吉林省长春实验中学2023-2024学年高二年级上册数学期末复习检测试题含解析

吉林省长春实验中学2023-2024学年高二上数学期末复习检测试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中5块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块,

在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是O

22

A——B.—

1133

11

C._D.一

36

UUU1i

2.如图在平行六面体ABC。—A4G。中，AC与6D的交点记为设你=a,AB=b，AO=c，则下列向

量中与加4相等的向量是（）

1111

A.a—b7H—cB.aH—bz—c

2222

1111

C.ciH—b7H—cD.ci—b7—c

2222

3.已知向量。=（-1,2,；）,B=（—3,x,2）,则实数苫等于（）

A1B.2

C.-2D.-l

2

r

4.已知双曲线C：/—二=1,则该双曲线的实轴长为（）

2

A.lB.2

C.00.272

5.函数/（幻=/一2犬的图像在点（1,7（I））处的切线方程为（）

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

6.在空间直角坐标系。—孙z中，A3=(L—1,0),5C=(-2,0,1),平面1的一个法向量为根=(—1,0,1),则平面a

与平面ABC夹角的正弦值为()

正

7.圆元2+y2+2%-4y-6=0的圆心和半径分别是。

A.(—1,—2),11B.(-l,2),11

C.(-l,-2),D.(-l,2),

y<x

8.已知x,y满足约束条件<%+y<1,则z=2x+y的最大值为()

y>—1

B.-3

9.等差数列｛4｝的公差为2,若。2，%，。8成等比数列，则$9二()

10.已知数列｛4｝满足。1=1，4+1=4^,则满足%>士的”的最大取值为()

11.若a>b,C>d,则下列不等式中一定正确的是()

A..a+d>b+cB.a-d>b-c

C.ad>bc

12.若数列｛a“｝满足％=2,氏+1=匚法〃wN,则该数列的前2021项的乘积是()

A.-2B.-l

C.2D.l

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

|x-l|,x<0

13.已知函数/(x)={1,则/(/(—3))=

X2,x>Q

14.若点M到点/(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,则点M满足的方程为

15.圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，。为底面中心，加为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆

周).若则点P形成的轨迹的长度为

16.已知双曲线的一条渐近线被圆必+V一4x+2=0所截得的弦长为2,则双曲线的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知a>0,b>0,a+b—1,求证：，+工+

18.(12分)设p：关于x的不等式炉-4x+,wv0有解，q-m2-6m+5<0.

(1)若P为真命题，求实数机的取值范围；

(2)若。八4为假命题，Pvq为真命题，求实数，”的取值范围.

19.(12分)已知椭圆尸：斗+£=1(。〉6〉0)经过点(1,呼0且离心率为个，直线4和4是分别过椭圆厂的左、

右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点4、3和C、D,。为坐标原点，直线A3和直线相交于记直

线OA,OB,OC,OD的斜率分别为kAO,kB0,kco,kD0,且^AO+^BO=kco+kpo

(l)求椭圆F标准方程

(2)是否存在定点P,Q,使得为定值.若存在，请求出P、。的坐标，若不存在，请说明理由

20.(12分)已知函数/(x)=(炉一2%)靖+2ex-e21nx

(1)求/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)求证：/(x)>0

21.(12分)已知圆+y2—8y+12=0,直线/:依+y+2a=0

(1)当直线/与圆C相交，求。的取值范围；

(2)当直线/与圆C相交于A、B两点,且|A4=20时，求直线/的方程

22.（10分）已知椭圆£：三+卫=1（。〉6〉0）过点（0,、历），且离心率e=Y2.

a~厅2

（1）求椭圆£的方程；

9

（2）设直/：%=阳-l（meR）交椭圆E于A,B两点，判断点G（——,0）与以线段A3为直径的圆的位置关系，并说

4

明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】分别求出取到3块月饼都是同种月饼和取到3块月饼都是五仁月饼的种数，再根据概率公式即可得解.

【详解】解：由题意可得，取到3块月饼都是同种月饼有C；+C；=30种情况，

取到3块月饼都是五仁月饼有C；=10种情况，

所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是义=g.

