2023年九年级中考数学一轮复习-锐角三角函数 练习题

2023年九年级中考数学一轮复习一锐角三角函数练习题

一、单选题

1.（2022.广西贵港.中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CZ）的高度，在点A处测得树顶C的仰角

为45。，在点3处测得树顶C的仰角为60。，且A,B,。三点在同一直线上，若AB=16m,则这棵树CA

的高度是（）

C

A.8(3-√3)mB.8(3+73)mC.ð(ɜ-ʌ/ɜ)mD.6(3+ʌ/ɜ)m

2.（2022・广西贵港・中考真题）如图，在4x4网格正方形中，每个小正方形的边长为1,顶点为格点，若ABC

的顶点均是格点，则COS/84C的值是（）

4

D.

3∙（2022∙广西玉林•中考真题）如图,从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（）

A.NBADB.ZACBC.NBACD.NDAC

4∙（2021∙广西桂林•中考真题）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3,4）,连接OP,则。尸与X轴正方

向所夹锐角。的正弦值是（）

y

Γ

0Γχ

5.（2021・广西百色・中考真题）如图，在。。中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、

B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N.若。B=I0,AB=16,

6.（2021.广西柳州•中考真题）如图所示，点A,B,C对应的刻度分别为1,3,5,将线段C4绕点C按顺

时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCOE的边的上时，记为点A,则此时线段C4扫过的图形的面积为

48

6C

万

--乃

B.3D.3

7.（2021•广西玉林•中考真题）如图，ABC底边BC上的高为九，尸QR底边。R上的高为生，则有（）

A.%=h2B.4<h2C.h↑>h2D.以上都有可能

二、填空题

8.（2022•广西桂林・中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客尸在步道上由点O出发沿OB方向

行走.已知NAOB=30。，MN=2OM=40m,当观景视角NMPN最大时，游客P行走的距离。P是

米.

2

9.（2022・广西贵港•中考真题）如图，在Y43CD中，AD=-AB,ZBAD45°,以点A为圆心、A。为半

径画弧交A3于点E,连接CE,若AB=3五,则图中阴影部分的面积是.

10.（2022・广西河池•中考真题）如图，把边长为1：2的矩形A8C。沿长边BC,40的中点E,F对折，得

2

到四边形ABER点G,H分别在BE,EFk,且BG=E"=WBE=2,AG与交于点O,N为AF的中

点，连接OM作。ON交A8于点M,连接贝IJtan/AMN=.

11.（2021・广西来宾・中考真题）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45。，看楼下荷塘。处的俯角

为60。，已知楼高48为30米，则荷塘的宽8为米.（结果保留根号）

12.（2021・广西贵港•中考真题）如图，在矩形ABCn中，8。是对角线，AELBD,垂足为E,连接CE,

若tanZADB=；,则tanNDEC的值是.

13∙（2021∙广西百色•中考真题）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机.当

无人机飞到点尸处时，与平台中心。点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30。，塔底8点的俯

角为60。，则电视塔的高度为米.

14.（2021•广西梧州•中考真题）如图，正六边形ABCCE尸的周长是24cm,连接这个六边形的各边中点G,

H,K,L,M,N,则六边形GHKLMN的周长是一cm.

三、解答题

15.（2022・广西玉林・中考真题）计算：2022°+√?+-g-sin30。.

16.（2022•广西桂林・中考真题）计算：tan45°-3L

17.（2022・广西贺州•中考真题）计算：在于+1-21+（石-1）°-tan45。.

18.（2021•广西贺州・中考真题）计算：√4+（-l）°+∣Λ∙-2∣-√3tan30o.

19.（2022•广西柳州•中考真题）如图，已知A8是。。的直径，点E是。O上异于A,8的点，点F是即

的中点，连接AE,AF,BF,过点F作只7,AE交AE的延长线于点C,交AB的延长线于点O,ZADC

的平分线。G交A产于点G,交FB于点、H.

（1）求证：Cz）是。。的切线；

⑵求SinNFHG的值；

（3）若GH=4√Σ,HB=I,求。O的直径.

20.（2022•广西桂林•中考真题）如图，AB是0。的直径，点C是圆上的一点，CCAr）于点。，AO交。。

于点凡连接AC,若AC平分ND4B,过点F作FGLAB于点G交AC于点4.

