北师大初中数学教案八年级下册 第五章 数据的收集与处理

《认识分式》

第1课时

教学目标

1、使学生了解分式的概念，明确分式中分母不能为O是分式成立的条件.

2、使学生能求出分式有意义的条件.

3、通过对分式的学习，培养学生严谨的学习态度，培养学生数学建模的思想.

教学重点、难点

重点：理解分式的概念，明确分式成立的条件.

难点：明确分式有意义的条件.

教学过程

一、问题情境

1、在小学人们学习了分数，那么5÷3可以写成什么？

2、根据上面的问题，填空：

（1）长方形的面积为IoC启长为Icni,宽—cm；长方形的面积为S,长为a,宽应为.

（2）把体积为200C勿的水倒入底面积为33<√的圆柱形容器中，水面高度为C你把

体积为「的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为.

二、新课讲授

请同学们根据问题1的回答，回答出第2题的问题.教师与学生一起及时纠正学生出现的错

误.

10s200V

学生回答，教师写出答案：（1）亍，W^.（2）33,7.

新课：下面请同学们看一下这四个式了，看它们有什么相同点和不同点？

10200

学生根据自己的观察，说出丁、辛-是分数，是整式.而另两个式子，看他们有什么特

点，请同学们自己总结一下，学生说出分母中有字母.

请大家归纳一下这个式子是什么式子，有什么特点？学生回答分母中含有字母.

A

学生归纳：一般地，如果/、6表示两个整式，并且8中含有字母，那么式子万叫分式.

引导学生回答出，（1）分式与分数一样，力叫分子，6叫分母.那么小学学习过的分数中的

分母有什么限制，（分母不能为零.）分式中对分母的要求也是分母不能为零，对于分式分母

为零时分式才有意义.

（2）分母中含有字母.

请同学们再举出一些分式的例子.

例：填空

2X

（1）当X时，分式五有意义.（2）当X时，分式X-I有意义.

1

（3）当6—时，分式5-3占有意义.

（4）当x、y满足关系时，分式X-V有意义.

2

解：（1）当分母3∙Y≠0时，x≠0时，分式3x有意义.

X

（2）当分母片1W0时，x≠l时，分式X-I有意义.

5_]

（3）当分母5-38/0时，。关行时，分式5-35有意义.

χ+y

（4）当分母方y#0时，＜v≠y时，分式X-J7有意义.

教师与学生共同讨论完成.学生说出解题过程，教师板书.

学生归纳总结：（1）分式有意义，分母不能为0.这是分式有意义的前提.

（2）注意解题格式，分式有意义与分子无关.

（3）请同学们总结一下分式什么条件下没有意义？

三、小结：请同学们总结下本节课里你有哪些收获？

学生说出结论，教师补充.

四、教学反思：

这一课学生对什么是分式掌握较好，能区分整式与分式，对保证分式有意义需满足什么条件

能很好地指出来.

第2课时

教学目标

1、使学生理解分式的基本性质.

2、使学生运用分式的基本性质对分式进行恒等变形.

3、通过对分式的基本性质的学习培养学生抽象概括的能力.

教学重点、难点

重点：理解分式的基本性质.

难点：分式基本性质的运用.

教学过程

一、复习提问

1、什么叫分式？

2、小学学习的分数的基本性质是什么？举例说明.

引言：我们小学学习了分数的基本性质，今天我们为学习分式的基本性质.

二、新课讲授

根据分数的基本性质，分式可仿照分数的性质

aα∙Ca以

b=bc；b=b÷c(6≠0).

请同学们根据上面的式子和以前学过的分数的基本性质，总结出分式的基本性质是什么？学

生回答出来，教师及学生补充完整.

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于O的整式，分式的值不变.

aa∙Caα^÷^c

b=b∙c∙b=b÷c(C≠O)

注意：分式的基本性质的条件是乘(除以)一个不等于。的整式.

指出分式的性质与分数的性质的不同，乘以(除以)一个不等于0的整式，分数是乘以(除

以)一个不等于0的数.

例：填空

α+∙(r)2a-b(C)

(1)ab；(2)a2=&b.

χ21χyx+/ɪ—()

(3)X2^-=C)；⑷K-2X=X-2.

