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文档简介
专题26高中数学新文化综合问题小题综合
2023届江苏省新高考数学小题专项复习
30题专项提分计划
一、单选题
1.(2022秋•江苏南京•高三南京市第十三中学校考阶段练习)欧拉公式/=cosO+isin。
(其中e=2.718…,i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式建立了三角
函数与指数函数的关系,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”
根据欧拉公式,下列结论中正确的是()
A.-的实部为0B.e"在复平面内对应的点在第一象限
C.卜[=1D.e加的共轨复数为1
2.(2022秋•江苏宿迁•高三沐阳县建陵高级中学校考期中)南宋数学家杨辉在《详解九
章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所以论的高阶等差数列与
一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数
列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”,现有高阶等差数列,
其前6项分别为1,5,11,21,37,61,……则该数列的第8项为()
A.99B.131C.139D.141
3.(2022秋•江苏南通•高三校考阶段练习)皮埃尔・德•费马,法国律师和业余数学家,
被誉为“业余数学家之王”,对数学做出了重大贡献.其中在1636年发现了:若P是质
数,且整数。与P互质,那么。的P-1次方除以P的余数恒为1.后来人们称之为费马
小定理.以此定理,若在数集{2,3,4}中任取两个数,其中一个作为P,另一个作为•,
则所取两个数符合费马小定理的概率为()
A.-B.-C.\D.-
3326
4.(2022秋•江苏苏州•高三校考阶段练习)二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法
中的二十四个节气而编成的小诗歌,体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊
春清谷天,夏满芒夏暑相连;秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”中,每一句诗歌的开
头一字代表着季节,每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2
个节气,这2个节气恰好在一个季节的概率为()
5.(2022秋•江苏南通•高三江苏省如皋中学统考阶段练习)1883年,德国数学家康托提
出了三分康托集,亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示,其详细构造过程可用文字
描述为:第一步,把闭区间平均分成三段,去掉中间的一段,剩下两个闭区间[0,f
2
和[§/];第二步,将剩下的两个闭区间分别平均分为三段,各自去掉中间的一段,剩
下四段闭区间:[0,小,[|,卞,母曰,[和;如此不断的构造下去,最后剩下的各个
区间段就构成了三分康托集.若经历“步构造后,黑202不1属于剩下的闭区间,则〃的最
2022
小值是().
A.7B.8C.9D.10
6.(2022•江苏•江苏省木渎高级中学校联考模拟预测)第24届冬季奥林匹克运动会,将
于2022年2月在北京和张家口举行,北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,运用中
国书法的艺术形态,将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体,呈现出新时
代的中国新形象、新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型,下半部分表现滑
雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律,代表举办地起伏的山峦、赛场、冰
雪滑道和节日飘舞的丝带,下部为奥运五环,不仅象征五大洲的团结,而且强调所有参
赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按
以下比例(如图):若圆半径均为12,则相邻圆圆心水平距离为26,两排圆圆心垂直距
离为11,设五个圆的圆心分别为。1,。2,。3,。4,。5,若双曲线C以。,Q为焦点、以直线
。2。4为一条渐近线,则C的离心率为()
12
D.
1113111"
7.(2022•江苏连云港•模拟预测)柯西分布(Ca〃c/7y力s/ri历是一个数学期望不存在
的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西分布为X〜C(y,X0),其中当y=l,xo=O
时的特例称为标准柯西分布,其概率密度函数为和x)=了).已知X〜C(l,0),P(因
2]
<V3)=-,P(l<X<y/3)=—,则尸(X4-l)=()
。IN
A.-B.-C.-D.1
6342
8.(2022秋•江苏南通•高三开学考试)黄金分割(Go/de〃Sec而所)是一种数学上的比
例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值.应用时
一般取0.618,就像圆周率在应用时取3.14一样.高雅的艺术殿堂里,自然也留下了黄金
数的足迹.人们还发现,一些名画、雕塑、摄影作品的主题,大多在画面的0.618处.艺术
家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处,能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形
Rectang/e)的长宽之比为黄金分割率,换言之,矩形的长边为短边1.618倍.黄金
分割率和黄金矩形能够给画面带来美感,令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找
到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子,达・芬奇的《维特鲁威人》符合黄金
矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形,《最后的晚餐》同样也应用了该比
例布局.2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所
