2023届高考数学试题一轮总复习题型练习第3讲相等关系与不等关系讲义

第3讲相等关系与不等关系

作差法

考点1：比较大小θz

--YI作商法

相等关系与不等关系

考点2产等式的性质

考点工不等式性质的应用

走进教材V⅛王后Ar

1.实数大小与运算性质之间的关系

Q—力＞0?；a-b=0?；a-b＜0?.

2.等式的性质

(1)对称性：若a=b»则.

(2)传递性：若a—b，b=c»则.

(3)可加性：若a=b»则α+c=.

(4)可乘性：若a=b»则；若a=b，c=d，则.

3.不等式的性质

性质性质内容注意

对称性a>bc!_________；a<bc!_________可逆

传递性a>b,b>cl?_________；a<b,b<cl_____同向

可加性a>bc!a+c>b~∖-c可逆

a>h,c>0?_________；

可乘性。的符号

a>b,c<0?_________

同向可加性a>b,c>d?_________同向

同向同正同向，

a>b>O,c>d>O?_________

可乘性同正

可乘方性a>b>O,〃£N*?一同正

可开方性a>b>0fn∈N,n>2c!_________同正

考点探究・题型突破

＞考点1比较大小

［名师点睛］

比较两个数（式）大小的方法

判断差与O的大小）~ɜ_庐

判断商与1的大小卜门鱼

［典例］

1.（2022•湖南•高三周练）若“<6<l,比较」一与工的大小.

a-∖P-I

2.（2021•江苏•高三专题复习）设X,y为正数，比较上+,与」一的大小.

Xyx+y

［举一反三］

1.（2022•重庆•模拟预测）若0<b<α<1,x=α+be”,y=b+4e",z=0+ae",则（???????）

e

A.x<z<yB.ZVXCy

C.z<y<XD.y<z<x

2.（2022•重庆市育才中学模拟预测）（多选）若a>b>O>c,则（???????）

A.—>~B.—~~->—C.ac>b,D.a-c>2>J-hc

aba-ca

3.比较（24+l）（α-3）与（。-6乂%+7）+45的大小.

4.已知：a、Aw*,且“≠z,,比较屋廿与的大小.

5.（2021•全国•高三专题练习（文））已知α>b>c>O,比较与（HC）寸的大小

>考点2不等式的性质

［名师点睛］

（1）判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.

（2）在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题

相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的

性质等.

［典例I（1）已知“，。，CGR，那么下列命题中正确的是（）

A.若与>1,则a>b

B.若?>§,则a>b

C.若/>/且HVO，则!斗

02/11

D.若层>炉且。力>o,则

（2）（多选）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b>0，则ac2>bc1

B,若a<h<0，则a2>ah>h2

C.若Qb>0且c<0»则/隼

D.若cι>b且H,则ab<O

［举一反三］

L（2021•辽宁•东北育才学校一模）若小］c∈R,CObi则下列不等式恒成立的是（???????）

A.-<-B.a2>b2

ab

C.D.a∖c∖>b∖c∖

2.（2022•安徽黄山•二模（文））设实数。、匕满足〃>人则下列不等式一定成立的是（???????）

2222afc

A.a>bB.空C.ac>bcD.3+3^>2

aα+l

3.（多选）（2021•福建三明•模拟预测）已知小b,c,d均为实数，则下列命题正确的是（??????？）

A.若a>b9Od,贝!Ja-d>b-cB.若a>b,Od则ac>bd

C.若昉>0,bc-ad>0,则£>£D.若c>d>O1则二

abac

4.（多选）（2021,山东潍坊•模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用"v”和”>”符号，并逐渐被数学

界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若αvb且刈≠0,则下列结论成立的是（???????）

aa11

A.a3<⅛3B.->-

ab

C.44<b网D.r<3b

5.设”>∕>0,/»>0,n>0,则与p空N空⅛小到大的顺序是____________________.

aDa-τmb-τn

›考点3不等式性质的应用

［名师点睛1

利用待定系数法求代数式的取值范围

已知M∖<f∖（a`A）VN1，M2<f>（cι,b）<N?，求g（a"）的取值范围.

⑴设g（α»b）=pf↑（a，h）+qf2（a，⅛）;

（2）根据恒等变形求得待定系数P，小

(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(α，份的取值范围.

1典例]

已知一l<x<4，2<><3，则x-y的取值范围是，3x+2y的取值范围是.

[举一反三]

1.若6<α<101^≤b<2a，c—a+b,则C的取值范围是()

A.[9-18]B.(15，30)

C.[9-30]D.(9，30)

2.(多选)(2022•山东•模拟预测)已知实数X,y满足-3<x+2y<2,-l<2x-y<4,则(???????)

A.X的取值范围为(-1,2)B.)的取值范围为(-2,1)

C.犬+了的取值范围为(-3,3)D.X-V的取值范围为(—1,3)

3.(2022•全国•江西科技学院附属中学模拟预测(文))已知实数X、V满足-2≤x+2y≤3,-2≤2x-y≤0,

则3x-4y的取值范围为.