分析：引导学生根据分式的基本性质，来对分式进行化简.

(1)是乘以一个整式a4注意是分子和分母都乘以这个整式.

(2)是分子和分母都乘以6,分式的值不变.

(3)是分子f+x片x(x+y),对照分子，可以看出分子和分母都除以X,分式的值不变，所

以填X.

(4)把分母分解因式V-2尸x(尸2),对照分母，可以看出分子、分母都除以X,分式的值

不变，所以填L

三、小结：请同学们总结下本节课里你有哪些收获？

分式的基本性质成立的条件是都乘以或除以一个不等于0的整式.

四、教学反思：

这一课学生能用类比的方法很快从分数的基本性质得到分式的基本性质.但在实际运用中还

有些同学对用字母表示的式子不习惯.

《认识分式》

第1课时

教学目标

（一）教学知识点

1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.

2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.

3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.

（-）能力训练要求

1.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养

符号感.

2.培养学生认识特殊与一般的辩证关系.

（三）情感与价值观要求

通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”

的信心.

教学重难点

教学重点：

1.了解分式的形式乙8是整式），并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母；

B

一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零.

2.掌握分式基本性质的内容，并有意识地运用它化简分式.

教学难点：

1.分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零.

2.分子分母进行约分.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们先试着解答下面的问题：

面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙

造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成任务.原

计划每月固沙造林多少公顷？

这一问题中有哪些等量关系？

如果原计划每月固沙造林X公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完

成一期工程用了个月；根据题意，可得方程.

［生］根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙

造林所用的时间.（1）

［生］这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林

的公顷数.（2）

［师］这两位同学真棒！在这个问题中，谁能告诉我涉及到哪些基本量呢？它们的关系是什

么？

［生］涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率X工作时间.

［师］如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？

［生］因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作

时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林X公顷.

2400

原计划完成一期工程需——个月，

X

实际完成一期工程需C,变Q个月，

x-30

根据等量关系（1）可列出方程：

24002400

--------+4=-------.

%-30X

［师］同学们可接着思考：如何用等量关系（2）设未知数，列方程呢？

［生］因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原

计划X个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x—4）个月，那么原计划每月固沙造

林的公顷数为—24一00公顷，实际每月固沙造林2二400？公顷，根据题意可得方程

Xx-4

2400CC2400

XX-4

［师］同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？

［生］我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本

量.如2空40上0，2400,上24丝0叱0.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中

XX-4X+30

含有字母，要求出它的解，好像很不容易.

［师］的确如此.像军”,空”,必史■这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以

Xx-4-ɪ-30

分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.

从现在开始我们就来研究分式，相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性，不

久的将来，一定会很迅速准确解出上面两个方程.

II.讲授新课

1.通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别.

［师］下面我们再来看几个问题：

做一做.

（I）正"边形的每个内角为度.

(2)一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为加检，箱子的质量为〃纭，则每千克苹果

的售价是多少元？

(3)有两块棉田，有一块X公顷，收棉花R千克，第二块y公顷，收棉花〃千克，这两块

棉田平均每公顷的棉产量是多少？

(4)文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价X元销售，当这种

图书的库存全部售出时，其销售额为6元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是

多少？

［生］(1)(〃-2)/80。；(2)元；

nm-n

(3)也土您千克；(4)上册.

x+ya-x

［师］很好！我们再来看：

议一议.

LH`rnK+,I4240024002400(«-2)∙180oamx+nyb

上面问题中r出现了代数式-----,------,-----,ʌ-----------------，------,-------------,它

X%+30X-4-nm-nx+ya-x

们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？

(分组讨论后回答)

［生］上面的几个代数式的共同特征：

(1)它们都是由分子、分母与分数线构成；(2)分母中都含有字母.

［生］它们与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母.例

如：上,士生它们都含有分母，但分母中不含字母，所以它们是整式.

904

［师］同学们能够结合前后知识理解上述代数式，很好！下面我们给出这种代数式即分式的

概念：

整式4除以整式6,可以表示成全的形式.如果除式6中含有字母，那么称会为分式，其

BB

中4称为分式的分子，8称为分式的分母.

