高中发展共同体高三上学期期末考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2019－2020学年浙江省高中发展共同体高三（上）期末数学试卷一、选择题1.设集合,,,则(）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，求出，再利用并集的定义可计算出集合.【详解】集合，，,,则，故选：C。【点睛】本题考查补集和并集的混合运算,考查计算能力，属于基础题。2。双曲线的渐近线方程为(）A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程公式直接求解．【详解】双曲线的渐近线方程为:双曲线的渐近线方程为：．故选D．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质,属于基础题．3。已知x,y满足约束条件，则的最小值为（)A。4 B。2 C.1 D。【答案】C【解析】【分析】先作出可行域，平移目标函数，确定取到最小值的点，然后求出点代入目标函数可得.【详解】作出可行域，如图，易得目标函数在点处取到最小值，由得,所以的最小值为，故选C。【点睛】本题主要考查线性规划求解最值问题，主要求解方法是作出可行域，平移目标函数,得到最值点，联立方程组，求出最值点可得最值。4.如果用表示不同直线，表示不同平面，下列叙述正确的是（）A.若，，则 B。若,，，则C。若,，则 D。若，，则【答案】D【解析】【分析】根据线面关系,面面关系逐项检验即可求解【详解】选项A中还有直线n在平面内的情况，故A不正确，选项B中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故B不正确，选项C中还有相交，故C不正确，故选：D．【点睛】本题考查平面的基本性质及推论，本题解题的关键是在推导这种线面位置关系的问题时,注意容易忽略的细节问题．5。在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（）A. B.C。 D。【答案】C【解析】分析】分和两种情况分析这两个函数的单调性，进而得出结论.【详解】当时，函数在上单调递减且是曲线，向下平移一个单位长度得，排除A,B,C，D，没有符合题意的；当时，函数在上单调递增且是曲线，向下平移一个单位长度得，排除B，当时，，排除D.此时，函数（且）在上单调递增，排除A.故选:C。【点睛】本题考查指数型函数和对数函数图象的识别，要注意对底数的取值范围进行分类讨论，考查推理能力,属于基础题。6。已知,则“"是“方程至少有一个负根"的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C。充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分类讨论的正负，利用两根与系数的关系、判别式，进而求解判断即可.【详解】（1）当时，方程变为，有一负根，满足题意;(2）当时，,方程的两根满足，此时有且仅有一个负根，满足题意;（3)当时,由方程的根与系数关系可得,方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件，.综上可得，.因此，“”是“方程至少有一个负根"的必要不充分条件.故选：B。【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查二次方程根的分布问题，考查分类讨论思想的应用,属于中等题.7。已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（）A。， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.【详解】，,，，.,.故选：D.【点睛】本题考查利用等差数列的前项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8。设实数、满足，且.则的最小值是（）A. B。 C。 D。【答案】C【解析】【分析】由已知,分别讨论,两种情况，结合基本不等式分别进行求解后比较可得的最小值。【详解】由题意可知,。当时,，当且仅当且，即，时取等号，当时，,当且仅当且时取等号,综上可得，的最小值。故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,解答的关键就是对的符号进行分类讨论,考查计算能力，属于中等题.9.如图，在三棱台中，是棱上的点，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为,则（)A.， B。，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根据直线与平面所成角的定义可得出与的大小关系,可排除B、D选项，再取，可排除C选项，进而可得出结果.【详解】在三棱台中，是棱上的点，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为.由于是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，故,排除B、D选项;若，由于，则，排除C选项。故选:A.【点睛】本题考查线线角、线面角以及二面角大小的判断,涉及线面角的定义以及二面角范围的应用，结合排除法可快速得出选项,考查推理能力，属于中等题。10.若关于不等式对任意都成立，则实数的取值范围是()A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，,将问题转化为对任意都成立，然后根据选项取，即可排除错误选项。【详解】令，.不等式对任意都成立,即对任意都成立，取，则，此时，排除A。取，则，此时，排除C、D故选:B。【点睛】本题考查利用函数不等式在区间上恒成立求参数，解题时充分利用特殊值法可快速得出正确的选项，考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.二、填空题11.已知是的共轭复数，则___________，___________.【答案】(1）.(2）。【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念求得与的值，则与可求。【详解】，且是的共轭复数,，，则，.故答案为:；.【点睛】本题考查共轭复数与复数模的计算，涉及复数除法法则的应用，考查计算能力,属于基础题.12.已知直线,与圆相交于、两点，若（为坐标原点），则___________，___________。【答案】（1）.(2）.【解析】【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，可判断出是等边三角形，可得出，然后利用圆心到直线的距离列式求解值，则答案可求。【详解】化圆为，可知圆心坐标为，半径，由题意,，由,得,是等边三角形,则；则圆心到直线的距离，即，.故答案为：;。【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算,同时也考查了直线方程的求解，解答的关键就是将问题转化为弦心距的计算，考查计算能力，属于中等题.13.