故选：C.

2、B

【解析】利用空间向量的加法和减法法则可得出MB1关于〃、b、c的表达式.

【详解】MBX=MB+BBX=3DB+BBi=；（AB—AD）+e=a+

故选：B.

3、C

【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解

—

【详解】因向量〃=(―1,2,/),b-(3,X,2)9BL.a-Lb9贝！I〃♦/?=3+2x+l=2x+4=0，解得％=—2,

所以实数x等于-2.

故选：C

4、B

【解析】根据给定的双曲线方程直接计算即可作答.

2

【详解】双曲线C：V—L=1的实半轴长。=1,

-2

所以该双曲线的实轴长为2.

故选：B

5、B

【解析】求得函数y=/(x)的导数/'(力，计算出/。)和/'(1)的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

详解】/(X)=X4-2X3,:.f'(x)=^-6x2,.-./(1)=-1,r(l)=-2,

因此，所求切线的方程为y+l=—2(x—1),即y=—2x+l.

故选:B.

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

6、A

【解析】根据给定条件求出平面ABC的法向量，再借助空间向量夹角公式即可计算作答.

—\n-AB-x—y=Q

【详解】设平面ABC的法向量为〃=(%,y,z),贝,令x=l,得〃=(1』,2),

n•BC=-2x+z=0

令平面a与平面A3。夹角为氏则cose=|cos〈w〉|=^^=厂1「=昱，sin£=Jl—cos?6=典,

\m\\n\V2xV666

所以平面a与平面ABC夹角的正弦值为叵.

6

故选：A

7、D

【解析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.

【详解】先化为标准方程可得(x+1)2+(y-2『=11,故圆心为(-1,2),半径为万.

故选：D.

8、A

【解析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可.

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：〈，，可得点A的坐标为：A(2,-l,

x+y=l

据此可知目标函数的最大值为：=2x2—1=3.

故选：A

【点睛】方法点睛：求线性目标函数z=ox+勿(a〃wO)的最值，当匕>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时,

z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距

最小时，z值最大.

9、B

【解析】由题意结合出，%，。8成等比数列，有&2=(&-4)(为+8)即可得。4,进而得到。1、%，即可求S”

【详解】由题意知：a2=a4-4,%=%+8,又生，。4，%成等比数列，

，=(%-4)(%+8),解之得为=8,

・，・〃]=%—3d=8—6=2,则4=。]+(〃—l)d=2〃,

9x(2+2x9-o,

2

故选:B

【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量

1、由a,0,可成等比，即aJ=aman；

2、等差数列前n项和公式S,,="(&*的应用.

10、B

【解析】首先地推公式变形，得二——1=4,-=lf求得数列｛〃〃｝的通项公式后，再解不等式.

an+\ana\

an14a+1

【详解】因为氏+1=7^7,两边取倒数，得———，

4%+1%an

11,1,

整理为：--------=4,—=1,

aa

4+1n\

所以数列是首项为1,公差为4的等差数列,

—=l+(n-l)x4=4n-3,%=--—,

"4〃一3

因为%>二"，即」一〉」-,得4〃—3<29,

294〃-329

解得：1<«<8>nwN*,

所以〃的最大值是7.

故选：B

11、B

【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.

【详解】因为c>d,所以—d>—c,所以a—d>b—c,所以B正确;

a=-l,b=-2,c=2,d=l时，a+d=b+c不满足选项A；

nh

a=O,b=—2,c=—1,d=—2时，ad<be,且一<—，所以不满足选项CD；

dc

故选：B

12、C

【解析】先由数列｛4｝满足q=2,a„+1=-^(ne^,),计算出前5项，可得4+4=4,且6=葭再

利用周期性即可得到答案.

【详解】因为数列｛4｝满足q=2,a"+i=pL("eN*),

1+〃]1+211

所以生=：[3—=二7=—3，同理可得色=一彳，&=彳，。5=2，..

