2024年高考第一次模拟考试数学试题（江苏卷02）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第一次模拟考试（江苏卷02）数学第I卷（选择题）一、单项选择题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，，所以，，故选：B.2．已知，则复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由可得，所以复数的共轭复数是，故选：C3．已知向量，满足，若，则实数的值为（）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗∵，∴∵，∴∵，∴，即.故选：C.4．记函数的最小正周期为T．若，且，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗根据最小正周期，可得，解得；又，即是函数的一条对称轴，所以，解得.又，当时，.故选：C5．2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由已知可得循环赛的比赛场数为场，故总场数为场，故选：B.6．函数的图象大致为（

）A．B．C．D．〖答案〗A〖解析〗函数，，排除，，排除，故选：A7．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为，故球心在圆锥的内部且在高上，设球心到圆锥底面的距离为，则有，解得，则圆半径，表面积.故选：C8．已知实数，且，为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因为，所以，函数在上单调递增，且，因为所以，所以，即，又，所以，所以，即，综上，.故选：D二、多项选择题9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数〖答案〗ABD〖解析〗对A，，故A对；对B，，，故B对；对C，因为甲、乙平均值都为，所以，，显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；对D，为整数，故甲的60百分位数，乙的60百分位数为，故D对.故选：ABD10．已知随机变量服从二项分布，其数学期望，随机变量服从正态分布，且，则（

）A． B．C． D．〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，即A错误，B正确；易知，因为，所以，所以，即C错误，D正确.故选：BD.11．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．函数为偶函数 B．函数的最小值为C．函数的最大值为 D．函数在上有两个极值点〖答案〗AC〖解析〗对于A选项，函数定义域为，，所以函数为偶函数，故正确；对于B选项，，所以，当时，函数有最小值，故错误；对于C选项，由于，故当时，函数有最大值，故正确；对于D选项，当，，令得或，令在上的两个实数根为，则，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，在处取得极大值，在和处取得极小值，所以，函数在上有三个极值点，故错误.故选：AC12．已知四棱柱的底面为正方形，，，则（

）A．点在平面内的射影在上B．平面C．与平面的交点是的重心D．二面角的大小为〖答案〗ACD〖解析〗设，，，正方形的边长为1，则，，，对选项A：，，根据对称性知，点在平面内的射影在的角平分线上，即在上，正确；对选项B：，，，错误；对选项C：设，相交于，与交于点，即为与平面的交点，则，为中边上的中线，故为的重心，正确；对选项D：连接与相交于，连接，根据对称性知，又，平面，平面，故为二面角的平面角，，故，故，，，故，正确，故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题13．若tanθ＝3sin2θ，θ为锐角，则cos2θ＝.〖答案〗〖解析〗tanθ＝3sin2θ，∵θ是锐角，∴sinθ≠0，∴，∴﹒14．定义在上的奇函数满足，请写出一个符合条件的函数〖解析〗式.〖答案〗（等其他符合条件的函数也可）〖解析〗依题意是定义在上的奇函数，由于，所以，所以的图象关于直线对称，所以，所以是周期为的周期函数.是定义在上的奇函数，且最小正周期为，，所以关于对称，符合题意.15．在平面直角坐标系中，已知点，直线：与圆：交于A，B两点，若为正三角形，则实数的值是.〖答案〗〖解析〗由题意可知在圆上，如图，设AB中点为H，连接PH,则PH过点O,且,设直线l的斜率为k,则,故即为，因为为正三角形，则O点为的中心，则，故，解得，结合在圆上，是圆的内接正三角形，可知，即.16．设过双曲线左焦点的直线与交于两点，若，且（O为坐标原点），则的离心率为〖答案〗〖解析〗如图，

设为中点，，由可知，，由双曲线的定义可知，，由可知，又为中点，为中点，可知，则,从而为线段的垂直平分线，，即，所以，则为正三角形，，在直角△中，，即，所以．四、解答题17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．(1)求角A的大小；(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．解：(1)若选择①，∵．∴，∵，∴，即，∵∴；若选择②，∵，∴，∴，∴，，∵∴；若选择③，∵，∴，∴，∴，∴，又∵．∴，∴，∵，∴；(2)设，，，在中，用余弦定理可得，即①，又∵在中，，即.即，即②，在中，用余弦定理可得，即③，③+①可得，将②式代入上式可得，．18．已知数列，当时，，.记数列的前项和为.(1)求，；(2)求使得成立的正整数的最大值.解：(1)因当时，，，而，则，又，则，所以，.(2)因当时，，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，而，又，则有时，，由得：，而，于是得，所以使得成立的正整数的最大值是51.19．如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.(1)证明：因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，所以AE平面BCD，又因为CD平面BCD，所以CDAE，因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.(2)解：在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H,设BC=4，则，DF=FC=l，.以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,则,设，则,，设平面AEG的法向量为,由，得，令，故，设平面ACD的法向量为，则,即，令，则,设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为,则，当最大，此时锐二面角最小，故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.20．我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：样本号i12345678910人工测雨量xi5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量yi5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49|xiyi|0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并计算得(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；(2)规定：数组（xi，yi）满足|xiyi|<0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤|xiyi|<0.3为“Ⅱ类误差”；满足|xiyi|≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．附：相关系数解：(1)因为，…代入已知数据，得．所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.(2)依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数的所有可能取值为.

则，，，.

所以的概率分布为0123P所以X的数学期望.

另解：因为，所以.21．已知曲线由和两部分组成，所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，右焦点为与轴相交于点，四边形的面积为.(1)求的值；(2)若直线与相交于两点，，点在上，求面积的最大值.解：(1)由题意知；(2)①当斜率存在时，设直线的方程为，，，且，，计算可得，故原点到直线的距离，当时，即或时取等号，故原点到直线的距离的最大值为1，则点P到直线的距离，故，∴△PAB面积最大值2；②当斜率不存在时，，此时.综上：面积的最大值为2.22．（本小题满分12分）已知函数，函数，其中.(