第十九讲平行四边形

第十九讲平行四边形禹城市华奥学校中学数学组一、平行四边形1.概念：两组对边分别_____的四边形.2.性质与判定平行基础知识导航性质判定边对边___________(1)两组对边分别_____的四边形(2)两组对边分别_____的四边形(3)一组对边___________的四边形角对角_____两组对角分别_____的四边形对角线对角线_________对角线_________的四边形平行且相等相等平行平行且相等相等相等互相平分互相平分二、三角形的中位线1.三角形的中位线的定义：连接三角形两边_____的线段叫做三角形的中位线.2.三角形的中位线的性质：三角形的中位线_____于三角形的第三边，且等于第三边的_____.中点平行一半考点一：

平行四边形的性质

【例1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别交于点E，F，求证：△AOE≌△COF.【自主解答】∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AO=CO，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF.∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，【规律方法】平行四边形的性质及应用1.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.2.平行四边形的每条对角线，把它分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形.3.在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时，常利用其性质证三角形全等来解决.注意：平行四边形不一定是轴对称图形.【真题专练】1.(2014·河南中考)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB=4，AC=6，则BD的长是()A.8 B.9 C.10 D.11【解析】选C.根据平行四边形的性质，OA=AC=×6=3，AB=4，由勾股定理，得OB=5，∴BD=2OB=2×5=10.2.(2014·福州中考)如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则▱ABCD的周长是

.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，AB=DC，AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC.又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC，∴∠DEC=∠EDC，∴EC=DC.∵AD=6，BE=2，∴EC=DC=4.∴四边形ABCD的周长为2×(AD+DC)=20.答案：203.(2014·贺州中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.(1)求证：BE=DF.(2)求证：AF∥CE.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF.(2)由(1)得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE.∠AEB=∠4，∠3=∠5，AB=CD，

考点二：平行四边形的判定

【例2】如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.求证：(1)△AFD≌△CEB.(2)四边形ABCD是平行四边形.【自主解答】(1)∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF.又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB.(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=CB，∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).【规律方法】平行四边形的三种判定思路1.若已知一组对边平行，可以证明这组对边相等，或另一组对边平行.2.若已知一组对边相等，可以证明这组对边平行，或另一组对边相等.3.若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分.注意：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.【真题专练】1.(2014·益阳中考)如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是()A.AE=CF B.BE=FDC.BF=DE D.∠1=∠2【解析】选A.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加“AE=CF”，则判断△ABE≌△CDF的方法是“SSA”，∴添加的条件不能是AE=CF.2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：

，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).【解析】可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加AD=BC；或根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，添加AB∥DC.答案：答案不唯一；AD=BC(或者AB∥DC)考点三：三角形的中位线

【例3】(2013·鞍山中考)如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是

.【解题探究】解答本题需要思考两个问题：(1)四边形EFGH的边长分别是哪个三角形的中位线？提示：由E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，得到EF，GH，EH，FG分别是△ABC，△BCD，△ABD，△ACD的中位线.(2)怎样求BC的长？提示：在Rt△BCD中，由勾股定理即可求出BC的长.【尝试解答】∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°.在Rt△BCD中，BD=4，CD=3，∴.∵E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，∴EF，GH，EH，FG分别是△ABC，△BCD，△ABD，△ACD的中位线.∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长为EH+HG+GF+FE=AD+BC=6+5=11.答案：11【变式训练】例3中的四边形EFGH是平行四边形吗？并说明理由.【解析】四边形EFGH是平行四边形.理由如下：∵E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，∴EF，GH，EH，FG分别是△ABC，△BCD，△ABD，△ACD的中位线.∴EH∥AD，FG∥AD，∴EH∥FG.同理EF∥GH.∴四边形EFGH是平行四边形.【规律方法】三角形中位线的应用1.已知三角形的中位线，求第三边的长或已知第三边的长求三角形的中位线的长.2.利用三角形的中位线可证明平行.3.三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形周长的比为1∶2，面积的比为1∶4.4.已知图形中线段的中点较多时，常考虑利用三角形中位线的性质定理，确定线段间的位置关系或数量关系.命题新视角平行四边形的探索题

【例】(2013·莱芜中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连接DE.(1)证明DE∥CB.(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形.【审题视点】创新点(1)DE∥CB是四边形DCBE是平行四边形的一个条件(2)先探索AC与AB的数量关系，再以得到的结论作条件，证明四边形DCBE是平行四边形切入点(1)由角的关系——∠EDC+∠DCB=180°，证明DE∥CB(2)逆向思维：若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∴∠DCB+∠B=180°.∵∠DCB=150°，∴∠B=30°.在Rt△ABC中，AC=AB【自主解答】(1)连接CE.∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，∴CE=AB=AE.∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，AD=CD.在△ADE与△CDE中，AD=DC，DE=DE，AE=CE，∴△ADE≌△CDE(S.S.S.)，∴∠ADE=∠CDE=30°.∵∠DCB=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°，∠CDE+∠DCB=180°，∴DE∥CB.(2)当AC=AB时，四边形DCBE是平行四边形.理由如下：在Rt△ABC中，∵AC=AB，∴sinB=，∴∠B=30°.∵∠DCB=150°，∴∠DCB+∠B=180°.∴DC∥BE.由(1)知DE∥CB，∴四边形DCBE是平行四边形.【规律方法】逆向思维——执果索因1.由结论探索条件.把结论当作条件，通过推理得到结论成立的条件.这就是执果索因.2.利用探索得到的条件，证明结论的正确性.综合应用：在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE，CP，已知∠A＝60°.(1)若BC＝8，AB＝6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值；(2)试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？解：(1)延长PE交CD的延长线于F，设AP＝x，△CPE的面积为y，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，∵Rt△APE，∠A＝60°，∴∠PEA＝30°，∴AE＝2x，PE＝3x，∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD，在Rt△DEF中，∠DEF＝∠PEA＝30°，DE＝AD－AE＝8－2x，∴DF＝12DE＝4－x，FC＝DC＋DF＝10－x，∴S△CPE＝12PE·CF，即y＝12×3x×(10－x)＝－32x2＋53x，配方得：y＝－32(x－5)2＋2532，当x＝5时，y有最大值2532，即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是2532

(2)当△CPE≌△CPB时，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝120°，

∴∠CED＝180°－∠AEP－∠PEC＝30°，∵∠ADC＝120°，

∴∠ECD＝∠CED＝180°－120°－30°＝30°，∴DE＝CD，即△ED