2023-2024学年辽宁省新宾县九年级上册数学期末经典试题含解析

2023-2024学年辽宁省新宾县九上数学期末经典试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.一个不透明的盒子里只装有白色和红色两种颜色的球，这些球除颜色外没有其他不同。若从盒子里随机摸取一个球,

有三种可能性相等的结果，设摸到的红球的概率为P,则P的值为（）

111TI1或a

A.-B.-C.一或一D.

323233

2.如图，在AASCc中os，CC=A-=,C贝B!∣s=比A3,的值为()

4

ʌ√10√15„√6Vio

A.------Br.------C.-----nD.------

2344

2

3.下列各点中，在反比例函数y=—图象上的点是()

X

A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(2,-1)D.(2,2)

4.方程炉=3X的解是()

A.%=3B.ɪ1=3,x2=OC.Xy=ʌ/ɜ9W=OD∙χ=>/3

5.四条线段b9c,d成比例，其中〃=3c∕n,c=Scιn9d=12cmf贝(∣〃=()

A.2cmB.4cmC.6cmD.Scm

6.如图，二次函数y=ax∣+bx+c的图象与X轴交于点A（-1,0）,与y轴的交点B在（0,1）与（0,3）之间（不包

括这两点），对称轴为直线x=l.下列结论：①abcVO；②9a+3b+c>0;③若点My1）,点N（∣∙,yι）是函数

32

图象上的两点，则yiVyi；（?）--<a<-y；⑤c∙3a>0其中正确结论有（）

7.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,则NBED为（）

A.45oB.15oC.10oD.125°

AD2AF

8.如图，在aABC中，DE//BC,若"=士，则竺:的值为（）

AB5EC

233

B.-C.一D.-

552

9.已知线段a=2,b=4,如果线段〃是线段。和C的比例中项，那么线段C的长度是（）.

A.8；

10.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸

出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

Illl

A.—B.—C.—D.—

24612

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.圆锥的母线长为5cm,高为4cm,则该圆锥的全面积为cm2.

12.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AHJ_BC于点H,连接OH.若OB=4,S菱形ABCD=24,

则OH的长为.

13.如图，已知等边OAg，顶点A在双曲线y=q(χ>o)上，点灯的坐标为(2,0).过⑸作44〃。4,交双

曲线于点4,过4作4员〃44交X轴于B”得到第二个等边θ1ΛB2.过鸟作B2A3ZZBiA2交双曲线于点A1,过A3

作A3B3ZZA2B2交X轴于点B3得到第三个等边B2A3Bi；以此类推，…，则点B2的坐标为,Bn的坐标为

14.已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差

S%=1.3275,乙种棉花的纤维长度的方差S?乙=1.8775,则甲、乙两种棉花质量较好的是▲.

15.一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从O到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数

至少要设置—位.

16.如图，NXOY=45。，一把直角三角尺aABC的两个顶点A、B分别在OX,OY上移动，其中AB=I0,那么点O

到顶点A的距离的最大值为.

17.圆锥的母线长是5cm,底面半径长是3cm,它的侧面展开图的圆心角是一.

18.如图，AABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出

发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为

顶点的三角形与AABC相似时，运动时间为

三、解答题（共66分）

19.（10分）某厂生产的甲、乙两种产品，已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同，3件甲商品的出

厂总价比2件乙商品的出厂总价多1500元.

（1）求甲、乙商品的出厂单价分别是多少？

（2）某销售商计划购进甲商品200件，购进乙商品的数量是甲的4倍.恰逢该厂正在对甲商品进行降价促销活动，甲

商品的出厂单价降低了a%,该销售商购进甲的数量比原计划增加了2α%,乙的出厂单价没有改变，该销售商购进乙

的数量比原计划少了誓％.结果该销售商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同，求。的值.

80

20.（6分）如图，正方形ABCD中，AB=I2,AE=-AB,点P在BC上运动（不与民C重台），过点P作PQ_LEP,

4

交CO于点Q,求P运动到BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值.

21.（6分）如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圃，现有长为18米的篱笆，一边靠墙，若墙长α=6

米，设花圃的一边AB为X米；面积为S平方米.

I-----------Q----------------1

AIo

B

（1）求S与X的函数关系式及X值的取值范围；

（2）若边BC不小于3米，这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明

理由.