分式中，字母可以取任意实数吗？

［生］不可以.因为分式中分母含有字母，而分母是除式，不能为零.字母的取值就受到制

约即字母的取值不能使分母为零，否则，分式就会无意义.

2.例题讲解.

［师］下面我们接着来看：

想一想.

(1)下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

b-3m{n+P)X2-xy-∖-y224

5x—7,3嵬一1,

2G+l72.x—17'5b+c

(2)①当斤1,2时，分别求分式空ɪ的值.

2a

②当a为何值时，分式”1有意义？

2a

③当a为何值时，分式"！的值为零？

2a

92

［生］(1)中5χ-7,3√-l,皿〃+0,-5,2是整式;厂一孙+工

772x-1

是分式.

5b+c

(2)解：①当折1时，---=1；

Ia2x1

、1/C∏-xQ+12+13

当炉2时-，----二-----------二一

2a2×24

②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.

由分母2炉0,得华0.

所以，当a取零以外的任何实数时，分式”！有意义.

2a

③分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此a的取值有两

2a≠0

个要求:

α+l=O

所以，当，一1时，分母不为零，分子为零，分式"ɪ为零.

2a

III.随堂练习

巩固分式的概念，讨论分式有意义的条件限制.

1.当X取什么值时，下列分式有意义？

Q12

(1)(2)——；(3)—

x-1X2-9X2+\

IV.课时小结

［师］通过今天的学习，同学们有何收获？(鼓励学生积极回答)

［生］今天，我们认识了代数式里一个新的成员——分式.

［生］我们从实例中发现了分式和整式的不同的地方：分式的分母中含有字母，整式的分母

中不含字母，并且还由除式不能为零，即分母不能为零，明白了分式中的字母是有条件约束

的，分式中的字母的取值必须保证分母不为零∙

［生］……

V.活动与探究

-1A+1rs,ɪɜ+X+1,,,ɪ

已知A=--------,求----ξ-的值

第2课时

教学目标

(-)教学知识点

1.分式的基本性质.

2.利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形.

3.了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法.

4.使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式.

(-)能力训练要求

1.能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质.

2.培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力.

(三)情感与价值观要求

通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经

验的基础上，提高学生学数学的乐趣.

教学重难点

教学重点：

1.分式的基本性质.

2.利用分式的基本性质约分.

3.将一个分式化简为最简分式.

教学难点：

分子、分母是多项式的约分.

教学过程

I.复习分数的基本性质，推想分式的基本性质.

［师］我们来看如何做不同分母的分数的加法：-+

23

［师］这里将异分母化为同分母，1=—

22×36

ɪ=-ɪ-.这是根据什么呢？

33x26

［生］根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分

数的值不变.

［师］很好!分式是一般化了的分数,我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？

II.新课讲解

1.分式的基本性质

31

（1）3=上的依据是什么？

62

（2）你认为分式已与工相等吗？二与巴呢？与同伴交流.

2a2mntn

［生］（1）将3的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到.即3=2=∙L.

666÷32

依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的

值不变.

（2）分式4与L相等，在分式_E_中，a#0,所以乌=与巴=1；

2a22a2a2a÷a2

2222

77~F7n~nn"-ɪ-nn

分式2∙与己也是相等的.在分式L中，λ≠0,所以L=JΔ=K.

mnmmnmnnuι÷nm

［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？

［生］分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.

［师］在运用此性质时，应特别注意什么？

［生］应特别强调分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同

一个”“不为零”.

［师］我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.同样我们利用分式的基本性质

也可以对分式进行等值变形.

下面我们就来看一个例题.

［例2］下列等式的右边是怎样从左边得到的？

⑴2上（7≠O）;⑵竺二一

2x2xybxb

h

［生］在（1）中，因为y≠O,利用分式的基本性质，在2的分子、分母中同乘以外即

可得到右边，即-L=S_="；

lx2x∙ʃIxy

［师］很好！在（1）中，题目告诉你后0,因此我们可用分式的基本性质直接求得.可（2）

中右边又是如何从左边得到的呢？

［生］在(2)中，竺可以分子、分母同除以X得到，即竺=竺E=2.

bxbxbx÷xb

［生］“x”如果等于“0”，就不行.

