高等数学第一章-函数极限与连续第一节-函数课件

14三月2024高等数学第一章函数极限与连续第一节函数一、邻域。。因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.定义:

如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．(1)符号函数1.几个特殊的函数举例y1-1xo.(2)取整函数y=[x]12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线[x]表示不超过x的最大整数有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数yxoyxo..在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1解故M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX（1）．函数的有界性:2、函数的特性（2）函数的单调性:oxyxyo（3）函数的奇偶性:偶函数xyxo-x奇函数yxox-x（4）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.例2解单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,DWDW3、反函数对于任意的y

W,在D上至少可以确定一个x满足若将y看作自变量,x看作因变量,得到一个新的函数称为原函数y=f(x)的反函数,记为x=

(y)（2）直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称.（3）单值函数的反函数不一定是单值的.第二节初等函数一、复合函数二、初等函数一、复合函数定义:设因变量中间变量自变量注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过多次（或多层）复合构成.(1)幂函数二、初等函数（一）基本初等函数(2)、指数函数(3)、对数函数(4)、三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数(5)、反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.（二）初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.奇函数.偶函数.双曲函数奇函数,有界函数,双曲函数常用公式反双曲函数奇函数,奇函数,作业习题1--1：1（1，4），5习题1--2：6（2，3），8思考题1解答设则故思考题1思考题2解综上所述练习题练习题答案第二节数列的极限一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、数列极限的性质五、小结“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数播放三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3证四、数列极限的性质1、有界性例如,有界无界定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2、唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.3.收敛数列的保号性定理3如果证从而有推论如果数列推论1如果那么就存在着推论2如果在4、子数列的收敛性注意：例如，定理4收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证证毕．五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于