22.（8分）如图，在AABC中，AB^AC,以AB为直径作。交BC于点。.过点。作EFLAC,垂足为E,且

交AB的延长线于点F.

(1)求证：EF是。的切线；

(2)若AB=IO,NA=60,求BD的长.

23.(8分)如图，在AABC中，AB=AC,。在45上，以。为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点凡交BC于点D,

交AB于点G,itDDElAC,垂足为E.

(1)OE与。。有什么位置关系，请写出你的结论并证明；

(2)若(DO的半径长为3,AF=4,求CE的长.

24.(8分)在正方形ABC。和等腰直角ABGE中，NBGF=90°,P是。尸的中点，连接PG、PC.

(1)如图1,当点G在BC边上时，延长GP交。C于点E.求证：PG=PC;

(2)如图2,当点尸在AB的延长线上时，(1)中的结论是否成立？请证明你的结论；

(3)如图3,若四边形ABC。为菱形，且∕4BC=60°,ABGF为等边三角形，点尸在CB的延长线上时，线段PC、

PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线.

25.(10分)如图，CD为OO的直径，弦AB交CD于点E,连接BD、OB.

C

D

(1)求证：∆AEC<^∆DEB;

(2)若CD_LAB,AB=6,DE=I,求。O的半径长.

26.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=12,点E在AD边上，且AE=8,EF_L.BE交CD于F

(1)求证：AABEs1∆DEF;

(2)求EF的长.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、D

【分析】分情况讨论后，直接利用概率公式进行计算即可.

【详解】解：当白球1个，红球2个时：摸到的红球的概率为：P=∣∙

当白球2个，红球1个时：摸到的红球的概率为：P=-

3

12

故摸到的红球的概率为：-或一

33

故选：D

【点睛】

本题考查了概率公式，掌握概率公式及分类讨论是解题的关键.

2、D

【解析】过点A作">_L8C,垂足为D,在应ΔACZ）中可求出AD,CD的长，在RAABZ）中，利用勾股定理可求

出AB的长，再利用正弦的定义可求出SinB的值.

【详解】解：过点A作垂足为D,如图所示.

在放ΔACZ）中，CD=CA-cosC=∖,

:.ADɪy∣AD2-CD2ɪ√15；

在RtAABD中，BD=CB-CD=3,ΛD=√15，

AB=√BD2+AD2=2√6'

AD√10

sinB

AB

故选：D.

【点睛】

考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD,AB的长是解题的关键.

3、B

【分析】把各点的坐标代入解析式，若成立，就在函数图象上.即满足xy=2.

【详解】只有选项B：-IX（-2）=2,所以，其他选项都不符合条件.

故选B

【点睛】

本题考核知识点：反比例函数的意义.解题关键点：理解反比例函数的意义.

4、B

【分析】用因式分解法求解即可得到结论.

【详解】Vx2-3x=0,

.∖x(x-3)=0,

贝!jx=0或X-3=0,

解得：-X1=3,尤2=0•

故选：B.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、

配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键.

5^A

【解析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得：=二，又由b=3cm,c=8cm,d=12cm,即

ba

可求得a的值.

【详解】•・・四条线段a、b、c、d成比例，

.ac

••———

bd

Vb=3cm,c=8cm,d=12cm,

.a8

••———

312

解得：a=2cm.

故答案为A.

【点睛】

此题考查了比例线段的定义.解题的关键是熟记比例线段的概念.

6、D

【分析】根据二次函数的图项与系数的关系即可求出答案.

【详解】①；图像开口向下，

.,.a<O,

V与y轴的交点B在(0,1)与(0,3)之间，

.∙.c>O，

；对称轴为χ=l,

.∙上=2,

2a

:・b=—4af

Λb>0,

.∖abc<O,故①正确；

②•・•图象与X轴交于点A(-l,0),对称轴为直线X=L

・・・图像与X轴的另一个交点为⑸0),

・•・根据图像可以看出，当x=3时，函数值y=9a+3b+c>0,

故②正确；

A

③∙.∙点/(5，yP，N(5,y2)>

1351

.∙.点M到对称轴的距离为|2--1==,点N到对称轴的距离为|2-m=彳，

2222

二点M到对称轴的距离大于点N到对称轴的距离，

.∙.y∣<y2»故③正确；

④根据图像与X轴的交点坐标可以设函数的关系式为：y=a(x-5)(x+l),把x=0代入得y=-5a,；图像与y轴的交点

[-5a>2

B在(0,1)与(0,3)之间，.・.〈，

-5α<3

32

解不等式组得-g<α<-M,故④正确；

⑤：对称轴为χ=l

.-..A=2,

2a

Λb=-4a,

当x=l时，y=a+b+c=a-4a+c=c-3a>0,故⑤正确；

综上分析可知，正确的结论有5个，

故D选项正确.故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax∣+bx+c(a≠0)的图象，当a>0,开口向上，函数有最小