（1）求证：C£＞是。。的切线；

（2）延长AB和。C交于点E,若AE=48E,求CoSND4B的值;

FH

⑶在（2）的条件下，求.的值.

AF

21.（2022∙广西玉林•中考真题）如图，AB是。的直径，C,。都是。上的点，Ao平分/C4B,过点

D作AC的垂线交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.

E

（1）求证：E尸是C。的切线；

⑵若AB=IO,AC=6,求tanND4B的值.

22.（2022•广西贵港•中考真题）如图，在ABC中，∕4C3=90。，点Z）是AB边的中点，点。在AC边上,

。。经过点C且与AB边相切于点E,ΛFAC=-ZBDC.

2

⑴求证：AF是。。的切线；

4

（2）若BC=6,SinB=-,求。。的半径及。。的长.

23.（2022・广西河池,中考真题）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼48的

高度进行测量，从小敏家阳台C测得点4的仰角为33。，测得点8的俯角为45。，已知观测点到地面的高

度CZ）=36m,求居民楼AB的高度（结果保留整数.参考数据：sin33°≈0.55,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65）.

24.（2022广西贺州•中考真题）如图，ΛBC内接于。，AB是直径，延长AB到点E,使得BE=BC=6,

连接EC,且NECB=NC4B,点。是AB上的点，连接A。，CD,且C。交AB于点E

A

⑴求证：EC是。的切线；

（2）若BC平分NEC£>,求AO的长.

25.（2022.广西梧州•中考真题）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察,

搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动,

通过观测数据，计算气球升空的高度A&如图，在平面内，点B,C,。在同一直线上，ΛB1C8垂足为

点B,ZACB=52°,ZADB=60。，CD=200m,求AB的高度.（精确至Ulm）（参考数据：sin52o≈0.79.

cos52o≈0.62,tan52o≈1.28,ʌ/ɜ≈1.73)

26.（2022•广西贺州•中考真题）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府

计划把这片区域改造为公园.现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度A8,

因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部8成一直线的C,D两处地

面上，分别测得烟囱顶部A的仰角N8'C'A=60o,N87X4=30。，同时量得Cz）为60m.问烟囱A3的高度为

多少米？（精确到0.1m,参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）

27.（2021・广西来宾・中考真题）如图①，在ABC中，ADIBC于点O,BC=U,AD=S,80=6点E

是AO上一动点(不与点A,。重合)，在AWC内作矩形EFG”,点尸在OC上，点G,，在AC上,

设DE=X,连接BE.

(1)当矩形EFG”是正方形时，直接写出EF的长；

(2)设一ABE的面积为豆，矩形EFG”的面积为邑，令y=务，求N关于X的函数解析式(不要求写出自

变量X的取值范围)；

(3)如图②，点P(Gb)是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线/分别与X轴正半轴，y轴

正半轴交于M,N两点，求；OMN面积的最小值，并说明理由.

28.(2021.广西梧州•中考真题)如图，在RoACD中，NACD=90。，点。在CD上，作。。，使。。与

AQ相切于点B,Oo与CD交于点E,过点。作Q/〃AC,交AO的延长线于点F,且NoAB=/F.

(2)若0C=3,DE=I,求SnNF的值.

29.(2021・广西贺州・中考真题)如图，在四边形ABCr)中，AD/∕BC,ZC=90o,ZADB=AABD=-ZBDC,

2

DE交BC于点、E,过点E作MLBO,垂足为尸，且EF=EC.

(1)求证：四边形ABED是菱形；

(2)若4)=4,求3皮)的面积.

30.(2021・广西贵港•中考真题)如图，。。是.ABC的外接圆，A。是。。的直径，尸是AO延长线上一点,

连接CC,CF,且/OCF=NCAD

(I)求证：CP是。。的切线；

3

(2)若cos8=AD=2,求尸£)的长.

31.(2021•广西柳州•中考真题)如图,四边形ABCD中,ADMBC,AD工AB,AD=AB=I,DC=#,以4

为圆心，AQ为半径作圆，延长CO交A于点F,延长QA交A于点E,连结BF,交.DE于点G.

(1)求证：BC为:，A的切线；

(2)求COSNEDP的值；

(3)求线段BG的长.

32.(2021・广西河池・中考真题)如图，在Rt4ABC中，ZA=90o,AB=4,AC=3,D,E分别是AB,

BC边上的动点，以为直径的O交BC于点、F.

