广东省高三上学期元月期末统一调研测试数学试卷

绝密★启用前2024年广东省高三年级元月统一调研测试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知数列为公差不为0的等差数列，若，，成等比数列，则（）A.1 B. C.2 D.7.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，照点为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3个数之和是5的倍数的概率是（）A. B. C. D.8.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在上，且，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B. C. D.10.过抛物线：的焦点作直线交于，两点，则（）A.的准线方程为B.以为直径的圆与的准线相切C.若，则线段中点的横坐标为D.若，则直线有且只有一条11.已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则A.的图象关于中心对称 B.是周期函数C.在上单调递减 D.12.如图，为圆锥底面的直径，，点是圆上异于，的动点，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面相切），点是球与圆锥侧面的交线上的动点，则下列结论正确的是（）A.若，三棱锥体积的最大值为8B.若，平面与底面所成角的取值范围为C.若，内切球的表面积为D.若，的最大值为4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则______.14.已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围为______.15.动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为______.16.已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）学校为了让学生的学习与活动两不误，在延时课开设篮球、书法两项活动，为了了解学生的选择意向，随机调查了部分同学，得到如下列联表.性别选择篮球选择书法男生4010女生2525（1）根据上表，分别估计该校男、女生选择篮球的概率；（2）试根据小概率值的独立性检验，分析性别与选择意向是否有关联.附：，其中.0.050.0250.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82818.（12分）已知中，角，，所对的边分别为，，，，且.（1）求角的大小；（2）若，点在边上，且平分，求的长度.19.（12分）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）令，为数列的前项积，证明：.20.（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，点在线段上，.（1）证明：，，，四点共面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.21.（12分）已知双曲线：（，）的左焦点到其渐近线的距离为，点在上.（1）求的标准方程；（2）若直线与交于，（不与点重合）两点，记直线，，的斜率分别为，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直线的方程；若不存在，请说明理由.22.（12分）若函数在