值，a<0,开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=-2,a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称

2a

轴在y轴的右侧；当c>0,抛物线与y轴的交点在X轴的上方.

7、A

【分析】由等边三角形的性质可得NZXE=60。，进而可得/&叱=150。，又因为AB=A£,结合等腰三角形的性质，

易得NAEB的大小，进而可求出NBEr)的度数.

【详解】ADE是等边三角形，

ZDAE60°,AD=AE=DE，

四边形ABC。是正方形，

ZE4B=90o,AD=AB,

NfiAE=900+60°=150°,AE=AB,

∙∙∙NAEB=30o÷2=15o,

NBED=60°-15°=45°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关

键是求出NAEB的度数，难度适中.

8、A

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案.

AD2

【详解】解：:工==，

AB5

.AD2

•∙=f

DB3

'：DE//BC,

*AEAD2

"EC~BD~?>'

故选：A.

【点睛】

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

9、A

【解析】根据线段比例中项的概念，可得a:b=b:c,可得解方程可求.

【详解】解：若b是a、C的比例中项，即∕√=αc,

.∙.42=2C,

.,.c=8»

故选：A.

【点睛】

本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去.

10、C

【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.

【详解】解：画树状图得：

球白白红白白红绿白红球白

Y共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况,

2I

.∙.两次都摸到白球的概率是：—

126

故答案为C.

【点睛】

本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键.

二、填空题（每小题3分,共24分）

11、14π

【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积=底面积+侧面积=nX底面半径1+底面周长

X母线长÷1.

【详解】解：Y圆锥母线长为5cm,圆锥的高为4cm,

.∙.底面圆的半径为3,则底面周长=6n,

.∙.侧面面积=ɪ×6π×5=15π；

2

二底面积为=9n,

,全面积为：15“+9n=14n.

故答案为14π.

【点睛】

本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.

12›3

【分析】由四边形ABCD是菱形，OB=4,根据菱形的性质可得BD=8,在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半

求得AC=6,再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OH的长.

【详解】：四边形ABCD是菱形，OB=4,

ΛOA=OC,BD=2OB=8;

VSææABCD=24,

ΛAC=6;

VAH±BC,OA=OC,

ΛOH=ɪAC=X

2

故答案为3.

【点睛】

本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条

对角线乘积的一半）求得AC=6是解题的关键.

13、(2√2»())，(2«,O).

【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求

出点Bn的坐标.

【详解】解：如图，作A2CJ_x轴于点C,设BιC=a,贝!∣A2C=Ga,

OC=OBι+B∣C=2+a,A2(2+a,√3a).

点A2在双曲线y=苴(x>0)上，

Λ(2+a)∙√3a=百，

解得a=λ∕^-l,或a=-JJ-l(舍去)，

ΛOB2=OB1+2B∣C=2+2&-2=2√2，

.∙.点B2的坐标为(2√2,0);

作A3DJ_x轴于点D,设BzD=b,贝!∣A3D=Gb,

OD=OB2+B2D=2√2+b,A2(2√2+b,√3b).

・；点A3在双曲线y="(x>0)上，

X

：.(2√2+b)∙√5b=g,

解得b=-√^+√L或b=-√^-6(舍去)，

ΛOB3=OB2+2B2D=2√2-2√2+2√3=2√3»

二点B3的坐标为(2√3»0);

同理可得点B4的坐标为(2√4.0)即(4,0)；

以此类推…，

二点Bn的坐标为(2M,0),

故答案为(20,0),(2册，0).

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律

是解题的关键.

14、甲.

【解析】方差的运用.

【分析】方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小)在样本容量相

同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.由于S2甲＜S2乙，因此，甲、乙两种棉花质量较好的是甲.