(1)当4)=0F时，求证：_C4DjCFD；

(2)当△(?££)是等腰三角形且aDE8是直角三角形时，求A。的长.

33.(2021・广西贵港・中考真题)(1)计算:y∕8+(π+2)°+(-1)202'-2cos45；

x-33

⑵解分式方程：Krl=有

34.(2021・广西玉林•中考真题)计算：√i6+(4-Λ-)°+(-l)^'-6sin30o.

35.(2021•广西贺州・中考真题)如图，在RtABC中，ZC=90°,。是AB上的一点，以AO为直径的O

与BC相切于点E,连接AE,DE.

(1)求证：AE平分/BAC；

(2)若NB=30。，求匕CF的值.

DE

36.(2021・广西玉林•中考真题)如图，在四边形ABCO中，对角线AC与8。交于点。，已知OA=OC,

OB=OD,过点0作EF_LB£>,分别交A8、DC于点E,F,连接QE,BF.

(1)求证：四边形OEBF是菱形：

(2)设.ADHEF,AD+AB=↑2,BD=4yβ,求■的长.

37.(2021.广西贺州.中考真题)如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60五海里到达B处，然

后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离.

参考答案:

I.A

【解析】设CC=x,在RrAAOC中，ZA=450,∏TWCD=AD=x,BD=∖6-x,在RrABCO中,

用/8的正切函数值即可求解.

设Cn=X,在RAA。C中，ZA=450,

.*.CD=AD=X,

：.BD=l6-χf

o

在RrABCD中,ZB=60f

.nCD

•∙tanB=-----,

BD

即：7√-=√3,

解得x=8（3-石），

故选A.

本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键.

2.C

【解析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可.

解：过点C作AB的垂线交AB于一点。，如图所示，

：每个小正方形的边长为1,

/.AC=√5,BC=√10,AB=5,

设4短=X,则8O=5-x,

在RlACD中，DC2=AC2-AD2,

在RtZS88中，DC2=BC2-BD2,

：.10-(5-x>=5-χ2,

解得X=2，

,cosNZMC=丝=々=述

ACy[55

故选：C.

本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形.

3.D

【解析】根据俯角的定义可直接得出结果.

解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，

.∙.∕D4C为对应的俯角，

故选D.

题目主要考查对俯角定义的理解，深刻理解俯角的定义是解题关键.

4.D

【解析】作PM，X轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解.

解：作PM_LX轴于点例，

'JP(3,4),

.∙.PM=4,OM=3,

由勾股定理得：0P=5,

..PM4

..sɪnɑ=-----=—,

OP5

故选：D

本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边

与斜边之比.

5.B

【解析】根据尺规作图的作法，可得OM垂直平分AB,在RtAOBN中，利用勾股定理

求出ON,即可解答.

解：根据尺规作图的作法，得：OM垂直平分AB,

即BN=IA8,

2

∖,AB=↑6,

：.BN=116=8,

2

在Rt∕∖OBN中，OB=IO,

；•ON=4OB2-BN2=√102-82=6，

6_3

•∙tan/B=—=

BN8^4

故选：B

本题主要考查了尺规作图一垂直平分线的作法和解直角三角形,解题的关键是熟练掌握垂直

平分线的作法和用勾股定理解直角三角形及求锐角三角函数值∙

6.D

【解析】由题意可知,AC扫过的图形为一个扇形，，半径为4,求出？84C30,?BCA'60,

再根据扇形面积公式求解即可.

解：由图可知：AC=A,C=4,BC=I,

：.sin?BA'C,

A1C42

BA1C30,?BCA'60,

线段C4扫过的图形为扇形，此扇形的半径为C4=4,

•∙S3=/P4=铲，

故选：D.

本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为4

是解决本题的关键.

7.A

【解析】分别过点A作AELBC于点E,P尸，QR于点尸，然后根据图形及三角函数可直接

进行排除选项.

解：分别过点A作AEJ_8C于点E,P尸，0R于点凡如图所示：

NPRF=55°,

：.NC=NPR尸=55。，

oo

.∙.AE=lτy=AC-sinZC=5∙sin55,PF=Λ2=P/?■sinZPRF=5∙sin55,

.∙.Λ,=⅛:

故选A∙

本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数求解问题是解题的关键.

8.20√3

【解析】先证08是。尸的切线，切点为E,当点尸与点E重合时，观景视角NMPN最大,

由直角三角形的性质可求解.