谓黄金分割,指的是把长为L的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另
一部分对于该部分之比’黄金分割比为浮10.618.其实有关“黄金分割”,我国也有
记载,虽没有古希腊的早,但它是我国数学家独立创造的.如图,在矩形ABCD中,AC,
8。相交于点O,BF1AC,DHA.AC,AELBD,CGLBD,BE=,则3尸=
2
B,上BB
A.HA+±5G
210210
C.^1BA+^^-BG
D.+—BG
21025
9.(2022秋•江苏盐城•高三校联考阶段练习)把一条线段分为两部分,使其中一部分与
全长之比等于另一部分与这部分之比,其比值是一个无理数理,由于按此比例设计
的造型十分美丽柔和,因此称为黄金分割,黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音
乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在ABC中,
点。为线段的黄金分割点(或>>DC),AB=2,AC=3,ZBAC=fX)°,则成>.病=
A775-9口9-7A/5-96-7n7-96
2222
10.(2022•江苏常州•常州高级中学校考模拟预测)复兴号动车组列车,是中国标准动车
组的中文命名,由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先
进水平的动车组列车.2019年12月30日,CR4003尸-C智能复兴号动车组在京张高铁
实现时速350km自动驾驶,不仅速度比普通列车快,而且车内噪声更小.我们用声强/(单
位:W/n?表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度,声强级L(单位:dB与声
强/的函数关系式为L=101g(a/),已知LUw/n?时,乙=10d瓦若要将某列车的声强
级降低30dB,则该列车的声强应变为原声强的()
A.10-5倍B.KT1倍C.10-3倍口.10以倍
11.(2022秋•江苏镇江•高三江苏省丹阳高级中学校联考阶段练习)意大利著名天文学
家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年,雅各布・伯努利
正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰•伯努利和
菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案,给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型
XX
Xel,+e
函数:f(x}-aCO^-a°(e为自然对数的底数).当。=2时,记P=2),
La2
«=«=则P,m,〃的大小关系为()
A.m<p<nB.m<n<p
C.n<m<pD.p<m<n
12.(2022秋•江苏连云港•高三校考阶段练习)刍(c碗)薨(加函g)是中国古代算数中的一
种几何体,其结构特征是:底面为长方形,上棱和底面平行,且长度不等于底面平行的
棱长的五面体,是一个对称的楔形体.
上棱长
已知一个刍薨底边长为6,底边宽为4,上棱长为2,高为2,则它的表面积是()
A.24A/2B.24+240
C.24+24岔D.24+16A/2+8A/5
13.(2022•江苏南京•高三金陵中学校考学业考试)德国数学家狄里克雷在1837年时提
出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,那么y是x的函数
这个定义较清楚地说明了函数的内涵:只要有一个法则,使得取值范围中的每一个羽
有一个确定的y和它对应就行了,不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示,
例如狄里克雷函数。(x),即:当自变量取有理数时,函数值为1;当自变量取无理数
时,函数值为0.下列关于狄里克雷函数。(x)的性质表述错误的是()
A.D(n)=0B.。⑺的值域为{0,1}
C.。(句的图象关于直线x=l对称D.。(同是增函数
14.(2022•江苏苏州•校联考模拟预测)《九章算术》卷第五《商功》中,有“贾令刍童,
上广一尺,袤二尺,下广三尺,袤四尺,高一尺.”,意思是:“假设一个刍童,上底面
宽1尺,长2尺;下底面宽3尺,长4尺,高1尺.”(注:刍童为上下底面为相互平
行的不相似长方形,两底面的中心连线与底面垂直的几何体),若该几何体所有顶点在
一球体的表面上,则该球体的体积为()立方尺
A.叵兀B.4brC.义匣兀D.3屈兀
36
15.(2022•江苏南京•统考模拟预测)足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最
具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一,2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球
赛.比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行.已
知某足球的表面上有四个点A,B,C,。满足A2=BC=AO=BD=C£>=J5dm,二面
角A-9-C的大小为胃,则该足球的体积为()
.7A/42^.3035&万3C14万320兀,
A.-------dm3B.---dm3C.——dm'3D.---dm33
27272727
二、多选题
16.(2022秋•江苏盐城•高三阜宁县东沟中学校考阶段练习)若正整数租.“只有1为公
约数,则称机,〃互质,对于正整数比(P(%)是不大于左的正整数中与人互质的数的
个数,函数9(k)以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如:。(2)=1,。⑶=2,
0(6)=2,0(8)=4.已知欧拉函数是积性函数,即如果根,〃互质,那么=,
例如:0(6)=。(2)°(3),贝1J()
A.夕(5)=°(8)
17.(2022•江苏•高三专题练习)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒
部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内
壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容
积不大于半球体积的2倍,则R的取值可能为()
18.(2022春•江苏•高三校联考阶段练习)若正整数以〃只有1为公约数,则称私〃互质.