在竺中，X不会为“0”，如果是“0”，竺中分母就为“0”，分式M将无意义，所以(2)

bxbxbx

∩Y∩∩Y

中虽然没有直接告诉我们x≠0,但要由巴得到包，竺必须有意义，即bx≠O由此可得b≠0

bxbbx

且x≠0.

［师］这位同学分析得很精辟！

2.分式的约分.

［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简•利用分式的基本性质也可以对分式化简.

我们不妨先来回忆如何对分数化简.

［生］化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将

分数化简.例如2，3和12的最大公约数是3,所以3=壬9=L.

121212÷34

［师］我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简.

［例3］化简下列各式：

,、a2be,八x2-1

(1)------；(2)-------------.

abX-2x+l

［师］在分数化简中，我们约去了分子、分母的公约数，那么在分式化简中，我们应如何办？

［生］约去分子、分母中的公因式.例如(1)中才历可分解为ac∙(a6).分母中也含有

因式a)因此利用分式的基本性质：

erbea^bc÷［ab')(ac-ab)÷(ab)

----=-----------=---------------ac.

abab÷{ab)ab÷(ab)

［师］我们可以注意到(D中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，

然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小

组讨论.

［生］如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低

次幕.

［师］回答得很好.可(2)中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简？

［生］通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式.

［师］这个主意很好.现在同学们自己动手把第(2)题试着完成一下.

犬—1(%—l)(ɪ+1)x+1

［生］解：(2)

x~—2x+1(X-I)~7≡T

［生］老师，我明白了，遇到分子、分母是多项式的分式，应先将它们分解因式，然后约去

公有的因式.

［师］在例3中，巡=ac,即分子、分母同时约去了整式9；√r~1,即分

αbX-2x+lx-∖

子、分母同时约去了整式x-l.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称

为分式的约分.

下面我们亲自动手,再来化简几个分式.

做一做

化简下列分式:

a{a+h)

⑴20⅞s(2)

b(a+b)

［生］解：(1)总卜=一也一ɪɪ

20x'^y(4%)∙(5孙)4x

a(a+b)a

⑵丽F万

［师］在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的:

议一议.

5xy_5x

在化简时，小颖是这样做的:

20x2y20x2y^2OX2

你对上述做法有何看法？与同伴交流.

元

［生］我认为小颖的做法中，一5之中还有公因式5x,没有化简完，也就是说没有化成最

20X2

简结果.

［师］很好！二^二如果化简成」说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最

20x2y4x

简分式.因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式.

III.巩固、提高

1.填空：

(1)士」」.；⑵4=,

x-y(尤一y)(x+y)y^-4()

2.化简下列分式:

(1)(2)x—>

9x3y2(x-y)3

IV.课时小结

［师］通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）

［生］数学知识之间是有内在联系的，利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质.

［生］分式的约分和化简可联系分数的约分和化简.

［生］化简分式时，结果一定要求最简.

V.活动与探究

实数a、。满足a炉1,记林—L—+—L,游，_+/_,比较以A'的大小.

1+。1+/?l+tz1+z7

《认识分式》

第1课时

教学目标

1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式.

2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式.

3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗

透数学中的类比，分类等数学思想.

教学重难点

教学重点：探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件.

教学难点：能通过回忆分数的意义，探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件.

教学过程

（一）复习与情境导入（填空）

（1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为米.

（2）面积为S平方米的长方形一边长为a米，则它的另一边长为米.

（3）一箱苹果售价P元，总重加千克，箱重〃千克，则每千克苹果的住售价是元.

（4）根据一组数据的规律填空：1,—……（用〃表示）.

4916

观察你列出的式子,与以前学过的有什么不同？像这样的式子叫分式.先根据题意列代数式,

并观察出它们的共性：分母中含字母的式子.

（二）实践与探索

例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

（I）L（2）（3）（4）

X2x+y3

例2、探究1、当X取什么值时，下列分式有意义？

探究2、当”是什么数时，分式尤二+的2值是零?

2x-5

根据分式的意义判断；可类比分数有意义来解决该问题；可类比分数值为O来解决.

探究3、X取何值时，分式土里的值为正？可能为负吗？

%-1

探究4、X取何整数值时，一宜的值为整数?