解：如图，取MN的中点E过点/作尸E_LO8于E,以直径MN作。F,

,∙,MN=2OΛ∕=40m,点尸是MN的中点，

MF=FN=20m,OF=40m,

•.'/AOB=30°,EFA.OB,

EF=20m,OE=6EF=20gm,

：.EF=MF,

又；EFLoB,

,OB是。尸的切线，切点为E,

当点P与点E重合时，观景视角NMPN最大，

此时OP=206m,

故答案为：20√3.

本题考查了解直角三角形的应用，切线的判定，直角三角形的性质，证明08是。F的切线

是解题的关键.

9.5√2-ΛT

【解析】过点D作DFLAB于点F,根据等腰直角三角形的性质求得DF,从而求得EB,

最后由S阳影=SDABCD-S嫩/ADE-S“EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三

角形面积公式解题即可.

解：过点D作DF_LAB于点F,

2

VAD=-Aβ,ZBAD45°,AB=30

ΛΛD=-×3√2=2√2

3

ΛDF=ADsin45o=2√2×”2,

2

VAE=AD=2,√2,

ΛEB=AB-AE=3√2-2√2=√2，

.∙.S阳影=SDABCD-S扇淤ADE-SZEBC

=3√2×2-45×7r×^2-iχ√2x2

3602

=5√2-π∙

故答案为：5∖∣2-π■

本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度

较易，掌握相关知识是解题关键.

10.-##0.625

8

【解析诜判断出四边形ABE尸是正方形,进而判断出AABGgABEH,得出NBAG=NEBH,

进而求出NAoB=90。，再判断出4AOB-ABG,求出OA=-^=,OB=-^=,再判断出

&OBM〜&OAN,求出BΛ∕=l,即可求出答案.

解：：点E,F分别是BC,AO的中点，

AF=^ADyBE=^BCf

・・・四边形A3CD是矩形，

o

ΛZA=90,AD//BC,AD=BC9

：.AF=BE=-AD

2f

・•・四边形A8E尸是矩形，

由题意知，AD=2AB,

：.AF=AB.

・•・矩形ABE/是正方形，

：.AB=BE,NABE=/BEF=90。,

•/BG=EH,

:•丛ABG"丛BEH(SAS),

."BAG=NEBH,

：.ZBAG+ZABO=ZEBH+ZABO=ZABG=90o,

・・・ZAOB=90o,

YBG=EH=IBE=2,

；・BE=5,

ΛAF=5,

；•AG=AB1+BG2=√29，

,：AOAB=ΛBAG,ZAOB=ZABG,

：.ΛAOB^∕∖ABG,

.OAOBABOAOB_5

"AB-BG-AG'ππ口5-2^√29

蠢透

OA=OB

,：OMLON,

：.NMoN=90°=NAoB,

：.NBOM=NAON,

VZBAG+ZFAG=90o,ZABO+ZEBH=90o,ZBAG=ZEBH,

JNOBM=/OAN,

ΛΔOBM-ΔOAN,

.OBBM

"^∂A~^N,

；点N是A尸的中点,

.,.AN=LAF=>,

22

10

•√29BM

解得：BM=I,

而2

.".AM=AB-BM=A,

5

/“…rAN25.

tanZAMN=-----=—=-

AM48

故答案为：∙∣

O

此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，勾股定理，求出8M是解本题的关键.

lɪ.30-10√3

【解析】由三角函数分别求出8C、BD,即可得出CZ）的长.

解：由题意知：ZBAC=90o-45o=45o,4ABC是直角三角形,

在HQABC中，tanZBAC=——,A5=30米,

AB

/.BC=AB∙tan45°=30米,

VZBAD=90o-60o=30o,ImZBAD=——

AB

BD=Λβ∙tan30o=30×—=1O√3(米),

3

：.CD=BC-BD=3。一1。6(米)；

故答案为：3O-1O√3.

本题考查了解直角三角形的应用，由三角函数求出BC和BO是解决问题的关键解题的关键.

「I

【解析】过点C作CFL即于点/，易证ΔABE=ACOF(AAS),从而可求出A石=CF,

BE=FD,设则AO=2m根据三角形的面积可求出AE,然后根据锐角三角函数

的定义即可求出答案.

