2023年中考数学几何模型-胡不归模型（讲+练）（解析版）

专题14动点最值之胡不归模型

背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根

据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置/到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏

上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人

弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他

该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为力，则£=亚+型（%＞。2），

5V2

由%>u,可得!<工，提取一个工得力TO+OB

-Viv2v2V2\Vi,

若想总的时间最少’就要使得导M+上最小,

E

如图，过定点A在驿道下方作射线AE,夹角为且sins=校VI,

作DGLAE于点G,则0G=4D・sina=叁・4。，将强・4。+转化为DG+DB,

再过点B作BHLAE于点H,交驿道所在直线于点。，则。就是我们要找的点，

此时DG+DB的最小值为BH,

,1/3,八小DG+DBBHAB-sinABAH

AD4-DB=-------------2---=-----------,

。2\仍）。2外v2

综上，所需时间的最小值为AB.sinNA4H

解决思路：构造射线A。使得sinND4N=k,即——=k,CH=kAC.

将问题转化为求8C+C/7最小值，过8点作交于点C,交AD于H点,此时

BC+C4取到最小值，即2C+fc4C最小.

例题1.如图，AABC中，A8=AC=10,tan/l=2,BE1.AC于点E,D是线段BE上的一个动

点，则CD+好BD的最小值是.

【解析】..七必二？，.♦.△A8E三边之比为1:2:6，AsinZABE-,

5

故作O"_LA8交AB于，点，则。打=43。.问题转化为CD+CH最小值，故C、。、H

共线时值最小，

此时CD+DH=CH=BE=4s/5.

例2.如图，Z\ABC在直角坐标系中，AB=AC,4（0,2，5）,C（1,0）,D为射线A。上一

点，一动点P从A出发，运动路径为ATD玲C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，

要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）

y

\A

B.（0,殍）C.（0,斗）D.（0,卑）

/Qa

【答案】D

【解析】假设P在AD的速度为3V,在CD的速度为IV,

总时间力=挈+萼=上（学+C。），要使t最小，就要学+CD最小，

OrVV\»J/J

因为AB=AC=3,过点B作BH_LAC交AC于点H,交OA于D,易证△ADHs^ACO,所以

AF）An

启=五方=3,所以F-=O8,因为4ABC是等腰三角形，所以BD=CD,所以要

UCUn6

挈+CO最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了.因为AAOCSA

…rrhl_OCan2^/2_1RRRLZ,N_A/2

BOD,所以谑=丽，即一T-=而，所以°°=工，

所以点D的坐标应为0,

例3.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E,且tan

4

ZEBA=1,有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25

o

单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s.

【答案】-g-s

【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H,如图,

.,,DH4

VEH/7AB,.•./HEB=NABE,..tan/HED=tan/EBA==可

Ejn.J

设DH=4m,EH=3m,则DE=5m,

蚂蚁从D爬到E点的时间=号=4(s)

1.

若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s,则蛆蚁从D爬到H点的时间=丁=4(s),

...蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，

蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿

着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度

爬到H点的时间，

作AG_LEH于G,则AD+DH》AH》AG,二AD+DH的最小值为AQ的长，

当y=0时，X2-2X-3=0,解得XI=-1,X2=3,贝I]A(-1,0),B(3,0),

C04

直线BE交y轴于C点，如图，在RSOBC中，■an/CBO=大言=5，

UDO

AOC=4,则C(0,4),设直线BE的解析式为y=kx+b,

f4

A-h=0\b=--

把B(3,0),C(0,4)代入得＜；7,解得＜3，二直线BE的解析式为

6=4I,,

Ib=4

4一

沙=一铲+4,

y=x2—2x—3

解方程组4则E点坐标为

y—~守+4

，八一64

AQ=~9,

64

，蚂蚁从A爬到G点的时间=^V=6g4s(s),即蚂蚁从A到E的最短时间为6*4s.

1yy

【变式训练1】如图，平行四边形A8CD中，ZDAB=60°,AB=6,BC=2,P为边C£＞上的

一动点，则咏日阳的最小值等于——.

AB

【解析】已知NA=60。，且sin60°=—,故延长AD,作PHLAD延长线于H点,

2

即可得PH=@，；.PB+—PD=PB+PH.

22

当3、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即8H的长，解直角AABH即可得3H

长.

【变式训练2】如图，在^ABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于点E,D是线段BE上

A/5

的一个动点，则C0+BD的最小值是,

5

【答案】4^/5

【解析】如图，作DH±ABH,CM_LAB于M.VBE±AC,，/AEB=90°,

tanA=^=2

设AE=a,BE=2a,则有：100=a2+4a2,.*.a2=20,

.,.a=2/或一2/（舍），.•.3E=2a=4/,

：AB=AC,BE1AC,CMXAB,

：.CM=BE=4：y/5,

VZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

：.sinZDBH=血

/i£/OO

CD+^-BD=CD+DH,

5

ACD+DH>CM,

CD+卓3。24/,CD+^-BD的最小值为4/

【变式训练3】如图，平行四边形ABCD中，ZDAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的

一动点，则P3+挈的最小值等于

Q

【解答】3^/3

过点P作PQLAD,垂足为Q,•.,四边形ABCD是平行四边形，；.DC〃AB,

.•./QDP=NDAB=60°,

PQ=PD-sinNQOP=，/.PB+卑PD=13P+PQ,

・•・当点B、P、Q三点共线时，P3+勺P。有最小值，

PB+^~PD的最小值为4B-sin60°=3^/3.

课后训练

1.如图，在RtAABC中，ZACB=9Q°,/B=30。，AB=4,点D、F分别是边A8,BC上的

动点，连接CD,过点A作AELCD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+^FB的

最小值是（）

A.V3~lB.A/3+1C.^^.-1D.

