别交ACBC于DE两点点P是⊙C上一个动点则PA+PB的最小值为．【解答】解：在AC上截取CQ＝1连接CPPQBQ∵AC＝9CP＝3∴＝∵CP＝3CQ＝1∴＝∴△ACP∽△PCQ∴PQ＝AP∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ∴当B、Q、P三点共线时PA+PB的值最小在Rt△BCQ中BC＝4CQ＝1∴QB＝∴PA+PB的最小值故答案为：．3．如图在平面直角坐标系xOy中A（6﹣1）M（44）以M为圆心2为半径画圆O为原点P是⊙M上一动点则PO+2PA的最小值为10．【解答】解：连接OM在OM上截取MN使得MN＝连接PNAN．∵M（44）∴OM＝＝4∵PM＝2MN＝∴PM2＝MN•MO∴＝∵∠PMN＝∠OMP∴△PMN∽△OMP∴＝＝∴PN＝OP∵N（33）A（6﹣1）∴AN＝＝5∴OP+2OA＝2（OP+PA）＝2（PN+PA）∵PN+PA≥AN∴PN+PA≥5∴OP+2OA≥10∴OP+2OA的最小值为10故答案为：10．4．如图半圆的半径为1AB为直径AC、BD为切线AC＝1BD＝2P为弧AB上一动点则PC+PD的最小值为．【解答】解：∵AC是⊙O的切线∴∠OAC＝90°∴OC＝＝取OC的中点I连接PIDI∵∴又∠O是公共角∴△POI∽△COP∴＝＝∴PI＝PC∴PC+PD＝PI+PD∴当D、P、I在一条直线上时PC+PD最小＝DI作IF⊥AB于FIE⊥BD于E∵BE＝IF＝AC＝∴DE＝BD﹣BE＝IE＝BF＝OB+OF＝∴DI＝＝∴PC+PD最小＝DI＝．故答案是：．5．如图四边形ABCD为边长为4的正方形⊙B的半径为2P是⊙B上一动点则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图连接PB、在BC上取一点E使得BE＝1．∵PB2＝4BE•BC＝4∴PB2＝BE•BC∴＝∵∠PBE＝∠CBP∴△PBE∽△CBP∴＝＝∴PD+PC＝PD+PE∵PE+PD≥DE在Rt△DCE中DE＝＝5∴PD+PC的最小值为5．②连接DBPB在BD上取一点E使得BE＝连接EC作EF⊥BC于F．∵PB2＝4BE•BD＝×4＝4∴BP2＝BE•BD∴＝∵∠PBE＝∠PBD∴△PBE∽△DBP∴＝＝∴PE＝PD∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC）∵PE+PC≥EC在Rt△EFC中EF＝FC＝∴EC＝∴PD+4PC的最小值为10．故答案为510．6．如图在△ABC中∠B＝90°AB＝CB＝2以B为圆心作圆B与AC相切点P为圆B上任一动点则PA+的最小值是．【解答】解：作BH⊥AC于H取BC的中点D连接PD如图∵AC为切线∴BH为⊙B的半径∵∠B＝90°AB＝CB＝2∴AC＝BA＝2∴BH＝AC＝∴BP＝∵＝＝＝而∠PBD＝∠CBP∴△BPD∽△BCP∴＝＝∴PD＝PC∴PA+PC＝PA+PD而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号）而AD＝＝∴PA+PD的最小值为即PA+的最小值为．故答案为．7．如图边长为4的正方形内切圆记为圆OP为圆O上一动点则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为rOP＝r＝BC＝2OB＝r＝2取OB的中点I连接PI∴OI＝IB＝∵∴∠O是公共角∴△BOP∽△POI∴∴PI＝PB∴AP+PB＝AP+PI∴当A、P、I在一条直线上时AP+PB最小作IE⊥AB于E∵∠ABO＝45°∴IE＝BE＝BI＝1∴AE＝AB﹣BE＝3∴AI＝＝∴AP+PB最小值＝AI＝∵PA+PB＝（PA+PB）∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．