-ciyi—z23

所以数列｛。”｝每四项重复出现，即4+4=4，且=1，

而2021=505x4+1,

所以该数列的前2021项的乘积是q・&•%…a2021=1505x4=2.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解析】利用函数/（%）的解析式由内到外逐层计算可得了（/（-3））的值.

|x-l|,x<0I

【详解】「/(X)=<1>•1•/(-3)=|-3-1|=4,因此,/(/(一3))=/(4)=4万=2.

,九之0

故答案为：2.

14、y2=16x

【解析】根据抛物线的定义可得动点的轨迹方程

【详解】点尸到点E（4,0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1,

所以点P到点网4,0）的距离与到直线％+4=0的距离相等,

所以其轨迹为抛物线，焦点为E（4,0）,准线为x+4=0,

所以方程为y2=16x,

故答案为：y2=16x

15、a

【解析】建立空间直角坐标系

设4(0,—1,0),8(0,1,0),s(o,o,G),M\0,0,,P(x,y,0)

/

于是，AM=0,1,9，MP=x,y,-

2J

因为所以，I0,1,=0

从而，y=j,此为点P形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为=乎

16、冬叵或2

3

【解析】由圆的方程有圆心(2,0),半径为厂=0，讨论双曲线的焦点分别在x或y轴上对应的渐近线方程，根据已

知及弦长与半径、弦心距的几何关系得到双曲线参数的齐次方程，1却可求离心率.

【详解】由题设，圆的标准方程为(％-2)2+黄=2,即圆心(2,0),半径为r=后，

若双曲线为二―1=1时，渐近线为y=±'x且a/>0,

ab-a

2b

,T2b

所以圆心到双曲线渐近线的距离为d=I,=c~7，

j+昌2Ji

Va

4b2

由弦长、弦心距、半径的关系知：d2+l=r2=2,故一^=1,得：cr=3b\又〃+/=02,

a+b

r-r-|,|4tZ~244r2"\/3

所以——=c,故e=」一〉1.

33

22

若双曲线为之—】=1时，渐近线为丁=±3》且a/>0,

abb

2a

,h2〃

所以圆心到双曲线渐近线的距离为d=一一=~

%(铲,+。

由弦长、弦心距、半径的关系知：［2+1=/2=2,故孚F=l,得：廿=3/，又〃+/=。2,

a+b

所以4/二，，故e=2>l.

综上，双曲线的离心率为其।或2.

3

故答案为：2叵或2.

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、见解析

【解析】将。+仁1代入式子，得到1+^=1+",1+-=1+^,进而进行化简，最后通过基本不等式证明问题.

aabb

【详解】：。〉。，b＞0,a+b^l,Al+-=l+^=2+-,l+-=l+^=2+-

aaabbb

讣5[2+[=5+2〔：+*5+4储=9,

当且仅当:哈即好人；

时取“=”

18、(1)(—0,4]

⑵(fl)u(4,可

【解析】根据题意，解出P和g里面机的范围即可求解•其中V—4%+m40有解，则A20・

【小问1详解】

。为真命题时，A=16-4m＞0＞解得

所以的取值范围是(-oo,4]；

【小问2详解】

g为真命题时,BP(m-l)(m-5)＜0,解得1＜加＜5,

所以q为假命题时，加＜1或m＞5,

由(1)知，P为假时加＞4,

因为〃八4为假命题，为真命题，所以p,q为一真一假,

当〃真4假时，相＜4且"相＜1或相＞5",解得加＜1；

m＞4

当P假4真时，vu，解得445；

l＜m＜5

综上：机的取值范围是(-8,1)口(4,5]

(2)存在点尸(0,—1),2(0,1),使得|尸网+回国为定值2a.

【解析】(1)设。=❷，c=t,b=⑸,结合条件即求；

4/724/72

(2)由题可设直线方程，利用韦达定理法可得kA0+kBO=-一六，kco+kD0=—一壬再结合条件可得点

叫一2m?-2

2

加(％»)的轨迹方程为］+必=1,然后利用椭圆的定义即得结论.

