北京市延庆区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市延庆区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，，所以.故选：C.2.已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，由题意可得双曲线的焦点在轴上，且，，所以，又，所以，解得，所以，所以双曲线离心率.故选：B.3.复数，则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以的虚部为，故选：A.4.已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由椭圆方程可知：，由椭圆定义可知：到椭圆的两个焦点的距离之和为，故选：D.5.到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为动点到定点的距离比到轴的距离大，所以动点到定点的距离等于到的距离，所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是.故选：B.6.正方体的棱长为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设点到平面的距离为，因为，所以，又因为，，所以，所以，故选：B.7.已知圆上一点和圆上一点，则最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知圆的圆心为原点，半径，由圆，故其圆心为，半径，两圆圆心距为，所以两圆相交，则，如图所示.故选：A8.“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗当时，取，此时，故方程表示圆；当方程表示椭圆时，则，解得或，此时或是的真子集，所以或可推出；综上可知，“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件，故选：B.9.若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（）．A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由直线方程可知直线恒过定点，要使直线与曲线总有公共点，则点在圆内或圆上，所以，解得：．所以，的取值范围是：.故选：B．10.在平面直角坐标系中，点，，，是圆上一点，是边上一点，则的最大值是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，所以，因为，所以当，即点与点重合时，有最大值，所以问题转化为在圆上，求的最大值，因为点在圆上，设点所在的直线为，因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，所以，解得，即，所以，所以的最大值是12，故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.椭圆的长轴长为_________．〖答案〗〖解析〗根据双曲线的渐近线公式得到故〖答案〗为.13.已知圆，求经过点的圆的切线方程_________．〖答案〗〖解析〗由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，即，，解得，所以切线方程为.故〖答案〗为：.14.已知方程，求的取值范围_________．〖答案〗〖解析〗当时，原式化为，无解，故，则，由得，设，由对勾函数知，函数在单调递减，单调递增，故，则的值域为，即，则或.故〖答案〗为：15.若曲线上的两点，满足，则称这两点为曲线上的一对“双胞点”.下列曲线中：①；②；③；④.存在“双胞点”的曲线序号是_________．〖答案〗①④〖解析〗对于①，如显然符合“双胞点”定义；对于②，易知其图象为双曲线的图象在第一、三象限的部分，显然该部分图象单调递增，没有符合“双胞点”定义的点；对于③，易知其图象为抛物线的图象在第一象限的部分，显然该部分图象单调递增，没有符合“双胞点”定义的点；对于④，如显然符合“双胞点”定义；综上①④有“双胞点”.故〖答案〗为：①④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.根据下列条件，分别求出曲线的标准方程：（1）焦距是，过点，焦点在轴上的椭圆；（2）一个焦点是，一条渐近线方程为的双曲线；（3）焦点到准线的距离是，而且焦点在轴上的抛物线.解：（1）由题意可设，可知，则椭圆的标准方程为：；（2）易知双曲线的焦点在横轴上，可设标准方程为，则，且是其一条渐近线，即，故，所以双曲线的标准方程为：；（3）若焦点在纵轴正半轴，可设抛物线标准方程为：，因为焦点到准线的距离是，则有，所以，若焦点在纵轴负半轴上，可设抛物线标准方程为：，因为焦点到准线的距离是，则有，所以，综上抛物线的标准方程为：.17.已知过点的直线l被圆所截得的弦长为．（1）写出圆C的标准方程及圆心坐标、半径；（2）求直线l的方程．解：（1）由题意整理圆的方程得，标准方程为，故圆心坐标为，半径为.（2）由（1），又直线被圆截得的弦长为，故弦心距为，当直线斜率存在时，设直线的斜率为,则过的直线，可设为，即，直线与圆的圆心相距为，，解得，此时直线的方程为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意.故所求直线的方程为或.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点为棱的中点，，.（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）若为棱的中点，则棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.解：（1）因为底面是矩形，侧棱底面，可知三线两两垂直，如图示建立空间直角坐标系，由题意可知，所以,则，设平面的一个法向量为，则，令，则，即，易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则；（2）假设存在点，使得平面，且，根据（1）可知，则，若平面，又平面，所以，而，则不成立，所以平面不成立.19.已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）．（1）若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；（2）若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程．解：（1）由题意，当的斜率为1时，代入抛物线方程得设，，，，，，点到直线的距离的面积；（2）易知直线时不符合题意．可设焦点弦方程为，，，，，代入抛物线方程得，则，，，，，，，，．故的方程为20.已知椭圆：的短半轴长为1，焦距为．（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的右顶点为，过点且斜率为的直线交椭圆E于不同的两点，直线分别与直线交于点．求的取值范围．解：（1）依题意知，解得，所以离心率；（2）由（2）得，椭圆E的方程为，则，设直线方程为，联立得，，得，且.，设，，则，设，依题意有:，，因为，所以，所以，因为，且，所以，所以的取值范围是.21.给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．（1）判断集合是否具有性质？说明理由；（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．解：（1）对于