8．如图等边△ABC的边长6内切圆记为⊙OP是⊙O上一动点则2PB+PC的最小值为3．【解答】解：如图连接OC交⊙O于点D取OD的中点F作OE⊥BC于EFG⊥BC于G∴＝＝∵∠FOP＝∠POC∴△OPF∽△OCP∴CP＝2PF∴2PB+PC＝2（PC+PB）＝2（PB+PF）∵PB+PF≥BF∴PB+PF的最小值为BF∵BC＝6∠OCE＝30°∴CE＝3OE＝OC＝2∴CF＝∴GF＝CG＝∴BG＝BC﹣CG＝由勾股定理得BF＝∴2PB+PC的最小值为2BF＝3．故答案为：3．9．如图在平面直角坐标系中点A（40）B（44）点P在半径为2的圆O上运动则AP+BP的最小值是5．【解答】解：如图取点K（10）连接OP、PK、BK．∵OP＝2OA＝4OK＝1∴＝＝∵∠POK＝∠AOP∴△POK∽△AOP∴＝＝∴PK＝PA∴PB+PA＝PB+PK在△PBK中PB+PK≥BK∴PB+PA＝PB+PK的最小值为BK的长∵B（44）K（10）∴BK＝＝5．故答案为5．10．如图已知菱形ABCD的边长为4∠B＝60°⊙B的半径为2P为圆B上一动点则PD+PC的最小值是．【解答】解：连接BP在BC上取点E使BE＝1∵菱形ABCD的边长为4∴BC＝CD＝4AB∥CD∵∠PBE＝∠CBP∴△PBE∽△CBP∴PE＝PC∴当点D、P、E共线时PD+PC的最小值为DE的长作DH⊥BC交BC的延长线于H∵∠B＝60°∴∠DCH＝60°∴CH＝2DH＝2在Rt△DEH中由勾股定理得：DE＝∴PD+PC的最小值为故答案为：．11．如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°CB＝4CA＝6圆C的半径为2点P为圆上一动点连接APBP．求①AP+BP；②2AP+BP；③AP+BP；④AP+3BP的最小值．【解答】解：①取CE的中点F连结PFAF∵CF＝1CB＝4CP＝2∴∵∠PCF＝∠BCP∴△PCF∽△BCP∴∴∴＝AP+PF当P在AF上时AP+PF最小最小值为AF的长＝的最小值为②∵2AP+BP＝2∴2AP+BP的最小值为③在DC取一点G使CG＝∵∴∵∠ACP＝∠PCG∴△CGP∽△CPA∴∴∴＝GP+BP⩾BG当P在BG上BGP+BP＝BG＝＝∴的最小值为④∵∴AP+3BP的最小值为．12．如图Rt△ABC∠ACB＝90°AC＝BC＝2以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动且CD＝连接AFBD（1）求证：△BDC≌△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中∵四边形CDEF是正方形∴CF＝CD∠DCF＝∠ACB＝90°∴∠ACF＝∠DCB∵AC＝CB∴△FCA≌△DCB（SAS）．（2）解：①如图2中当点DE在AB边上时∵AC＝BC＝2∠ACB＝90°∴AB＝2∵CD⊥AB∴AD＝BD＝∴BD+AD＝+1．②如图3中当点EF在边AB上时．BD＝CF＝AD＝＝∴BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DMBM．∵CD＝CM＝1CA＝2∴CD2＝CM•CA∴＝∵∠DCM＝∠ACD∴△DCM∽△ACD∴＝＝∴DM＝AD∴BD+AD＝BD+DM∴当BDM共线时BD+AD的值最小最小值＝＝．13．如图在Rt△ABC中∠A＝30°AC＝8以C为圆心4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点点D在AC上且CD＝2试说明△FCD∽△ACF；（3）点E是AB边上任意一点在（2）的情况下试求出EF+