2022年湖南省株洲市城南中学高二数学理模拟试题含解析

2022年湖南省株洲市城南中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题是真命题的是（

）A.“若，则”的逆命题；

B.“若，则”的否命题；C.“若，则”的逆否命题；

D.若，则”的逆否命题参考答案：D略2.与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为（

）A．

B．

ks5uC．

D．参考答案：A3.在中，角所对的边分别是，且，则A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.下列求导运算正确的是(

)A．

B．C．=

D．

参考答案：B5.如果方程﹣=1表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜1或m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＜1参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，（m﹣1）（m﹣2）＞0，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：由题意，（m﹣1）（m﹣2）＞0，∴m＜1或m＞2，故选B．6.已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10参考答案：B【考点】斜率的计算公式．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．7.三棱锥P﹣ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积是(

) A．2π B．4π C．π D．8π参考答案：B考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．解答： 解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π故选：B．点评：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．8.如右图所示，三棱柱的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱，且正视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（

）A.16

B.48

C.

D.参考答案：D略9.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(

)()A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.已知，，则等于(

)A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据余弦的半角公式化简、运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可知，则，又由半角公式可得，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用余弦函数的半角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝_____参考答案：-112.设(是两两不等的常数)，则的值是______________.参考答案：013.已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．参考答案：【考点】过两条直线交点的直线系方程；方程组解的个数与两直线的位置关系．【分析】先求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x轴的交点，与y轴的交点，得到所求的四边形，利用四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，再应用二次函数的性质求出面积最小时的k值．【解答】解：如图所示：直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即

2x﹣4+k2（y﹣4）=0，过定点（2，4），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为×4×（2k2+2﹣2）+=4k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，故答案为．【点评】本题考查直线过定点问题，二次函数的性质得应用，体现了转化及数形结合的数学思想．14.已知f（x）为奇函数，当x≤0时，，则曲线y＝f（x）在点（1，-4）处的切线方程为_______.参考答案：【分析】由题意，根据函数的奇偶性，求得，再根据导数的几何意义，即可求解曲线在点处的切线方程，得到答案.【详解】由题意，设，则，则.又由函数是奇函数，所以，即，则，所以，且，由直线的点斜式方程可知，所以.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求得在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.直线3x+4y+3=0与直线6x+8y+11=0间的距离是．参考答案：【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】把两条平行直线的方程中x、y的系数化为相同的，再由条件利用两条平行直线间的距离公式计算求得结果．【解答】解：两直线3x+4y+3=0，6x+8y+11=0，即两直线6x+8y+6=0，6x+8y+11=0，故它们之间的距离为=．故答案为．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．16.将一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成600角。则水晶球的球心到支架顶点P的距离是

___________________。参考答案：略17.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于

．参考答案：60°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】利用异面直线夹角的定义，将EF平移至MG（G为A1B1中点），通过△MGH为正三角形求解．【解答】解：取A1B1中点M连接MG，MH，则MG∥EF，MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角．容易知道△MGH为正三角形，∠MGH=60°∴EF与GH所成的角等于60°故答案为：60°【点评】本题考查异面直线夹角的计算，利用定义转化成平面角，是基本解法．找平行线是解决问题的一个重要技巧，一般的“遇到中点找中点，平行线即可出现”．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，、是椭圆C上的两个动点，且、、成等差数列。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;

（Ⅱ）求证：线段的垂直平分线经过一个定点.参考答案：

（Ⅱ）证明：设.由椭圆的标准方程为，可知同理

∴，该直线恒过一定点

……10分②当时，或线段的中垂线是轴，也过点，∴线段的中垂线过点

……12分19.已知函数 (1)若,解不等式； (2)如果，求的取值范围．参考答案：解：⑴

当时，.由得 当时，不等式化为即，其解集为． 当时,不等式化为,不可能成立，其解集为． 当时,不等式化为即，其解集为．

综上，的解集为．

⑵≥，

∴≥2，∴≥3或≤－1.

略20.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=﹣3bcosA．（1）求的值；

（2）若tanC=．试求tanB的值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由余弦定理得c=﹣3b×，由此能求出的值．（2）由正弦定理，得sinC=﹣3sinBcosA，从而sinAcosB=﹣4sinBcosA，进而tanA=﹣4tanB，由tanC=﹣tan（A+B）==，能求出tanB．【解答】解：（1）∵△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=﹣3bcosA．∴c=﹣3b×，整理，得：3（a2﹣b2）=5c2，∴=．（2）∵c=﹣3bcosA，∴由正弦定理，得sinC=﹣3sinBcosA，即sin（A+B）=﹣3sinBcosA．∴sinAcosB+cosAsinB=﹣3sinBcosA．从而sinAcosB=﹣4sinBcosA．∵cosAcosB≠0，∴=﹣4．∴tanA=﹣4tanB，又tanC=﹣tan（A+B）==，∴=，解得tanB=．21.（本小题满分10分）设为虚数单位，为正整数．试用数学归纳法证明.参考答案：①当时，，即证；

②假设当时，成立，

则当时，