%-1

（三）练习：讨论探索

∣x∣-2

当X取什么数时，分式勺匕，（1）有意义；（2）值为零?

X2-4

例3、已知分式ʌ-",当尸3时，分式值为0,当下-3时，分式无意义，求a,A的值.可

2αx+b

类比分数来解.

（四）小结与作业

小结：分式的概念和分式有意义的条件.

作业：

1、下列各式分别回答哪些是整式？哪些是分式？

x+2J2,34ɪ,V一93

m,-3(X-ɪ)(ɪ—2)5

2、分式上土2,当y为_____时，分式有意义；当y为_____时，分式没有意义；当y为______

），-3

时，分式的值为0.

3、讨论探索

当X取什么数时，分式I,（1）有意义；（2）值为零？

X2-4

第2课时

教学目标

掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义.

教学重难点

教学重点：分式约分方法.

教学难点：分子、分母是多项式的分式约分.

教学过程

（-）复习与情境导入

分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

用式子表示是：

—=--------=-------------(县中必是小学丁专tr、J蛰六九

BB×MBB÷M

与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分.可类比分数的基本性质来

识记.

(二)实践与探索

例1、下列等式的右边是怎样从左边得到的？

x~+xy_x+y

(2)7="OZ(y≠-1).

/-I

特别提醒：对三等=虫，由已知分式可以知道XHO,因此可以用X去除以分式的分

子、分母,因而并不特别需要强调XH°这个条件,再如E=±*F是在已知分式

/-1

的分子、分母都乘以刀1得到的，是在条件ZHWO下才能进行的，所以，这个条件必须附

加强调.

例2、不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.

12

—X+—ʃ

(1)j——|—；(2)0.3。+0.56

0.2a—b

仔细观察分母(分子)的变化利用分式的基本性质来解题.深入理解.尝试解题.

例3、约分.

解⑵J-4=(x+2)(x∕)=W.

X—Ax+4(%—2)%—2

说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式

(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这

样的分式称为最简分式.

(Ξ)练习：约分

2axzy-2”(α+b)(α-x)2x2-4m2-3m992-1

3axy23b(a+b)(x-a)3xyjr2y'9-m298

先思考约分的方法，再解题，并总结如何约分：若分子和分母都是多项式，则往往需要先把

分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分.约分后，分子与分母不再

有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.

（四）小结：1、请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质.

2、分式的约分运算，用到了哪些知识？

让学生发表，互相补充，归结为：（1）因式分解；（2）分式基本性质；（3）分式中符号变换

规律。约分的结果是，一般要求分、分母不含“一”.

《认识分式》

第1课时

教学目标

1.能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想，进一步发展符号感.

2.了解分式的概念，明确分式与整式的区别.

3.在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性.

教学重难点

教学重点：了解分式的概念.

教学难点：能用分式表示现实情景中的数量关系.

教学过程

创设情景

面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固

沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计

划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？

（1）这一问题中有哪些等量关系？

（2）如果设原计划每月固沙造林X公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，

实际完成一期工程用了——个月；根据题意，可得方程——.

分析：（1）等量关系包括：实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30公顷;

原计划完成一期工程的时间-实际完成一期工程的时间=4个月

2400公顷

=完成一期工程的时间（月）

实际每月固沙造林的面积

“、2400240024002400，

（2）------，--------，----------------=4

XX+30X%+30

通过土地沙化问题，让学生探索问题中的数量关系，并用分式表示，进而认识分式，体会分

式的意义，发展符号感.

二.做一做

1.正"边形的每个内角为度.

2.一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为麻B，箱子的质量为∕⅛g,则每千克苹果售价

是多少元？

分式的分母不能为0(对此可

以让学生类比分数加以理

解，也可以让学生结合前边

的实际问题去理解)

进一步丰富分式的实际背景，使学生体会分式的意义.

Ξ.议一议

上面问题中出现了的这些代数式理,空9,"-2)x180,一叽,它们有什么共同特

XX+30nm-n

征？它们与整式有什么不同？

AΛ

整式/除以整式3,可以表示成刍的形式.如果除式6中含有字母，那么称色■为分式，其

BB

中/称为分式的分子，方称为分式的分母.对于任意一个分式，分母都不能为零.