【小问1详解】

22

设a=，c=t,b=y/2.t,Z>0>椭圆方程为：§。+2。=1,

椭圆过点

12,〜

犷+犷=1,解得Q1,

22

所以椭圆F的方程是L+匕=1

32

【小问2详解】

由题可得焦点耳，鸟的坐标分别为(-1,0)，。,0),

当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为(—1,0)或(1,0),

当直线45和CD的斜率都存在时，设斜率分别为叫，加2,点4(5,%)，5(%,%)，

直线45为丁二町(x+1),

[22

Ui

联立32,得(2+3若)%2+6若1+3鬲一6=0

y=mi(x+1)

r,6〃/3鬲_6

则%+%=-57藐萩'A>0,

/、

=叫2+^^4班

^AO+^BO=~+~=,1tl+=YY\2-

XX

/XBIAB7I/一2

4tti

同理可得，kc°+kD0=一式3

因为^AO+^BO=k(jo+kDO,

所以n^-[i=n^2'化简得(四"+2)("%-"4)=°

由题意，知，％片加2，所以附?+2=0

设点Af(x,y),贝1]7々=△-,也=二一,

x+1x-1

2

所以上•上+2=0,化简得匕+f=i(xw±l),

x+1x-12''

当直线4或4的斜率不存在时，点M的坐标为(-1,0)或(1,0),也满足此方程

2

所以点在椭圆]+必=1上，

根据椭圆定义可知，存在定点P(O,-1),e(o,i),使得为定值2&

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程，再结合椭圆的定义，从而问题

得到解决.

20、(1)(e2-e)x+y-e2^0；(2)证明见解析

2

【解析】(D求导/(%)=(/—2)/+2e—进而得到尸(l)=e—f(l)=e9写出切线方程；

x

(2)将(%之一2%)e"+2e%-/ln%>0转化为(%一2)，+2e,^g(x)=(x-2)ex+2e,〃(%)=^丁,

xx

利用导数法证明.

【详解】(1)函数解■的定义域是(0,+8)

2

尸(%)=(/—2)/+2e—三，可得/6=e—e?

X

又/⑴=e,

所以/(x)在点(1,7(1))处的切线方程为y-e=(e-e2)(x-l)

整理得(e2-e)x+y-e2=0(或斜截式方程y=(e-e2)x+e2)

(2)(x2-2x)ex+2ex-e2Inx>0

只需证只2-2x)ex+2ex>e21nx

因为％>0,所以不等式等价于(x-2)靖+20〉支皿

x

设g(x)=(x—2)el+2e,h(x)=------

x

g'(x)=(x—l)e",0<x<l,g'(x)<0；x>l,g'(x)>0

所以g(x)在(OH单调递减，在工+8)单调递增

故g(x)1nm=g6=e

又丸T(x)=°Q—Jn"),。<%卜,勿(%］0；x>e,h\x)<0

所以/z(x)在(o,e］单调递增，在［e,+8)单调递减

故"(x)max='(e)=e

因为g(X)mm=丸(X)max且两个函数的最值点不相等

所以有g(x)〉〃(x),原不等式得证

21、(1)卜00,-|}

(2)x-y+2=0或7x-y+14=0

【解析】(1)根据直线与圆的位置关系，利用几何法可得出关于实数。的不等式，由此可解得实数。的取值范围；

(2)根据勾股定理求出圆心到直线/的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于实数。的值，即可求出直线/的

方程.

【小问1详解】

解：圆C的标准方程为f+(y—4)2=4,圆心为。(0,4),半径为r=2,

12(7+4|3

因为直线/与圆。相交，则匕^^<2,解得

V7714

【小问2详解】

解：因为|AB|=2夜，则圆心C到直线/的距离为d=9=&，

由点到直线的距离公式可得1=£竺±=行，整理得a2+8a+7=0,解得a=—1或-7.

力2+1

所以，直线/的方程为X—y+2=0或7x—y+14=0.

22、（1）—+-^=1（2）点C在以四为直径的圆外

42

【解析