22

【解答】解：延长AC到点P,使CP=AC,连接8P,过点尸作„8P于点”，取AC中

点O,连接OG,过点。作0QJ_8P于点Q,；NACB=90。，/ABC=30。，AB=4,.'.AC

=CP=2,8P=AB=4

：./XABP是等边三角形，NFBH=30°,RtAFHB中，FH=^FB

2

...当G、F、”在同一直线上时，GF+上咫=GF+FH=G，取得最小值

2

•.•AE_LCD于点G,.•./AGC=90。，为AC中点，：.OA^OC=OG^^AC

2

；.A、C、G三点共圆，圆心为0,即点G在③。上运动，.•.当点G运动到OQ上时，GH

取得最小值

；RsOPQ中，/P=60°,0P=3,sinZP=^-=J^-，0。=返OP=_^Z1,.-.GW®

OP222

小值为色应-1

2

故选：C.

2.如图，AC是圆。的直径，AC=4,弧84=120。，点。是弦A8上的一个动点，那么。拉+

—BD的最小值

2

【解答】解：...箴的度数为120。，，NC=60。,

：AC是直径，AZABC=90°,：.ZA=30°,

作BK//CA,DELBK于E,0MJ_8K于M,连接OB.,JBK//AC,：.ZDBE^ZBAC^30°,

在RSD8E中，DE=^BD,：.OD+^BD=OD+DE,

22

根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，。£>+18。的值最小，最小值为OM,

2

NBAO=ZABO=30°,NOBM=60°,

在RtAOBM中,'：OB=2,ZOBM=60°,：.OM=OB*sin600=yf3,弓08+。。的最小值

为次，

故选：B.

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点力(-1,0),2?(0,-通),

C(2,0),其对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;

(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD,则/PB+PD的最小值为；

(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有一个;

②连接MA,MB,若/AMB不小于60。，求t的取值范围.

【解答】⑴〃缗「缗_代„⑵乎；

(_A/3

(a-b+c=()a~~lT

【解析】(1)由题意〈c=，3解得＜匕=_迪，二抛物线解析式为

I4a+26+c=0-〒

c—y/3

_oQ

y=~2~x------2~~a;—v3,

2挈4挈一脸，挈6》一挈一•.顶点坐标侯嘤).

(2)如图，连接AB,作DHJ_AB于H,交OB于P,此时〈PB+PD最小.

，gpB+PD=PH+PD=DH,，此时*PB+PD最短(垂线段最短).

3DH3J3

在RtZ\ADH中，VZAHD=90",AD=K，ZHAD=60°,.\sin600=-777,

2AD4

•*-xPB+PD的最小值为—;

/~x

4.如图，在4ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.

（1）证明：CE是。O的切线；

（2）若4ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示的直径AB；

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD,当aCD+OD的最小值为6时，

【答案】⑴见解析：（2）48=瞿士/1；（3）AB=8A/3

0

【解析】（1）连接0C,如图，

；CA=CE,ZCAE=30°,NE=/CAE=30",NCOE=2/A=60°,/.ZOCE=90°,ACE

是。。的切线；

（2）过点C作CH_LAB于H,连接OC,如图，

由题可得CH=h.在RtZ\OHC中，CH=OC*sinZCOH,.•.h=0C・sin6CT=浮OC,

.2h,2^/3.

・・0C——=-~—Lh,•.AB—20C一h；

A/333

(3)作OF平分/AOC,交00于F,连接AF、CF、DF,如图,

A

则NAOF=NCOF=ZA0C=](180°-60°)=60°.

VOA=OF=OC,.,.△AOF>△COF是等边三角形，

.\AF=AO=OC=FC,，四边形AOCF是菱形，，根据对称性可得DF=DO.

过点D作DH_LOC于H,VOA=OC,AZOCA=ZOAC=30",/.DH=DC«sinZDCH=DC»sin300

1

=2DC>

/.1-CD+OD=DH+FD.

根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD(即2CD+OD)最小，

ittB'J-FH=OF»sinZFOH=苧0F=6,则OF=4\/5,AB=2OF=8I/3.

...当^CD+OD的最小值为6时，O0的直径AB的长为8，3.

5.如图，已知抛物线y=5(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于

O

A,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=一暇x+b与抛物线的另一交点为D.

O

(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；

(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与aABC相似，

求k的值；

(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF,一动点M从点A出

发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到

D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【答案】(1)y=x~——77—3：——77—：(2)k=或(3)当点F坐标

yyyo

为(-2,2，3)时，点M在整个运动过程中用时最少.

【解析】⑴抛物线y=4(x+2)(x-4),令y=0,解得x=-2或x=4,AA(-2,0),

o

B(4,0).

,直线y=+6经过点B(4»0),/.—X4+b=0,解得b=-»

ooo

工直线BD解析式为：4=—-^―X+—^―.

OO

当x=-5时，y=3\/3,D(-5,3\/3).

丁点D(-5,3^/3)在抛物线y=4(x+2)(x-4)上，二］(-5+2)(-5-4)=，

OO

k=^~.抛物线的函数表达式为：9=苧(x+2)(x-4).即

(2)由抛物线解析式，令x=0,得丫=-k,；.C(0,-k),OC=k.

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以/ABP为钝角.

因此若两个三角形相似，只可能是^ABCs^APB或△ABCS^PAB.

①若△ABCS/^APB,则有NBAC=NPAB,如答图2-1所示.

k

U

设P(x,y),过点P作PN_Lx轴于点N,则ON=x,PN=y.tanZBAC=tanZPAB,即：5=

x+2

••y=7；x+k..*.P(x,\x+k),代入抛物线