这里是对前面出现的分式的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，总结出整式与分式的异同,

从而获得分式的概念.教学时不宜直接给出定义让学生死记硬背.

四.巩固应用

例：对于分式空ɪ:

2a

(1)当户1,2时，求分式竺ɪ的值;

2a

(2)当a取何值时，分式”！有意义？

2a

+a+∖_2+1_3

答案：(1)当天1时,=ɪɪ=1;当a=2时,

2x12a2×24

(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.

由分母2a=0,得年0,所以，当a取零以外的任何实数时，分式”ɪ有意义.

2«

对于例题(2),可以引导学生从两方面理解：其一，与分数类比(由特殊到一般)；其二，

字母a本身是可以表示任何数的，但这里a作为分母，要求它不能等于零(由一般到特殊).

五.回顾

想一想：什么是分式？分式中分母应注意些什么？

通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善

学生的认知结构，加深对所学知识的理解.

第2课时

教学目标

1.能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想，进一步发展符号感.

2.掌握分式的基本性质，会化简分式.

教学重难点

教学重点：分式的基本性质.

教学难点：化简分式.

教学过程

创设情景

31I?3

1.±=上的依据是什么？上呢？

62164

2.你认为分式与L相等吗？

2a2

引导学生独立思考、大胆质疑：为什么可以类比？因为字母可以表示任何的数.

二.探索交流

讨论后得出结论

3131123

1.-=-的依据是将士的分子、分母同除以3得到上；将上的分子、分母同除以4得到±.

6262164

2.当炉O时，分式色无意义；当a#O时，—=

2a2a2

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不

变.

Ξ.巩固应用

2121

1.例题：(1)化简：U;(2)化简：-W匚-

abX-2x+l

KrcfcX/八cι~bcX~-1X+1

答案：(1)------=QC;(2)—-----------=------

abX-2x+lX-I

本例承上启下.一方面它是分式基本性质的应用，另一方面由此例引出分式的约分.教学时

注意引导学生找出分子与分母的公因式.

..a~bc八gf=ι□∙+M+7妣Tx~-lx÷1日π八工八

例iu题h中----=ac,即分子、分母同时约去/整式ab；------------=------，即分子、分

abX-2x+1x-1

母同时约去了整式『1.

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

a(a÷b)

2.化简分式:

b(a+b)

注意在约分训练时，应使学生明确如下几点：①对于一个分式来说，约分就是要把分子分母

都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；②约分的关键是确定分式的分子分母的公因

式，其思考过程与分解因式中提取公因式的思考过程相似；③约分是对分子、分母的整体进

行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.

四.议一议

在化简-⅛-时.，小颖和小明出现了分歧.

20X2J

,5孙5x.,5xy5XV1

小颖：一）=——α小明rπ：—介=———

20x^y20x^20x^y4x∙5xy4

你对他们两人的做法有河看法？与同伴交流.

约分不彻底是学生容易出现的问题.教学时要根据学生出现的具体问题引导学生进行交流.

在小明的化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式.化简分式时，

通常要使结果成为最简分式或整式.

五.练习巩固

1.学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品，若以

1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买笔或日记本，

可买多少？

答案：设钢笔每支X元，日记本每本y元，则60（户2y）=50（户3y）,则产3y,于是，这

笔钱全用于买钢笔，可买6（Xx+2y）=I（XX支）；

X

这笔钱全用于买日记本，可买6（KX+2y）=3oo（支）

y

2.下列分式的恒等变形是否正确，为什么？

,«、babbe

（1）-=—；（2）-=—

aa^aac

答案：（1）由已知分式中隐含着a≠0的条件，所以可以用a分别乘以分式的分子与分母，

分式的值不变，固（1）是正确的.

（2）字母C可取任意数，当然包括零，当LO时•，分子、分母都乘以c,就会使分式没

有意义，所以（2）只有在cW0时才是正确的.

六.回顾

想一想：分式化简应注意些什么？

通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善

学生的认知结构，加深对所学知识的理解.