对于正整数",。(")是小于或等于”的正整数中与〃互质的数的个数,函数夕(")以其首
名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如:夕⑶=2,0(7)=6,夕(9)=6,则()
A.数列加(3")}为等比数列B.数列32〃)}单调递增
71
C.log7^(7)=6+log76D.数列1■的前"项和为S",贝J
S.W4.
三、填空题
19.(2022秋•江苏南京•高三校联考阶段练习)数学中有许多美丽的错误,法国数学家
费马通过观察计算曾提出猜想:形如勺=22"+15=0,1,2,…)的数都是质数,这就是费
马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数,从而否定了这一
种猜想.现设:4=〃zlog2(£—1)(〃=1,2,3,-),为常数,S”表示数列{%}的前"项
和,若$6=126,贝lja5=.
20.(2022•江苏南京•校考模拟预测)2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时,它
将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一
年分为24个节气,如图所示,相邻两个节气的日号长变化量相同,冬至日号长最长,
夏至日署长最短,周而复始.已知冬至日号长为13.5尺,芒种日署长为2.5尺,则一年
中夏至到立冬的日号长的和为_____尺
科长逐渐变小
女率AOO
力・240八20大暑
立秋)
秋分
曷氏逐渐变大
21.(2022秋•江苏常州•高三校联考阶段练习)法国数学家费马被称为业余数学之王,
很多数学定理以他的名字命名.对A5C而言,若其内部的点P满足
NAPB=ZBPC=ZCPA=120,则称尸为一ABC的费马点.在一ABC中,已知ABAC=45,
设P为..ABC的费马点,且满足NPBA=45。,PA=4.则△3PC的外接圆半径长为
22.(2022•江苏•高三专题练习)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一
世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算
弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=[(弦
x矢+矢x矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按
照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为看,弦长
为40属的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为
平方米.(其中万〜3,V3-1.73)
23.(2022•江苏盐城•盐城市第一中学校考模拟预测)在ABC中,角A,B,C的对边
分别为。,b,c,若p=g(a+b+c),则三角形的面积5=Jp(p-a)(p-6)(p-c),
这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中,故称该公式为海伦公式.将
海伦公式推广到凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线,其余各边均在此
直线的同侧)中,即“设凸四边形的四条边长分别为。,b,c,d,p^a+b+c+d),
凸四边形的一对对角和的一半为6,则凸四边形的面积
S=-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abedcos26”.如图,在凸四边形ABCD中,若AB=2,
BC=4,CD=5,DA=3,则凸四边形ABCD面积的最大值为.
24.(2022•江苏连云港•模拟预测)建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计.组
合墙是指带有门或窗等的隔墙,假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件,各种
部件的面积分别为加,邑,…,斗(单位:n?),其相应的透射系数分别为却,G,…,
如,则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值3确定:
「=W「,于是组合墙的实际隔声量(单位:dB)为R=41n2・已知某
墙的透射系数为?,面积为20m2,在墙上有一门,其透射系数为奈,面积为2n
则组合墙的平均隔声量约为dB.(注:e^^.e"一)
1
25.(2022•江苏•高三专题练习)将杨辉三角中的每一个数C;都换成西尸,就得到
一个如图所示的分数三角形,成为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出
111111111
(〃+i)c:+("+i)c:「商7'令诟++高+(“+])《,则""=
1
I
J_J_
22
J_!!
363
1111
412124
11111
52030205
J_J_J_J_J_J_
6306060306
1111111
742W5140W5427
四、双空题
26.(2022秋•江苏•高三校联考开学考试)祖瞄是我国南北朝时期伟大的数学家,他于
5世纪末提出了“幕势既同,则积不容异”的体积计算原理,即“夹在两个平行平面之间的
两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,
那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线V=±2与双曲线尤2—J?=4及其渐近线围成
的平面图形G如图所示.若将图形G被直线y=t(-2<t<2)所截得的两条线段绕y轴旋
转一周,则形成的旋转面的面积3=;若将图形G绕V轴旋转一周,则形成的旋
转体的体积.
27.(2022•江苏南京•高三金陵中学校考学业考试)龙曲线是由一条单位线段开始,按下
面的规则画成的图形:将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边,
依次画出所有直角三角形的两段,使得所画的相邻两线段永远垂直(即所画的直角三角
形在前一代曲线的左右两边交替出现).例如第一代龙曲线(图1)是以A4为斜边画出
等腰直角三角形的直角边A4、44所得的折线图,图2、图3依次为第二代、第三代
龙曲线(虚线即为前一代龙曲线).4、4、人为第一代龙曲线的顶点,设第〃代龙曲
线的顶点数为%,由图可知4=3,a2=5,%=9,则%=___________;数歹叫-----
aa
[„n+i
的前”项和S,,=.
图1
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