解：如图，过点。作CbJ_B。于点/，设CO=24,

在AABE与ACDF中，

NAEB=ZCFD

ZABE=ZCDF,

AB=CD

:.AABEACDF(AAS),

JAE=CF,BE=FD,

AB1

AE±BD,IanZADB=——=—,

AD2

设A8=cι,则AO=2α,

.*.BD=yf5a9

,

.∙SAABD=ɪBD-AE=ɪAB-ADi

*.AE=CF=a,

5

：.BE=FD=凡,

5

：.EF=BD-2BE=√5«--a=述

55

CF2

ΛtanZDEC==-,

EF3

故答案为：I.

B

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述

知识是解题的关键.

13.20√3

【解析】根据题意可知：OP=I5m,ZAPO=30",ABPO=60°>ABlOP,然后分别

在R/.AP。中在用..BPO中，利用锐角三角函数求解即可.

解：根据题意可知：OP=15zzz,ZAPO=30°,ABPO=60"(ABVOP,

在∕⅛APO中，AO=OP-tanNAPo=15∙tan300=15×—=5√3,

3

在RtBPO中,BO=OP-tanABPO=15×tan60°=15x右=15有，

∙,.AB=Ao+BO=5指+15囱=20氏>

即电视塔的高度为20百米.

故答案为：20∖∣3

本题主要考查了利用特殊角锐角三角函数值解直角三角形,解题的关键是熟练掌握特殊角锐

角三角函数值.

14.12√3.

【解析】如图，连接4瓦过下作口，短于「再求解正六边形的边长为4。%证明

AT=EΓ,ZME=N尸E4=30。，再求解ET,AE,再利用三角形的中位线定理可得答案.

解：如图，连接AE,过F作Fr_LAE于7,

正六边形A8CE>EF的周长是24cm,

.∙.AB=BC=CD=DE=EF=AF=4,ZAFE=ɪ20o,AT=ET,

:.ZFAE=ZFEA=30°,

ELD

AGB

ET=EACoS30o=4×-=2√3,AE=2ET=4√3,

2

M,N分别为EEAF的中点，

MN=LAE=2瓜

2

同理：GN=GH=HK=KL=ML=2√3,

六边形GHKLMN的周长是6x26=126.

故答案为：12√i

本题考查的是三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质，锐角三角函数的

应用，掌握以上知识是解题的关键.

15.3

【解析】先化简每项，再加减计算，即可求解.

原式=1+2+———

22

=3

本题考查零次累，二次根式，绝对值，三角函数；注意先每项正确化简，再加减计算即可求

解.

l6∙I

【解析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数哥的计算方法分别化简，再计算即可.

解：tan45o-3j

=1--

3

_2

-3-

本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值和负整数指数暴的计算方法是解题关键.

17.5

【解析】根据J(-3)2=3,|-21=2,(√5-l)0=l,tan45。=1解答.

解：原式=3+2+1-1

=5

本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、绝对值、零指数幕、特殊角的正切值等知识,

是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

18.北

【解析】根据算术平方根的定义、零指数幕的意义、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、

实数的运算等知识即可完成本题的计算.

原式=2+1+%-2-√5X且

3

=π

本题考查了算术平方根的定义、零指数幕的意义、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、实

数的运算等知识，关键是熟练掌握这些知识.

19.(1)见解析

喈

(3)。。的直径为6石

【解析】(1)连接。F,先证明OF〃/1C,则/OFO=NC=90。，根据切线的判定定理可得

出结论.

(2)先证NZ)FB=/0AF,NADG=NFDG,根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两

个内角之和得出/FGH=NFHG=45。，从而可求出sin/FHG的值.

DFFH

(3)先在△GFH中求出F”的值为4,根据等积法可得==丁云=2,再证△。用SZVMR

DBHB

根据对应边成比例可得经=空=2,又由角平分线的性质可得丝=尝，从而可求出

DFDBDFGF

AG、AF.在RtAAF3中根据勾股定理可求出AB的长，即。。的直径.

(1)

证明：连接OE

9：OA=OF,

：.AOAF=AOFA,

•：EF=FB,

：.ZCAF=ZFAB,

：.ZCAF=ZAFO9

JOF//ACf

λ:ACLCD,

：.OFLCDf

•/。尸是半径，

,C。是。。的切线.