《认识分式》

1.用式子表示分式的基本性质：

X-1

2.对于分式

2尤+2

⑴当——时，分式的值为0；

(2)当时,，分式的值为1;

(3)当—____时,分式无意义；

(4)当—____时，分式有意义.

3.填充分子，使等式成立；上=.（）.・・

4+2（〃+2）~

4.填充分母，使等式成立：.-3W+4=_3人;4

2X2-5X-4（）

.._Sa2b3c

5.化简：一L

∖2aybc

6.(1)工4cι~÷ci。+1

(a≠0);

ahab()

⑶葛=；⑷

2+3。+2)

a1÷6tz+5a+5

7.（1）二%…=一迎三％一3,对吗？为什么？

ax-byax-by

（2）:+y=HL='-对吗?为什么？

ɪ一yɪ-ʃχ-y

Y

8.把分式一-一(x≠0,y≠0)中的分子、分母的X,y同时扩大2倍，那么分式的值（）

x+y

A.扩大2倍B.缩小2倍C,改变D,不改变

9.下列等式正确的是（）

2

b_bC-a+b,,a+bC,0.Ia-0.3。a-3b

A.B.--------ɪ-lCx.------=0Dr.---------------=---------

aa2a-ba+b0.2α+02a+b

10.不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数.

⑴鬻蒜⑵言

3

1.不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是整数.

1÷X÷x2-2+2/—3χ4

(1)-------(2)—_---v-

1+X—y3x—2—4Λ^

2.将下列各式约分.

32abb4c24a-4b

24a5b6c3Sa2-Sh2

3.将下列各式通分.

3114

(1)_L(2)

a4a2b6ab2cx+2X—2

1]23

(3)(4)

2x-2(ɪ-l)2(X—1)2x2-lU-1)(%-2)

12

(5)

(a-b)(b-c)(b-c)(a-c)

与分式二竺2相等的是（

4.).

-a-b

α+ACa-bCa+bna-b

A.----B.----C.D---------

a-ba+ba-ba+b

5.下列等式从左到右的变形正确的是（).

bh+1DbhmCahbD∙Jb2

A.B一C.-

aa+∖aamCraaa~

ɪ—2x

6.不改变分式的值,使：的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式

7+3x-3

可化为（）.

2x—l2x+l2x+12x-l

A.B.C.D.

f+3x-3x2+3x+3f+3x-3f—3x+3

X

2~y

7.将分式2—的分子和分母中的各项系数都化为整数,应为（）.

----1—

53

∖5x-l5y

A.Bn.--------C15x-3OyDx2y

3x+5y3x+5y6x+1Oy5x+3y

《认识分式》

1.不改变分式的值，使下列各组里第二个分式的分母和第一个分式的分母相同.

6x+1-4x+5a

(I)----------------，1----------(2)

x1~+X—3—X—X+3(α-b)(b-c)(h-a)(h—C)

2.下列等式的右边是怎样由左边得到的.

x-l1

(1)---=—~--(x≠3)(2)

x+2x~-X—6x2-5x+4x-4

3.下列各式正确的是（）

c

A.B.----------=-----C---.----------=--------I).

-a+ba+b—ci+bb—a-a-vba+b-a+ba-b

cr—9

4.不改变分式的值,分式F--------可变形为（）

a2一2。一3

α+3Ca-3_。+3_CL—3

A.-------B.------------C.--------D.-------

a+1a-∖a-∖a+1

5.不改变分式的值，把分式中的分子和分母按a的升暴排列，是其中最

7142

-0-3«+α-l

高项系数为正，正确的变形是（）

7—α++4。7—Q+矿一4-cι+ci—。+77-Q+Q2+4Q3

-

A.-.........B.---------------ʌ——rC.Σ--------------------D.

CI—3。+。-11—tz÷3优+Ci—a—3cι+ci-11—Q÷3〃’+

6已知i=°求代数式∙g⅞⅞⅜的值?

,_ky3-3X2-5xy+2y2/士

7r.已I知上二一，求一-——一、的值.

X42X2+3Λy-5y2

8.不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含“一”号.

⑴一⅛⅛⑵-瑞

9.下列各式正确的是()

T+y_-ʃ-ʃ-x+yx+y-x+yx-y

A.*z=qB.