练习10：空间点、直线、平面之间的位置关系-2023届高三数学二轮复习（含答案）

微专题强化练10空间点、直线、平面之间的位置关系

一、单项选择题

1.（2022・龙岩质检）已知三条直线4,b,c,若"和b是异面直线，6和C是异面直线，那么

直线。和C的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.平行、相交或异面

2.（2022・湖北八市联考）设ɑ,£为两个不同的平面，则”〃夕的一个充要条件可以是（）

A.α内有无数条直线与S平行

B.a,尸垂直于同一个平面

C.α,夕平行于同一条直线

D.α,尸垂直于同一条直线

3.正方体上的点N,P,。是其所在棱的中点，则下列各图中直线与直线尸。是异

面直线的图形是（）

4.（2022•华中师大附中模拟）如图，在正方体/BCQ-45Gz）I中，P是4。的中点，则下列

说法正确的是（）

A.直线P8与直线。IC平行，直线PB_L平面4Clz）

B.直线PB与直线ZC异面，直线P8_L平面NOG8∣

C.直线P5与直线相交，直线PBU平面4δC∣

D.直线尸B与直线4。垂直，直线。8〃平面囱DlC

5.如图，在四边形/88中，AD//BC,AD=AB,NBCD=45。,ZBAD=90o,将△月8。沿

80折起，使平面/8。，平面88,构成三棱锥4一8。，则在三棱锥/一8CD中，下列结

论正确的是（）

A.平面4801.平面48C

B.平面4DC_L平面BZ）C

C.平面48C_L平面8。C

D.平面力。C_L平面48C

6.（2022•中山模拟）如图，在棱长为2的正方体/8CD-小©GOl中，过48且与ZG平行的

平面交BG于点P,则PG等于（）

A.2B.√3C.√2D.1

二、多项选择题

7.（2022•邵阳模拟）如图，在空间四边形/8CD中，E,尸分别为43,4）的中点，G,H分别

在BC,CD上，且BG：GC=DH:HC=\:2,则（）

A.BD〃平面EGHF

B.户H〃平面/8C

C.AC//EGHF

D.直线GE,HF,/C交于一点

8.如图1,已知E为正方形/8CO的边/8的中点，将△£）/E沿边Z）E翻折到aPDE,连接

PC,PB,EC,设厂为PC的中点，连接8尸，如图2,则在翻折的过程中，下列命题正确的

是（）

AEBP

图1图2

A.存在某一翻折位置，使得。E〃平面尸BC

B.在翻折的过程中（点尸不在平面88£内），都有8尸〃平面

C.存在某一翻折位置，使得尸ELCO

D.若PD=CD=PC=4,则三棱锥产一CQE的外接球的表面积为华

三、填空题

9.已知/是平面α,夕外的直线，给出下列三个论断：①IHg②αLff;③K以其中两个

论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：.（用序号表示）

10.三棱锥4一88中，AB=CD=I,过线段BC的中点E作平面E/G”与直线48,CD都

平行，且分别交8。，AD,4C于凡G,H,则四边形£7灯”的周长为.

11.已知三棱台NBC一小％G的上、下底面均为正三角形，AB=I,小8∣=2,侧棱长441=

BBi=CCi,若则此棱台的高为.

12.如图，把边长为。的正方形NBCO沿对角线BO折起，使1,C的距离为“，则异面直线

AC与BD的距离为.

四、解答题

13.（2022•全国乙卷）如图，四面体ZBCz）中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC

的中点.

（1）证明：平面8£D_L平面ZCZ）；

（2）设4B=BD=2,NZC8=60。，点F在8。上，当的面积最小时，求三棱锥下一/BC

的体积.

14.(2022∙黄山模拟)在直角梯形NBCO中，AD∕∕BC,A=^,AD=I,AB=2,BC=3,将梯

形沿中位线EF折起使AELBE,并连接AB,DC得到多面体AEB-DFC,连接DE,BD,

BF.

(1)求证：D∕=∖L平面8ED；

(2)求点E到平面BDF的距离.

参考答案

1.D2.D3.B4.D

5.D［如图所示，因为4D〃8C,ZBAD=90o,AD=AB,

所以四边形NBCZ)为直角梯形.

且NABD=NADB=ZD5C=450.

又因为NBCO=45。，

所以NCDB=90。,即CDLBD

又因为平面力8。_L平面BCD,

平面/8Orl平面BCD=BD,

CDU平面8CΣ>,CDLBD,

所以CQ，平面Z8Z),

若平面Z8C_L平面/8。，那么8U平面/8C,显然不成立，故A错误；

因为CC>_L平面/8。，4BU平面4BD,所以CD_LN8.

又ADHCD=D,AD,COU平面/OC,所以平面/DC

又因为48U平面N8C,所以平面48CJ"平面4OC,故D正确；

因为平面/8。，平面88,过点/作平面BCD的垂线/E,垂足E落在8。上，显然垂线

不在平面/8C内，所以平面48C与平面BDC不垂直，故C错误，同理B也错误.]

