高中数学北师大版必修2第一章7.1简单几何体的侧面积作业

,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形，则该圆锥的表面积是()A.eq\f(9,4)π B.eq\f(9,2)πC．9π D.eq\f(27,4)π解析：选D.由已知得该圆锥的底面半径是eq\f(3,2)，母线长为3，因此其底面面积S1＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4)π，侧面积S2＝π×eq\f(3,2)×3＝eq\f(9,2)π，故其表面积为S＝S1＋S2＝eq\f(27,4)π，故选D.2．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是()A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4解析：选B.设圆柱的底面半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧面积＝2πrl，S表面积＝2πr2＋2πrl，所以S侧面积∶S表面积＝2πrl∶(2πr2＋2πrl)＝2∶3，故选B.3．正三棱锥的底面边长为a，高为eq\f(\r(6),6)a，则三棱锥的侧面积等于()A.eq\f(3,4)a2 B.eq\f(3,2)a2C.eq\f(3\r(3),4)a2 D.eq\f(3\r(3),2)a2解析：选A.如图所示，VO＝eq\f(\r(6),6)a，OA＝eq\f(a,2)·eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),6)a，所以VA＝eq\f(1,2)a，所以S侧＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(1,2)a＝eq\f(3,4)a2，故选A.4．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为()A．8＋eq\r(5) B．5＋eq\r(5)C．5＋2eq\r(5) D．4＋eq\r(5)解析：选B.由三视图可知该几何体是一个直四棱柱，底面是一个直角梯形，不垂直于底边的腰长为eq\r(（2－1）2＋22)＝eq\r(5)，于是侧面积S侧＝(1＋2＋2＋eq\r(5))×1＝5＋eq\r(5).5.如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的点B处的食物．当圆柱的高等于12cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是()A．12cm B.eq\r(15π)cmC.eq\r(144＋9π2)cm D．18cm解析：选C.如图所示，在圆柱的侧面展开图中，BC的长为底面圆周长的一半，即BC＝eq\f(1,2)×2π×3＝3π，蚂蚁所走路程为AB＝eq\r(122＋（3π）2)＝eq\r(144＋9π2)cm.所以蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是eq\r(144＋9π2)cm.6．已知圆柱的侧面积为S，底面周长为c，则圆柱的母线长为________．解析：设圆柱的母线长为l，则S＝cl，所以l＝eq\f(S,c).答案：eq\f(S,c)7．已知正四棱台两底面边长分别为4cm，8cm，侧棱长为8cm，则它的侧面积为________cm2.解析：作出正四棱台的一个侧面如图，设E，F分别为AD，BC的中点，过D作DG⊥BC于点G.由题知AD＝4cm，BC＝8cm，CD＝8cm，得DE＝2cm，FC＝4cm，解得GC＝2cm，在Rt△DGC中，DG＝eq\r(82－22)＝2eq\r(15)(cm)，即斜高为2eq\r(15)cm，所以所求侧面积为eq\f(1,2)×(16＋32)×2eq\r(15)＝48eq\r(15)(cm2)．答案：48eq\r(15)8．如图，在一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形，根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是________．解析：如图，该几何体为底面为等腰直角三角形的直棱柱．由图知AB＝AC，BC＝2eq\r(2)，AB⊥AC.所以S表＝2·eq\f(AB·AC,2)＋2×2×2＋2×2eq\r(2)＝12＋4eq\r(2).答案：12＋4eq\r(2)9．一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积．解：由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是长方体，上面是圆锥的简单组合体，长方体底面长为3，宽为2，高为1，圆锥底面半径为1高为3，母线长为eq\r(10)，表面积为：S＝πrl＋2(2×1＋2×3＋1×3)－πr2＝π×1×eq\r(10)＋22－π＝22＋(eq\r(10)－1)π.10．已知正三棱锥V­ABC的主视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2eq\r(3)，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图(如图)，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2eq\r(3).取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，有VD＝eq\r(VB2－BD2)＝eq\r(42－（\r(3)）2)＝eq\r(13)，则S△VBC＝eq\f(1,2)×VD×BC＝eq\f(1,2)×eq\r(13)×2eq\r(3)＝eq\r(39)，S△ABC＝eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，所以，三棱锥V­ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3eq\r(39)＋3eq\r(3)＝3(eq\r(39)＋eq\r(3))．[B.能力提升]1．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．(1＋eq\r(10))π B.eq\f(1＋\r(10),2)πC．3＋eq\f(1＋\r(10),2)π D．6＋eq\f(1＋\r(10),2)π解析：选C.由三视图可知该几何体是一个圆锥的一半，圆锥的底面半径等于1，高为3，从而其母线长为eq\r(10)，其表面积应该是圆锥侧面积的一半加上轴截面面积再加上底面面积的一半，即S＝π×1×eq\r(10)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×2×3＋eq\f(1,2)×π×12＝3＋eq\f(1＋\r(10),2)π.2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：选B.设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为6a2.三棱锥D1­AB1C是棱长为eq\r(2)a的正四面体．Seq\s\do5(D1­AB1C表)＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，所以eq\f(Seq\s\do5(D1­AB1C表),S正方体表)＝eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(\r(3),3).3．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．解析：S圆锥侧＝π×a×eq\r(2)a＝eq\r(2)πa2，S圆柱侧＝2π×a×2a＝4πa2，S底面＝πa2，所以S表＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S底面＝5πa2＋eq\r(2)πa2＝(5＋eq\r(2))πa2.答案：(5＋eq\r(2))πa24．一个正四棱台上、下两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面面积之和，则这个棱台的高为________．解析：如图，设O1、O分别为棱台上、下底面中心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1O、M1M、O1M1、OM，则M1M为斜高．过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1，S侧＝4×eq\f(1,2)(m＋n)·M1M，S上底＋S下底＝m2＋n2.由已知得2(m＋n)M1M＝m2＋n2，所以M1M＝eq\f(m2＋n2,2（m＋n）).在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝eq\f(1,2)(n－m)，所以M1H＝O1O＝eq\r(M1M2－MH2)＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m2＋n2,2（m＋n）)))\s\up12(2)－\f(1,4)（m－n）2)＝eq\f(mn,m＋n).答案：eq\f(mn,m＋n)5．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．解：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，eq\r(2)，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．所以S表＝2S下＋S侧＝2×22＋4×[22＋(eq\r(2))2＋12]＝36.所以该几何体的表面积为36.6．(选做题)如图是某几何体的三视图．(1)你能想象出它的几何结构并画出它的直观图吗？(2)根据三视图的有关数据(单位：mm)，计算这个几何体的表面积．解：(1)由三视图可知这个几何体是由两个圆柱夹一个圆台组成的，其中下面圆柱底面直径为60mm，母线长40mm，中间圆台上、下底直径分别为40mm，60mm，高为20mm，上面圆柱的底面直径为20mm，高为40mm，其直观图如图所示．(2)由三视图可知圆台母线长l＝eq\r(202＋102)＝10eq\r(5)(mm)．所以所求的表面积S＝S下圆柱下底＋S下圆柱侧＋S圆台侧＋(S圆台上底－S上圆柱下底)＋S上圆柱侧＋S上圆柱上底＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60,2)))eq\s\up12(2)＋2π·eq\f(60,2)·40＋π·eq\b