函数为定义在上的奇函数,则____________________，_________________。【答案】（1).（2）。【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，进而求出的值，由奇函数的性质分析可得答案。【详解】根据题意，为定义在上的奇函数，则有,解可得：，则,则;故答案为：;.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数以及函数值的计算，在涉及奇函数求参数时，注意结论的应用，考查计算能力,属于基础题.14。如图所示，一个空间几何体的三视图如图所示（单位：）.则该几何体的体积为_______.表面积为___________.【答案】（1）.(2）.【解析】【分析】由三视图还原原几何体，再由棱锥体积公式求体积，由三角形面积公式求表面积。【详解】由三视图还原原几何体如图,该几何体为三棱锥，底面三角形为等腰直角三角形，,，侧面底面，过作底面垂线,则。该几何体的体积；在中,求得，，，则,表面积.故答案为:；.【点睛】本题考查利用三视图求几何体的表面积与体积，利用三视图还原原几何体是解答的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.15。在中，，的平分线交边于。若。，则___________。【答案】【解析】【分析】由已知结合正弦定理可求，结合为的平分线可得,再由,结合和角正弦公式即可求解.【详解】中,由正弦定理可得，，所以，为的平分线即，.故答案为：.【点睛】本题考查角的正弦值的计算,涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题。16。已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点,右焦点,线段中点为，且,则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】设，，，，由线段中点为,且,可得为的重心，运用三角形的重心坐标公式，以及的中点在椭圆内，结合离心率公式可得范围。【详解】由题意可设，,线段中点为，且，可得为的重心，设，，由重心坐标公式可得，，，即有的中点，可得，，由题意可得点在椭圆内,可得，由，可得，即有。故答案为：。【点睛】本题考查椭圆离心率取值范围的求解,根据题意得出为的重心是解答的关键,考查计算能力，属于中等题。17.已知向量、满足，，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】易得，结合，可得.又，可得，即可求解.【详解】，，,，,则，则。又，，.故答案为：。【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算,考查了向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18。已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将的终边按顺时针方向旋转后得到角的终边，且经过点。（1)求的值;（2）求函数的值域。【答案】（1）;(2）.【解析】【分析】（1）利用任意角三角函数的定义、结合诱导公式可求得,求出结论；(2)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，再求出值域.【详解】（1)的终边经过点，由，故，,由题意知，所以；（2）。【点睛】本题考查三角函数的定义以及三角函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题。19.如图，三棱柱所有的棱长为,，是棱的中点。（1）求证:平面；(2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析;（2）.【解析】分析】（1）由题意证明，，即可证明平面；（2）以点为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，求出平面的法向量，计算即可。【详解】（1）连接，三棱柱所有的棱长为，，是棱的中点；所以,所以。又，，所以，所以，且,所以平面;（2）分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示。则，,，，,又，，所以,设平面的法向量为，则，即，令，则，所以；所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题。20。已知等差数列的公差不为零，且，、、成等比数列,数列满足（1）求数列、的通项公式；(2）求证:。【答案】(1）,，；（2）证明见解析。【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到，可令，求得，再将换为，相减可得;（2）原不等式转化为，应用数学归纳法证明，注意检验时不等式成立，再假设时不等式成立，证明时,不等式也成立，注意运用分析法证明.【详解】（1）等差数列的公差不为零，，可得,、、成等比数列，可得,即，解方程可得，则.数列满足，可得，当时，由,可得,相减可得，则，也适合，则，；（2）证明：不等式即为，下面应用数学归纳法证明。（i）当时，不等式的左边为，右边为，左边右边，不等式成立；(ii)假设时，不等式成立,当时,，要证，只要证，即证，即证，由，可得上式成立，可得时，不等式也成立。综上可得，对一切,，故。【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用求通项以及数列不等式的证明，考查了数学归纳法的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题。21.如图,抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于点、,直线、分别与抛物线交于点、。（1）求抛物线的标准方程;（2)求与的面积之和的最小值.【答案】(1）;(2)。【解析】【分析】（1）根据抛物线的性质，求得的值,求得抛物线方程；（2）设直线的方程，代入抛物线方程，同理求得及的方程，并代入抛物线方程求得、,因此求得直线方程,并且求得直线方程恒过定点,因此表示出与的面积,即可求得与的面积之和的最小值。【详解】（1）由题意可知，则，所以抛物线的标准方程；（2)由题意可知，设直线的方程为，设、，联立方程组，消去，整理得,则,，设，，设直线的方程，联立方程组，消去，整理得，则，，则,，同理得到,,则，则直线的方程为，即，则直线过定点，所以，，所以,当且仅当时等号成立.所以，与的面积之和的最小值。【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中三角形面积和最值的计算，求出直线所过的定点是解答的关键,考查运算求解能力，属于中等题.22。已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若存在两个不等正实数、，满足，且，求实数的取值范围.【答案】(1）单调减区间为,单调增区间为；（2).