(2)

YAB是直径，

.β.ZAFB=90o,

∙/OFLCDf

o

：.ZOFD=ZAFB=90f

：.NAFo=NDFB,

t:ΛOAF=AOFA,

：.ZDFB=ZOAFf

,.∙GO平分NAoF,

/.ZADG=ZFDG,

,.βNFGH=ZOAF+ZADG,NFHG=ZDFB+ZFDG,

：.ZFGH=NFHG=45。,

.∖sinZF∕7G=sin45°=-

2

(3)

解：过点"作"MLO尸于点M,HNLAD于点N.

：・HM=HN,

SΔDHF:SΔDHB=FH:HB=DF:DB

・・・AFG”是等腰直角三角形，GH=4√2

：・FH=FG=4,

.DF4

,.----=-=Z

DB2

设DB=k,DF=Ih

β

∙./FDB=ZADF9/DFB=ZDAFf

：・XDFBS丛DAF,

C-DF2=DB-DAy

.∖AD=4k,

YGO平分NAQF

.FGDF\

ΛΛ~AG~~AD~2

.∙.AG=8,

•NA尸8=90。，AF=12,FB=6,

.∙.AB=AF2+BF2=√122+622=6√5

∙∙.G)0的直径为6百

本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角

平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

20.⑴见解析

⑵I

⑶T

【解析】(1)如图1,连接。C,根据等腰三角形的性质得到NCAo=NACO,由角平分线

的定义得到/D4C=/OAC,等量代换得到NDAC=/ACO,根据平行线的判定定理得到

AD//0C,由平行线的性质即可得到结论；

(2)设BE=X,则A8=3x,根据平行线的性质得NCOE=ND48,由三角函数定义可得结

论；

(3)证明AAHFs2^ACE,列比例式可解答.

(1)

如图1,连接。C,

图1

'：OA=OC,

：.ZCA0=ZAC0,

∖,ACZDAB,

/OAC=NCMC,

.∖ZDAC=ZACO,

：.AD//0C,

'JCDVAD,

OCLCD,

∙.∙OC是。。的半径,

.∙.CO是。。的切线;

(2)

∖,AE=4BE,OA=O3,

⅛BE=χf贝IJAB=3x,

・・・OC=OB=∖.5χf

,

:AD//0Cf

：.ACOE=ADAB,

・/「erOC.5x

・・∕ΓcoMsRNDAB=cos/COE=∖=---=—3；

OE2.5X5

(3)

由(2)知：OE=25x,OC=1.5x,

・•・.EC=4OE1-OC2=7(2.5X)2-(1.5X)2=2%,

VFGlAB,

.∙.NAG产=90。，

・・・ZAFG+ZMG=90o,

・・•NCoE+NE=90°,ZCOE=ZDAB9

,/E=NAFH,

VZFAH=ZCAEf

J∆AHF^AACEf

.FHCE_2XT

"AF^AE_4^-2,

此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的

性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识.掌握切线的

判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键.

21.(1)见解析

吗

【解析】(1)连接0。，由题意可证OD〃A£,由所，AE,可得EF，。/),即可证得EF是

。。的切线；

(2)连接BC过点C作Cl/1AB于点M,过点。作CNLAB于点M首先根据勾股定理可

求得8C,根据面积可求得CM,再根据勾股定理可求得AM,再根据圆周角定理可证得

△CAMs^DON,即可求得ON、ON的长，据此即可解答.

(1)

证明：如图：连接。。，

E

OA=OD,

：.AOAD=AODA,

又AD平分NBAC,

.∙.ZOAD=ZCAD=-ZBAC,

2

：.ZODA-ZCAD,

:.OD//AE,

又EFLAE,

LODLEF,

是。。的半径，

EF是C)O的切线；

(2)

解：如图：连接BC,过点C作，四于点M,过点。作CNLAS于点N,

E

.∙.ZAMC=NOA©=90°,

AB是。。的直径，

.∙.ZACB=90°,

.∙.BC=y]AB2-AC2=√102-62=8，

.-ACBC=-ABCM,

22

.∙.6×8=10CM,

.∙.CM=—,

5

:.AM=y/AC2-CM2=^62-^y^∣=y»

ZDON=2ZDAB9ZCAM=2ZDAB9

"CAM=QON,

.∖∕XCAMs∕∖DON,

.ACCMAM

'~OD~~DN~~ONJ

AB是。。的直径，AB=1O,

OD=OA=',

2418

.∙.”工=五，

5DNON

.∙.DN=4,ON=3,

:.AN=Ao+QN=5+3=8,

小…DN41

.∙.tan/DAB==-=-.