15、1.

【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据工所在的范围解答即可.

2019

【详解】因为取一位数时一次就拨对密码的概率为

取两位数时一次就拨对密码的概率为ɪ；

取三位数时一次就拨对密码的概率为ɪ；

取四位数时一次就拨对密码的概率为记焉.

故一次就拨对的概率小于TN,密码的位数至少需要1位.

72019

故答案为L

【点睛】

本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现

m种结果，那么事件A的概率P(A)='.

n

16、100

【分析】

当NABo=90。时，点O到顶点A的距离的最大，则aABC是等腰直角三角形，据此即可求解.

【详解】

ABAO

解m:・------≈----------

sin45sinZABO

.∙.当NABo=90。时，点O到顶点A的距离最大.

贝UOA=√2AB=IO√2∙

故答案是：100.

【点睛】

本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O到顶点A的距离的最大的条件是解题关键.

17、216°.

【详解】圆锥的底面周长为2τrx3=6τr（cm）,

Z77Γ×5

设圆锥侧面展开图的圆心角是n。,则Ik=6几，

1o（）

解得n=216.

故答案为216°.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长

是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

18、3秒或1秒

7

【分析】此题应分两种情况讨论.（1）当4APQs^ABC时；（2）当4APQSAACB时.利用相似三角形的性质求

解即可

【详解】解：（1）当AAPQs^ABC时,

设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与AABC相似.

ʌpAo

—=—,贝!∣AP=2t,CQ=3t,AQ=16-3t.

A.BA∙C

十日1616-3t

于是一二---,

78

AF16

解得，t=—

APAO

(2)当AAPQSaACB时，——=*

ACAB

O

设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与AABC相似.

则AP=2t,CQ=3t,AQ=16-3t.

于是与16—3,

8

解得t=l.

故答案为t=—或t=L

7

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意将对应边转换，得到两组相似三角形是解题的关键.

三、解答题（共66分）

19、（1）甲商品的出厂单价为900元/件，乙商品的出厂单价为600元/件；（2）。的值为1.

【分析】（1）设甲商品的出厂单价是X元/件，乙商品的出厂单价为y元/件，根据题意列出方程组，解之即可得出结

论；

（2）根据总价=单价X数量结合改变采购计划后的总货款与原计划的总货款恰好相同，即可得出关于a的一元二次方

程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：（1）设甲商品的出厂单价为X元/件，乙商品的出厂单价为N元/件，根据题意，可得，

2x=3yfx=900

J1,解得,

3x-2y=1500[y=600^

答：甲商品的出厂单价为900元/件，乙商品的出厂单价为600元/件.

（2）根据题意，可得，

900(1-«%)X200(1+2a%)+600×4×200X200×900+4×200×600,

令α%=f,化简，得—20∕+3∙=0,

解得乙=0.15,I2=Q（舍去）.

∙'∙ao∕o=0.15,即a=15.

答：。的值为L

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系，正确列出二元一次方程组

与一元二次方程.

20、当BP=6时，C。最大，且最大值为L

【分析】根据正方形的性质和余角的性质可得NBEP=NCPQ,进而可证43PES2∖CQP,设C°=y,BP=x,根据

相似三角形的性质可得y与X的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求出结果.

【详解】解：四边形ABCD是正方形，.∙∙N8=NC=9()o,

二NBEP+NBPE=9Q°,VPQlEP,：.NQPC+NBPE=90°,：.NBEP=NCPQ.

BEBP

：△BPESACQP,：.衣=历.

、几1

设C0=y,BP=x,'：AB=BC=∖2,：.CP=12-x.'：AE=-AB,AB=12,.,.BE=9,

4

9X11

.∙.----=一，化简得：y=-----(x2-12x),即y=------(x-6)2+l,

∖2-xy99

所以当x=6时，y有最大值为1.即当BP=6时，CQ有最大值，且最大值为1.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质和二次函数的性质等知识，属于常见题型，熟练掌握相似三角形

的性质和二次函数的性质是解答的关键.

21.(1)5=-3X2+18Λ(4≤X<6);(2)当尤=4时，S有最大值，最大值是24,当x=5时，S有最小值，最小

值是15

【分析】(1)根据题意可得S=X(18-3x)=-3χ2+18x

(2)根据⑴和边BC不小于3米，则4≤x≤5,在此范围内是减函数，代入求值即可.