TrIr

4.[2021•东北三省四市联考]已知角ɑ,少满足一菱<α-∕k],0<α+夕<π,求3(/一4的取值范围

第4讲相等关系与不等关系

作差法

考点1：比较大小口

作商法

相等关系与不等关系

考点2:不等式的性质

考点3:不等式性质的应用

走进教材?自主回顾

1.实数大小与运算性质之间的关系

q-b>02a>b↑g-b=Gc!a=b∖a-b<Qla<b.

2.等式的性质

(1)对称性：若a=b，j¾lb=a.

(2)传递性：若a=b，b=c»则a=c.

(3)可加性：若a=h，则a+c=b+c.

(4)可乘性：若a=b»则ac-bc∖若a=b»c=d，则ac—bd.

3.不等式的性质

04/11

性质性质内容注意

对称性a>bc!b<a↑a<blb>a可逆

c同向

传递性a>b,b>c7a>c;a<bfb<c!a<c

可加性a>hc!a+c>h+c可逆

a>b,c>0f!ac>bc↑

可乘性C的符号

c

a>bfc<Q!ac<bc

同向可加性a>b,c>d~!a+c>b+d同向

同向同正同向，

a>b>0fc>d>02ac>bd

可乘性同正

可乘方性a>b>0,几£N*?/>b"同正

可开方性同正

a>b>0f∏≡N,n>22^fa>^[b

考点探究・题型突破〃/

噢例I

1.(2022•湖南•高三周练)若"b<l,比较」½与工的大小.

a-∖b-∖

【解】，____也=αS-2)∙(ατj)=b-a

a-∖b-∖3-1)S-I)3-1)S-I)'

因为V1,故a—IvO,b-∖<0,h-a>0,

故-b-a>0,即->-L.

x

'(β-l)(⅛-l)a-lb-1

2.(2021•江苏•高三专题复习)设X,y为正数，比较2+,与一匚的大小.

Xyx+ʃ

【解】因为χ,y为整数，则1+[=9>。且」一>o,

Xyxyx+y

x+y

由^L=(X+y)2s(2历)-=%=4,当且仅当x=y时，等号成立，

1xyxyxy

x-∖-y

x+ʃ

所以JL≥4,所以‘+，>」一

1Xyx+y

x+y

［举一反三］

1.(2022•重庆•模拟预测)若0<h<α<Lx=4+∕√,y=∕j+qe",z=0+4e",则(？?????？)

e

A.x<z<yB.ZCXCy

C.ZCyCXD.y<z<x

【答案】A

【解析】’.∙χ=n+8e",y=b+ae",z=b+aeb‹y-z=a^ea-el,'j

Xα>⅛>0,e>l,.-∙ea>eb∙'∙y>z

z-x=(⅛-α)+(α-ft)e∙h=(«-/?)(?-ɪ),又a>b>O,eh>lz>x

综上：x<z<y故选：A

2.(2022•重庆市育才中学模拟预测)(多选)若a>b>O>c,贝∣J(???????)

ccb—CbI------

A.—>~B.------>—C.ac>bcD.a—c>2∖J--bc

aba—ca

【答案】ABD

【解析】

A：———=~~~,∙/a>b>O>c.>.cιb>O,b-a<0,c<0,

ababf

(b-a)c„cc.,A十心

•*----:—>。，->T-,故A正确；

abab

b-cb_a(^b-e)-b(^a-e)_{b-d)c

∖*a>b>O>cΛ6τ-c>0,6F>0,⅛-67<0,c<0,

a-ca(α-c)α(α-c)αf

(h-a)cCb-ch

∙.---------->0,.∖------->-故B正确;

(tz-c)aa-ca

C：y=%c,c<0时，C在(0,y)单调递减,丁4>瓦.∙.〈加,故C错误;

9

D：∖a>b>O>cfΛ-c>0,Λa-c>b-c=b+{-cj≥2∖［-bc,,:叶b,故等号取不到，故α-c>2>/-儿,

故D正确.

故选：ABD.

3,比较(2α+l)(α-3)与(α-6)(20+7)+45的大小.

06/11

[解](2«+l)(a-3)-[(«-6)(2«+7)+45]=(2a2-5«-3)-(2a2-5t7+3)=-6<0,

二.(2o+l)(α-3)<(α-6)(2α+7)+45.

4.已知：。、bwR：且a≠∕7,比较优廿与a%"的大小.

【解】：a、beR+,.,∙aoM>0.abba>O

作商：a心__岗《岗-»=(Ξyι^i????????(*)

⑴若a>Z>O,K∣J→1,a-⅛>0,(∣)a^6>l,此时那>a7"成立；

⑵若b»0,则0<]<l,a-b<0,(V*>l,此时a"H'>a%"成立.

综上，a"H'>R"'总成立.

5.(2021•全国•高三专题练习(文))已知a>6>c>0,比较优应。与(物)审的大小

【解】

c-ac-h

aabbct

a+b+c3×b

(a⅛c)3

a,a-hC

—>1,------>0>I同理>1，>1»

b3

aabhcc

从而a+Z>+c>1

(abc)~

即a',bhcc>(abcy^.