AN82

本题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，圆的切线的判定，圆周角定理，勾股定

理，相似三角形的判定及性质，求角的正切值，作出辅助线是解决本题的关键.

22.(1)见解析

(2)r=3,OZ)=√10

【解析】(1)作CW∙LE4,垂足为“，连接OE,先证明AC是NMB的平分线，然后由切

线的判定定理进行证明，即可得到结论成立；

(2)设AC=4x,AB=5x,由勾股定理可求AC=8,AB=10,设。的半径为r,然后证明

RtAOESRfABC,结合勾股定理即可求出答案.

(I)

证明：如图，作OHLE4,垂足为“，连接OE,

.∙.ZCAD=ZACD9

•：ZBDC=ZCAD+ZACD=2ZCADf

又∙.∙ZFAC=-ZBDC,

2

：.ABDC=IAFAC,

：.ZFAC=ZCAB,即AC是NaW的平分线，

∙.∙0在AC上，。与4?相切于点E,

ΛOElAB,且OE是：。的半径，

=AC平分N∕¾8,OH±AF,

.∙.OH=OE,OH是,0的半径，

Λf■是。的切线.

(2)

ΔΓ,4

解：如(1)图，：在RIABCΦ,ZACB=90o,BC=6,sinB=—=-,

AB5

可设AC=4x,A8=5x,

Λ(5X)2-(4X)2=62,X=2,

则AC=8,A8=10,

设。的半径为八则OC=OE=L

o

VZACB=ZAEO=909ZCAB=ZEAO

：.RLAOESRABC,

.OEBCπnr6ElC

AOAB8-rIO

在MZkAOE中，A0=5,OE=3,

由勾股定理得AE=4,又=

2

：,DE=I,

在用ZXQD石中，由勾股定理得：OD=M.

本题考查了三角函数，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解

题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明.

23.59m

【解析】过点C作CE,A8于点E,则∕4EC=∕BEC=9(Γ,先证明四边形8EC。是矩形，

BE=CO=36m,在RtABCE中，NBCE=45。,BE=CE=CD=36m,在RtZkACE中，ZACE

=33。，CE=36m,求得Afi⅛23.4m,进而得到居民楼AB的高度.

解：如图，过点C作CE,AB于点E,则N4EC=NBEC=90。，

A

□

C/

□,<33；□

□√45βE□

□□

□□

□□

DB

由题意可知NCOB=/£>8E=90。,

・•・四边形BEC。是矩形,

♦∙8E=CD=36m,

由题意得，CD=36m,NBCE=45。,NACE=33。,

在RtABCE中，NBCE=45。，

二NEBC=90°-ZBCE=45°,

.∖ZEBC=ZBCE,

...BE=CE=CO=36m,

在RtAACE中，NACE=33。，CE=36m,

.∙.AE=CE∙tan33°≈23.4m,

ΛΛB=AE+BE=23.4+36=59,4≈59(m).

答：居民楼AB的高度约为59m.

此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题,熟练掌握直角三角形的边角关系是解题

的关键.

24.(1)详见解析；

⑵66

【解析】(1)连接0C,证明NoCE=90。即可;

(2)先证明出COLAB,再利用直角三角形的性质和三角函数分别求出NCAZ)和b后即

可求出4。的值.

(1)

证明：连接OC

OA=OC9

:.ZCAB=ZACO.

ZECB=ZCABf

ZECB=ZACO.

.∙.AB是。的直径，

ZACδ=90o.

.∙.ZACO+NOCB=90。.

・•.NECB+NOCB=90。，BPOCLEC.

又OC是。的半径，

.•.EC是。的切线.

(2)

解：BC平分NECD,

.∖ZBCD=ZECB.

乙BCD=4BAD,

.∙.ZECB=ZBAD.

又ZECB=ZCAB9

:.ZBAD=ZCAB.

又，AB是。的直径，

.∙.ABLDC.

在mFCE中，

BE=BC,

∙∙.ZE=NECB.

・..ZE=NECB=ZBCF=30°.

在RjBC/中，BC=6,NBGF=30。，

6X¥=3G

:.CF=BCcoSNBCF=

ABlCD,AB是：。的直径,

.∙.DF=CF=36.