【详解】解：(1)S=x(18-3x)=-3√+18x

18-3%≤6

∙.∙〈,

3%<18

.∙.4≤x<6

(2)18-3xN3,.∙.x≤5

4≤x≤5

S=-3X2+18X=-3(X-3)2+27

二当x=4时，S有最大值，最大值是24,

当x=5时，S有最小值，最小值是15

【点睛】

本题考查的是二次函数中的面积问题，注意自变量的取值范围.

22、(1)见解析；(2)BD长为1.

【分析XD连接OD,AD,根据等腰三角形三线合一得BD=CD,根据三角形的中位线可得OD〃AC,所以得ODLEF,

从而得结论；

(2)根据等腰三角形三线合一的性质证得NBAD=LNBAC=30。，由30。的直角三角形的性质即可求得BD.

2

【详解】(1)证明：连接OD,AD,

TAB是。。的直径，

ΛZADB=90o,

ΛAD±BC,

VAB=AC,

ΛBD=CD,

VOA=OB,

.∙.OD是ABAC的中位线，

ΛOD√AC,

VEF±AC,

ΛOD±EF,

.∙.EF是。O的切线；

(2)解：VAB=AC,AD±BC,

：.ZBAD=-ZBAC=30o,

2

11

ABD=-AB=-XlO=I,

22

即BD长为1.

【点睛】

本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、等腰三角形的性质，圆的切线的判定，30。的直角

三角形的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.

23、（1）OE与O。相切，证明见解析；（2）CE长度为1

【分析】（1）连接。。，如图，根据等腰三角形的性质和等量代换可得N0D5=NC,进而可得OO〃AC,于是可得

ODLDE,进一步即可得出结论；

（2）连接。尸，由切线的性质和已知条件易得四边形OOE尸为矩形，从而可得EF=OO=3,在RtaAO厂中根据勾股定

理可求出Ao的长，进而可得AB的长，即为AC的长，再利用线段的和差即可求出结果.

【详解】解：（1）OE与。。相切；理由如下：连接OO,如图，

•：OB=OD,

'NB=NODB,

'：AB=AC,

INB=NC,

JNODB=NC,

.∖OD∕∕AC,

'JDELAC,

：.ODVDE,

.∙.OE与OO相切；

(2)如图,连接。尸；

,：DE,Af■是。。的切线，

.∙."JLAC,ODLDE,

X"DEI.AC,

.∙.四边形ODE尸为矩形，

.,.EF=0D=3,

在Rt∆0E4中，,.,AO^≈OF2+AF2,

ʌAO=√32+42=5>

.,.AC=AB=AO+BO=S,CE=AC-AF-EF=S-4-3=1.

答：CE长度为L

【点睛】

本题考查了圆的切线的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，正

确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.

24、(1)证明见解析；(2)成立，证明见解析；(3)PG=6PC，图详见解析.

【分析】(1)利用已知条件易证ADPE=AEPG,则有PE=PG,DE=GF,从而有CE=CG,再利用直角三角

形的斜边中线的性质即可得出结论；

(2)由已知条件易证ADPE三AFPG,由全等三角形的性质证明ACOE三ACBG,最后利用直角三角形的斜边中线

的性质即可得出结论；

(3)由已知条件易证△。尸E=AFPG,由全等三角形的性质证明CDE=CBG,最后利用等腰三角形的性质和特

殊角的三角函数值即可求出答案.

【详解】(1)证明：FGLBC,DCA.BC

.-.DCHGF

."EDP=NGFP

又QDP=PF,NDPE=NFPG

.∙.ΔDPE≡AFPG(ASA)

:.PE=PG,DE=GF

又QGF=GB,DC=BC,

.-.CE=CG

在MΔECG中，

QPE=PG

.-.PC=PG

(2)成立，证明如下：

延长GP到E,使PE=PG,连接。E、CE、CG.

QDP=PF,NDPE=NFPG,PE=PG

.∙.ΔDPE≡ΔFPG

..PE=PG.DE=GF、ZEDP=ZGFP

QGF=GB

:.DE=BG

QDCIlBF

：.NCDP=NBFP

ZCDE=ZBFG=NCBG=45o

QDC=