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高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合或,,则()A. B.C. D.或〖答案〗B〖解析〗因为,所以,因为,故.故选:B.2.若点是角终边上一点,且,则y的值为()A. B. C.-2 D.2〖答案〗D〖解析〗,又由三角函数的定义得,所以,又,解得.故选:D.3.已知,,,则()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为,,,所以.故选:B.4.若,且,则的值为()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为,可得,又因为,所以,所以,则.故选:A5.已知为上的奇函数,且,当时,,则的值为()A.-4 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗为奇函数,则,又因为,所以,即,所以,所以的周期为4,,因为为奇函数,所以.故选:C.6.若为奇函数,则()A.0 B.1 C.2 D.-1〖答案〗C〖解析〗由题意得,因为为奇函数,所以为偶函数,令,定义域为R,则,即,即,此时,定义域为R,满足,即为奇函数,故.故选:C.7.在同一平面直角坐标系中,函数,(且)的图象可能是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当时,与单调递增,A,B均不符合题意;当时,与单调递减,对于,当时,C不正确.故选:D.8.定义在上的函数满足:对,且,都有成立,且,则不等式的解集为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令,因为对,且,都有,即成立,不妨设,则,故,则,即,所以在上单调递增,又因为,所以,故可化为,所以由的单调性可得,即不等式的解集为.故选:A.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知角A,B,C是三角形ABC的三个内角,下列结论一定成立的有()A. B.C.若,则 D.若,则〖答案〗ACD〖解析〗A选项,,选项A正确;B选项,,选项B错误;在中,由正弦定理得,故C和D正确.故选:ACD.10.已知函数的部分图象如图所示,其中的图象与x轴的一个交点的横坐标为,则()A.的最小正周期为B.的图象关于点中心对称C.的图象可以由向左平移个单位长度得到D.在上单调递增〖答案〗AC〖解析〗由图,知,∴,∴,因为,,则,∴,∵,∴,故A正确;,故的图象不关于点中心对称,故B错误,,可以由向左平移个单位长度得到,C正确;当时,,∴不单调,D错误.故选:AC.11.若命题“,”是假命题,则k的值可能为()A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗AB〖解析〗由题知,是真命题,当,即时,恒成立,时,不恒成立;当时,,解得,综上得.故选:AB.12.已知方程与的根分别为,则下列说法正确的是()A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于AC,方程与的根分别为,即与的交点横坐标为,与的交点横坐标为,由题知,,与的图象关于对称,与相交可得点与点关于对称,所以,即,故AC正确;设,明显其单调递增,又,对于B,由零点存在定理可知,根据对称性可得,B正确;对于D,由B选项知,,则,所以,D错误.故选:ABC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数的定义域为__________.〖答案〗〖解析〗要使函数有意义,则应有,解得,所以函数的定义域为.故〖答案〗为:.14.已知,则的值为__________.〖答案〗〖解析〗原式.故〖答案〗为:.15.已知,,,则的最小值为___________.〖答案〗〖解析〗因为,且,所以,所以,当且仅当,即,时等号成立,故的最小值为.故〖答案〗为:.16.已知函数,若对于任意恒成立,则实数k的取值范围是______________.〖答案〗〖解析〗,因为,故的定义域为,令,则,故,即,其中,所以为奇函数,当时,任意,则,故,故,故为上的增函数,由为奇函数可得为上的增函数,由可得,故,故,于是恒成立,当时不等式恒成立;当时,要满足题意则需,,故.故〖答案〗为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算:(1);(2).解:(1).(2).18.已知集合,.(1)若,求集合;(2)若“”的充分不必要条件是“”,求实数k的取值范围.解:(1)由不等式,即,解得,即,当时,集合,又由,解得,所以,所以.(2)由(1)知,又由,可得,当时,解得,即集合;当时,集合;当时,解得,即集合,因为“”是“”充分不必要条件,即集合是的真子集,所以当时,满足,解得;当时,不符合题意;当时,满足,解得,综上可得,实数的取值范围为.19.已知函数.(1)若,求的值;(2)若,,且,,求的值.解:(1)由已知,即,因为,即,解得.(2)依题意,由,,得,,解得,,∴,∵,,∴,又,∴,∴,∴.20.已知幂函数在上单调递减.(1)求函数的〖解析〗式;(2)若,求x的取值范围;(3)若对任意,都存在,使得成立,求实数t的取值范围.解:(1)由幂函数在上单调递减,可得,解得,所以.(2)由函数图象关于y轴对称,且在上单调递增,则可化为,平方得,化简得,解得,所以x的取值范围是.(3)由(1)知,因为对,使得都成立,所以,其中,由(1)可得函数在上的最大值为4,所以,因为存在,使得成立,可得,又因为,所以是关于的单调递增函数,所以,即,解得或,所以实数t的取值范围为.21.已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)若,求的最值及取最值时x的值;(3)若函数在内有且只有一个零点,求实数m的取值范围.解:(1),故函数的最小正周期为.(2)由(1)知,因为,所以,令,则,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,即时,函数有最大值,最大值为,当,即,函数有最小值,最小值为,综上,的最小值为-1,此时;最大值为2,此时.(3)因为函数在内有且只有一个零点,所以在只有一个实根,,即,即函数在的图象在与直线只有一个交点,当时,,画出在上的图象,如下:结合函数图象可知:函数在区间的图象与直线只有一个交点时,,即.22.已知定义域为的函数是奇函数,且.(1)求实数a,b的值;(2)判断函数在上的单调性并用单调性的定义证明;(3)若关于x的不等式在区间上恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)因为函数为奇函数,所以,则①,又因,则②,联立①②解得,故,因为,且定义域为,关于原
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