新教材高中数学人教A版学案7-2-1复数的加减运算及其几何意义

7．2复数的四则运算7．2.1复数的加、减运算及其几何意义[目标]1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则；2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．[重点]复数加法与减法的运算法则．[难点]复数加法与减法的几何意义．要点整合夯基础知识点一复数加法与减法的运算法则[填一填]1．运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．加法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1；结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[答一答]1．两个复数的和，差分别是一个确定的复数，那么两个虚数的和，差是否仍为虚数？提示：两个虚数的和，差可能是虚数也可能是实数．2．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．知识点二复数加法与减法的几何意义[填一填]如图，设eq\o(OZ1,\s\up15(→))，eq\o(OZ2,\s\up15(→))分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，则eq\o(OZ1,\s\up15(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(c，d)，由平面向量的坐标运算，得eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(a＋c，b＋d).eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(a－c，b－d)．这说明两个向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))与eq\o(OZ2,\s\up15(→))的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，eq\o(OZ1,\s\up15(→))与eq\o(OZ2,\s\up15(→))的差就是与复数(a－c)＋(b－d)i对应的向量，即图中四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq\o(OZ,\s\up15(→))，与z1－z2对应的向量是eq\o(Z2Z1,\s\up15(→)).[答一答]3．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别是eq\o(OZ1,\s\up15(→))，eq\o(OZ2,\s\up15(→))，那么向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))，eq\o(OZ2,\s\up15(→))的坐标分别是什么？z1＋z2对应的向量的坐标是什么？提示：由复数与平面向量的一一对应可知eq\o(OZ1,\s\up15(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(c，d)，故eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(a＋c，b＋d)．由复数加法的几何意义可知eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))即为z1＋z2对应的向量，故z1＋z2对应的向量的坐标为(a＋b，c＋d)．4．从复数减法的几何意义理解：|z1－z2|表示什么？提示：表示Z1与Z2两点间的距离．5．若a，b，r为实常数，且r>0，则满足|z－(a＋bi)|＝r的复数z在复平面上对应的点的轨迹是什么？提示：是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆.典例讲练破题型类型一复数的加减法运算[例1](1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(4)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)[分析]复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．[解](1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i.(2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i.(3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(51.复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行.2.算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加.3.准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率.[变式训练1]设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(D)A．1－5iB．－2＋9iC．－2－iD．5＋3i解析：∵z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2)＝5＋5i－2i＝5＋3i.类型二复数加减法的几何意义[例2](1)设eq\o(OZ1,\s\up15(→))及eq\o(OZ2,\s\up15(→))分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平面内作出eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→)).(2)设eq\o(OZ1,\s\up15(→))及eq\o(OZ2,\s\up15(→))分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2，并在复平面内作出eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→)).[分析]由复数的几何意义知，复数z1及复数z2所对应的点即分别为Z1和Z2.eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→))就是表示向量eq\o(Z2Z1,\s\up15(→))，而eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))可利用平行四边形法则作出．[解](1)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→))即为eq\o(Z2Z1,\s\up15(→))，如图①所示．(2)z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i.eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))即为eq\o(OZ,\s\up15(→))，如图②所示．1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.[变式训练2]复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2＋i，向量eq\o(BA,\s\up15(→))对应的复数为1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up15(→))对应的复数为3－i，求点C对应的复数．解：∵eq\o(BA,\s\up15(→))对应的复数为1＋2i，eq\o(BC,\s\up15(→))对应的复数为3－i，∴eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))，∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.类型三复数加减法的综合运算[例3]已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．[分析]利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．[解]方法1：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i.∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．如图(1)所示，∴|w|max＝eq\r(41)＋1，|w|min＝eq\r(41)－1.方法2：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝eq\r(41)＋1，|z－3＋4i|min＝eq\r(41)－1.|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离，利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.[变式训练3]已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝eq\r(|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°)＝eq\r(3).课堂达标练经典1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为(C)A．5－3i B．3＋5iC．7－8i D．7－2i解析：(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.2．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量eq\o(OA,\s\up15(→))和eq\o(OB,\s\up15(→))，其中O为坐标原点，则|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝(B)A.eq\r(2) B．2C.eq\r(10) D．4解析：由复数减法的几何意义知，eq\o(AB,\s\up15(→))对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝2.3．已知复数z满足z＋3i－3i2＝3－3i，则z＝(B)A．0 B．－6iC．6 D．6－6i解析：∵z＋3i－3i2＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i＋3)＝－6i.4．在复平面内，O是原点，eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(AB,\s\up15(→))对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up15(→))对应的复数为4－4i.解析：∵eq\o(BC,\s\up15(→))＝－(eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→)))，∴eq\o(BC,\s\up15(→))对应的复数为－[(－2＋i)－(3＋2i)＋(1＋5i)]＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i]＝－(－4＋4i)＝4－4i.5．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是7.解析：由|z|＝2知复数z对应的点在圆心为O(0,0)，半径r＝2的圆上．而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.——本课须掌握的两大问题1．对复数加法的理解(1)复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要按照规定进行运算．(2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的．(3)复数