6.D[连接/囱，交/由于点。，连接Rh,PB,PQ,如图所示.

因为NG〃平面48P,ZGU平面∕B∣Cι,

且平面/SGrI平面A∖BP=PQ,

所以/G〃尸°,又点。是NBi的中点，所以P是囱G的中点，

所以PeI=I.]

7.AD[因为8G：GC=。"："C,所以GH〃BD.又E,/分别为48,/D的中点，所以

EF//BD,且EF所以EF〃G/7.易知平面EG∕∕F,FV与/C为相交直线，即A

正确，B,C错误；

因为E/7/G为梯形，所以EG与切必相交，设交点为M,因为EGU平面∕8C,FHU平面

ACD,则M是平面Z8C与平面/8的一个交点，所以M∈∕C,即直线GE,//凡/C交于

一点，所以D正确.]

8.BCD[对于A选项，取。C的中点G,连接8G,因为8E〃G。，BE=GD,所以四边

形。EBG为平行四边形，所以。E〃G8,而BG与平面P8C相交，所以。E与平面P8C相

交，故A错误；

对于B选项，连接尸G,则FG〃尸Q,也DE"GB,易证平面BFG〃平面EPD,而BFU平

面BFG,所以BF〃平面PDE,故B选项正确；

对于C选项，因为PELPD,要使得PElCD,则PE_L平面PCD,则PEVPC,而EC=ED,

此时，只需要PC=Pz）即可，故C选项正确；

对于D选项，由PO=CQ=PC=4可知，PEj_平面尸C。，PE=2,

设aPCQ的外接圆半径为r,

则r=募不=竽，设三棱锥P-CDE的外接球半径为R,

x<ollLUUJ

则R2=∕+（年>=（4目2+1=与，所以三棱锥P—CDE的外接球的表面积为4成2=竿，

故D选项正确.]

9.若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）

10.2

11亚

1∙6

解析由已知可得该三棱台为正三棱台，

还原成棱锥如图所示，由于下底边长是上底边长的两倍，

大棱锥的高为棱台的高的两倍，取3C的中点。，SG的中点。，连接尸O,DDi,AD,

AiDl,0,。分别是上、下底面的中心，连接尸O,OOj.

易知尸，三点共线，三点共线.即为该棱台的高.

D,JDlP,O,OiOOi

由正棱台性质可得8CJ_P。，BCLPO,PoCPDl=P,

PO,PAU平面PDMI,

.,.8C_L平面Pz)∕∣,必仁平面PzM1,J.BCVPA∖,

平面故」平面尸

BBICBC=B,BBi,BCuP8∣C∣,448Q,

：.A\PLPD\.

又AB=I,JιSι=2,

PO2=AO×DO=^AD×jAD^AD2,4D=除AB=除,

PO=乎/D=乎=OO1.

12.∣

解析如图，分别取ZC,8。的中点S,E,连接∕E,CE,SB,SD,SE.

则NE_L犯CELBD,

"ECCE=E,AE,CEU平面4CE,则8。_L平面ZCE,则SfLLBD,

AClSD,ACLSB,

又SDCSB=S,SD,SBu平面S8D,

则NUL平面S8。，则SE_L/C,

则SE是异面直线/C与8。的公垂线段，在ASbO中，SB=SO=竽ɑ,BD=巾a,

则SE=Y净)一净)得

则异面直线/C与8。的距离为今

13.(1)证明因为ZO=CD,E为/C的中点，所以ZCLOE

在和488中，因为Zo=C£),NADB=NBDC,DB=DB,所以A4DB四ACDB,

所以BA=BC,

又E为ZC的中点，所以/CL8E.

因为BECDE=E,且BE,DEU平面BED,所以/CL平面BED,

又ZeU平面ACD,

所以平面8£7)_L平面ACD.

(2)解由(1)可知历I=8C,又因为N4C8=60。，AB=2,所以ANBC为边长为2的正三角

形，则∕C=2,

BE=®AE=∖.

因为/0=8,ADLCD,所以△/£>C为等腰直角三角形，

所以。E=L

又8。=2,所以BD2=BE2+DE2,

所以DELLEB.

连接ER图略)，易知当△//C的面积最小时，EF取最小值，

在RtABEO中，E厂的最小值为E到2。的距离，故当△/FC的面积最小时，EF=Rx=

DU

正

2-

由射影定理知EFl=DFFB,

又DF+FB=BD=2,

13

所以。尸=],FB=

方法一因为。E_L4C,DElBE,ACCBE=E,AC,BEU平面”8C,

BF3

所以。E_L平面ABC,则尸到平面ABC的距离d=-^zDE=~:.

bU4

故ΓF-JBC=∣5ΔJBC√=∣××4X∣=^^∙

方法二由(1)知BDVAC,

又BDLEF,ACOEF=E,AC,

EFU平面NCF,

所以3。！.平面ZCG

所以8尸即8到平面ZC户的距离，

故VF-ABC=VB-AFC-^AFC'BF

"C/=WXTX2x乎x'=半«

14.(1)证明由题意知ZO=I,BC=3,AD//EF