›考点2不等式的性质

［名师点睛］

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.

(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题

相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的

性质等.

［典例I(1)已知“，。，CGR，那么下列命题中正确的是()

A.>则a>b

B.若'则a>b

C.若π3>⅛3且ab<O、则不

D.若♦且rb>O，WJ~<∣

（2）（多选）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b>O，则ac1>bc2

B.若n<b<O，则/>欣>从

C.若a>b>O且c<0»则奈冷

D-若且鼻，则ab<O

【解析】（I）A中，只有b>O时正确，故A错误；

B中，当CeO时，a<b，故B错误；

C中，若a3>b3`ab<0，则a>O>b，所以［>/，故C正确：

D中，当a<0，b<0时，不成立，故D错误.

综上所述，故选C.

∖a<b`∖a<b»

⑵当c=0时，不等式不成立，所以A命题是假命题；j〈0^a2>ab”从07ab>b2，所以次>而>庐,

所以B命题是真命题；a>b>Wa2>b2>020<^2<p,因为c<0，所以黑京，所以C命题是真命题：

F07⅛F>0，因为。>匕'所以b~a<0`ab<0，所以D命题是真命题，故选BCD.

【答案】（I）C（2）BCD

［举一反三］

1.（2021•辽宁•东北育才学校一模）若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是（???????）

A.LCLB.a2>b2

ab

C.-Λ->-Λ-D.a∖c∖>b∖c∖

c+1c+1

【答案】C

【解析】当a=l,人=-2时，满足ɑ>∕>,但,>?，a2<b2,排除A,B；

ab

因一~r>0,a>b,由不等式性质得号>工，C正确；

c÷1c'+1c~+1

当c=0时，］∣c∣>0∣c∣不成立，排除D,

故选：C

08/11

2.（2022•安徽黄山•二模（文））设实数。、b满足α>b,则下列不等式一定成立的是（???????）

A.a2>b'B.—<-------C.ac2>bc1D.3"+3"'>2

aα+l

【答案】D

【解析】对于A：当α=2,Z7=T时不成立，故A错误；

对于B：当a=-！，b=7,所以2=2,空=0,即空，故C错误；

2aa+∖aα+l

对于C：当C=O时不成立，故C错误；

对于D：因为。>万，所以3">3">0,又3">0，

所以3"+3"'>3"+3"'≥243"X3"=2（等号成立的条件是b=0）,故D正确.

故选：D.

3.（多选）（2021•福建三明•模拟预测）已知α,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是（???????）

A.若a>b,c>df则。-J>b-cB.若加也c>d贝IJaC

C.若〃b>0,bc-ad>Of则£>£D.若4>b,c>d>O1则二>2

abdc

【答案】AC

【解析】解：由不等式性质逐项分析：

A选项：由c>d,∣⅛-c<-d,根据不等式同向相加的原则α-d>b-c,故A正确

B选项：若a>O>b,0>c>d则OCV仇/,故B错误；

C选项：ab>O,bc-ad>O,则也必>0,化简得£一色>0,故C正确；

abab

D选项：a=-},b=-2,c=2,”=1则二=2=-1,故D错误.

ac

故选：AC

4.（多选）（2021•山东潍坊•模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“v”和“>”符号，并逐渐被数学

界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若且"工0,则下列结论成立的是（???????）

R.11

A.α3<⅛3B.—>-

ab

C.tz∣α∣<⅛∣⅛∣D.T<3b

【答案】AC

【解析】解：对于A,由。<h,可得故A正确；

对于B,由“<Z?,当HVO时，可得故B错误；

ba

对于C,由。Vb,当α⅛vθ时,可得α∣α∣vθ,，可得。|。|<〃|〃|,当4>0,。>0时，可得。|〃当6|。|,

当αvbvθ时,∖a∖>∖b∖t可得。∣α∣<b∣"，故C正确；

对于D,当a=—3,b=-2时，a<b,2a=2^5=→3Λ=3-2,故D错误.

故选：AC.

5.设a*0,m>0,n>0,则p空4空⅛小到大的顺序是_____________________

aOa-τmb-πn

小4bb~∖-ma-∖~na

［答案I/在不用工

bh+mh'la+tn?-a?h+mlm?b-a?

I解析1..二一"l一丽正—=而B

bb+m

^a<~aτ+^m-^‹1

...也，/“+”?一，皿+〃?=殴二%)

•〃+〃b"?》+〃？。?。+〃？

〃+〃a

Kb+n^b'

bb+ma+na

--

/.-Cl<cι7+in<b,+,n<Γb.

›考点3不等式性质的应用

［名师点睛1

利用待定系数法求代数式的取值范围

已知M∖<f∖(a`h)<N∖`M2<f2(a`b)<N2,求g(a`份的取值范围.

⑴设g(a>b)=pf↑(a>b)+qf2(,a'b)；

(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；

(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，