在RtAOf中，ADAF=ZBCF=30°,

.rιDF3√3,r-

..AD=---------=——=6√3

SinZDAFɪ

2

本题考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、垂径定理的推论、三角函数等知识，解题关

键是连半径构造或证明直角三角形等，主要运用了转化的思想方法.

25.984m

【解析】设AB=Xm,分别在HfAABC和放△43。中求出BC==高，BD=X言,然后根据

BC=CD+BD,构建关于JV的方程即可求解.

解：设AB=Xrn,

在Rr△ABC中，NACB=52。，

.A3XX

・・BC--------=-----≈---,

tanZACBtan52°1.28

o

在RfZiABO中，ZADB=60f

XX

...BnrDʌ=-------=-----≈---,

tanZADBtan6001.73

又∙.Pr>=200m,BC=CD+BD,

：.—=200+—,

1.281.73

解得κ984,

答：AB的高度约为984m.

本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键.

26.53.2m

【解析】设C®=Xm,得AB，=&,AB'=-(60+x),得方程√L;=3(60+x),解出

33

X,即求出AB的长.

设C'B'=xm,

在RL4C'B'中，ZACB1=60°

AR,

tan60°=-----,得AB,=∖∣3x.

X

在RtADE中，ZADfB,=30°

tan30o=-^-,得A*=且(6O+x).

60+x3

:.>∕3x=-(60+x).

解方程，得x=30.

.∙.AB=AB,+BB,=√3×30+1.2≈53.2(m).

答：烟囱48的高度为53.2m.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直

角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法.

27.(1)期；(2)y=-;(3)6

3X

【解析】(1)直接根据等腰直角三角形性质及正方形性质可以得出：EFΛAC,进一步计

算即可；

(2)先根据等腰直角三角形以及直角三角形得出S∣=gχ(8-x)χ6=3(8-x),

S,=>∕∑r∙立√8-x)=x(8-x),代入y=3^化简即可；

(3)设/：y=kx+b(k<O),则M(-g,O),N(O∕),当AOMN面积的最小时，两个函数图像

K

仅有一个交点，列出.OMN面积的表达式求解即可.

解：(1)根据题意：可知ΔAOC,ΔA"E,ACGEAEOF

均为等腰直角三角形，则EF=FG=GC=HG=AH=^AC,

VBC=14,AD=8,BD=6,

.∖DC=8,

ΛΛC=8>∕2，

・S8√∑

3

(2)V四边形ErGH为矩形，

，EF//ACyEHLAC,

J/EFD=/C=45。,

•：DE=χf

DFr-

・•・在心ZXDEF中，EF=---------=√2x,

sin45°

β

..AE=S-χf

√2

£7/=AFsin45(8-x),

2

•：S2=EF.EH,

∙∙S2=y∕2,x∙~~~(8—x)=x(8—x)>

'.'S.=-AE.BD,

2

S,='χ(8-X)X6=3(8-x),

2

.y=LTB

9

52x(S-x)

.3

・・y=-；

X

(3)由(2)得P在y=3上，

X

b

设/：y=kx+b(k<O),则M(-：,O),N(O,与，

κ

当，OMN面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点,

3

令一=kx+b,得收+法一3=0,

X

贝IJA="+12X=(),/=-nk,

；•SOMN=；OM.ON,

本题主要考查正方形性质，矩形的性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，反比例函数与一

次函数综合问题，能够根据题意列出相应的方程是解决本题的关键.

28.(1)见详解：(2)ɪ.

【解析】(1)由题意，先证明OA是NBAC的角平分线，然后得至UBo=C0,即可得到结论

成立：

(2)由题意，先求出BO=4,OD=5,然后利用勾股定理求出AB=4C=6,AD=IO,结合

直角三角形ODF,即可求出rm/尸的值.

解：⑴'JDF∕∕AC,

：.ZCAO=ZFt

,：ZOAB=ZFt

：.ACAO-AOAB1

・・・OA是N84C的角平分线，

TA。是。。的切线，

o

・・・ZABO=ZACO=90f

：.BO=CO,

XVAC±OC,

,AC是。。的切线；

(2)由题意，

VOC=3,OE=2,

Λ0D=5,0B=3,CD=Sf

；・BD=N守一寸=4,

由切线长定理，则AB=AG

设AB=AC=X,

在直角三角形ACZ)中，由勾股定理，则

AC2+CD2