2024年中考数学复习：圆 真题练习题汇编（含答案解析）

2024年中考数学复习：圆真题练习题汇编

一.选择题（共2小题）

1.（2023•温州）如图，四边形ABC。内接于。。,BC//AD,ACA.BD.若NAO3=120。，

则NCA。的度数与BC的长分别为（）

A

2.（2023•杭州）如图，在。。中，半径04,。8互相垂直，点C在劣弧AB上.若NA8C=19°,

二.填空题（共9小题）

3.（2023•温州）若扇形的圆心角为40°,半径为18,则它的弧长为.

4.（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm,母线长为50cm,则烟囱帽的侧面积为

5.（2023•绍兴）如图，四边形4BCD内接于圆O,若N£）=100°,则NB的度数是

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6.（2023•浙江）如图，点4是外一点，AB,AC分别与OO相切于点8,C,点。在BDC上.已

知/A=50°,则NQ的度数是.

B

7.（2023•金华）如图，在△4BC中，AB=AC-6cm,N8AC=50°,以48为直径作半圆，交BC

于点D,交AC于点E,则弧DE的长为cm.

C

8.（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是0。的内接正六边形，设正六边形A8CDEF的面积为Si,

S.

△ACE的面积为S2，则」=

s2

9.（2023•温州）图1是4X4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为&,现将它剪拼成一个

“房子”造型（如图2）,过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形。EF作为题字区

域（点A,E,D,B在圆上，点C,尸在A8上），形成一幅装饰画，则圆的半径为.若

点A,N,M在同一直线上,DE=4^EF,则题字区域的面积为.

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A

10.（2023•浙江）一副三角板ABC和DE/中，ZC=ZD=90°,ZB=30°，ZE=45°,BC=

EF=\2.将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CO与A8相交于点G（如图1）,此时线段CG

的长是.现将△£>£：/绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2）,边EF

与AB相交于点H,连结DH,在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积

是.

11.（2023•宁波）如图，在RtZVIBC中，/C=90°,E为A8边上一点，以AE为直径的半圆。与

8c相切于点。，连结AD,BE=3,BD=3娓.P是A8边上的动点，当△AOP为等腰三角形时,

AP的长为.

三.解答题（共7小题）

12.（2023•金华）如图，点A在第一象限内，0A与x轴相切于点B,与），轴相交于点C,D,连结

AB,过点A作于点/

（1）求证：四边形A3OH为矩形.

（2）已知0A的半径为4,0B=41，求弦C£>的长.

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13.(2023•绍兴)如图，A3是OO的直径，C是。。上一点，过点C作。O的切线C£>,交A8的

延长线于点。，过点A作AE_LC£>于点£

(1)若NE4c=25°,求NACD的度数；

(2)若OB=2,BD=l,求CE的长.

E

14.(2023•浙江)已知，AB是半径为1的的弦，的另一条弦CD满足CO=48,且C£>,

AB于点H(其中点，在圆内，且CH>DH).

(1)在图1中用尺规作出弦CZ)与点4(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)连结A。，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段A。的长度是否变化？若发生变化，说

明理由；若不变，求出AO的长度；

(3)如图2,延长AH至点F,使得HF=AH,连结CF,ZHCF的平分线CP交AD的延长线于

点尸，点用为AP的中点，连结若PO=Lf>,求证：MHLCP.

2

15.(2023•丽水)如图，在。0中，48是一条不过圆心。的弦，点C,。是赢的三等分点，直径

CE交AB于点尸，连结A。交CF于点G,连结AC,过点C的切线交BA的延长线于点H.

(1)求证：AD//HC；

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(2)若型=2,求tan/MG的值；

GC

(3)连结BC交AD于点N,若。。的半径为5.

下面三个问题，依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答.

①若0F=8,求8c的长；

2

②若4”=，而，求△AN8的周长；

③若“户45=88,求△BHC的面积.

16.(2023•杭州)如图，在。0中，直径A8垂直弦C£＞于点E,连接AC,AD,BC,作CFJ_AD

于点尸，交线段08于点G(不与点O,8重合)，连接OF.

(1)若BE=l,求GE的长.

(2)求证：Bd=BG・BO.

(3)若FO=FG,猜想/C4。的度数，并证明你的结论.

17.(2023•台州)我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点

的位置刻画圆上点的位置.如图，A8是。。的直径，直线/是00的切线，8为切点.P,Q是

圆上两点(不与点A重合，且在直径AB的同侧)，分别作射线AP,A。交直线/于点C,点。.

(1)如图1,当A8=6,8P长为ir时，求BC的长；

(2)如图2,当坦萼，康=同时，求区•的值；

AB4CD

(3)如图3,当sin/BAQqg，BC=CDH寸，连接8P,PQ,直接写出黑的值.

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AAA

图1图2图3

18.(2023•宁波)如图1,锐角^ABC内接于。O,。为8C的中点，连结AO并延长交。。于点E,

连结BE,CE,过C作AC的垂线交AE于点F,点G在AO上，连结BG,CG,若BC平分NEBG

且/8CG=NAFC.

图1图2

(1)求NBGC的度数.

(2)①求证：AF^BC.

②若AG=O凡求tan/GBC的值.

(3)如图2,当点O恰好在2G上且OG=1时，求AC的长.

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圆（真题汇编）2023年浙江省中考数学试题全解析版

参考答案与试题解析

一.选择题（共2小题）

1.（2023•温州）如图，四边形ABCZ）内接于。O,BC//AD,AC±BD.若NAO£>=120°,A£>=北,

则/C4O的度数与的长分别为（）

©

A.10°,1B.10°,V2C.15°,1D.15°,V2

【答案】C

a

【解答】W-：：BC//ADt

:・/DBC=/ADB,

・,・篇=而，

AZAOB=ZCOD,ZCAD=ZBDAf

VDB1AC,

AZAED=90°,

：.ZCAD=ZBDA=45Q,

・・・/AOB=2/ADB=90°,ZCOD=2ZCAD=90°,

•・•NA00=120°,

AZBOC=360°-90°-90°-120°=60°,

・・•OB=OC,

△08C是等边三角形，

:.BC=OB,

•••04=00,NAOO=120°,

：,ZOAD=ZODA=30°,

:.AD=M（）A=a，

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，OA=1,

：.BC=\,

：.ZCAO=ZCAD-ZOAD=45°-30°=15

故选：C.

A

2.（2023•杭州）如图，在OO中，半径04,08互相垂直，点C在劣弧A8上.若NA8C=19°,

【答案】D

【解答】解：连接OC,

VZABC=19°,

.../AOC=2/A8C=38°,

•.•半径04,08互相垂直，

AZA0B=90°,

AZBOC=90°-38°=52°,

/.ZBAC=AZBOC=26°,

2

故选：D.

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3.（2023•温州）若扇形的圆心角为40°,半径为18,则它的弧长为4n.

【答案】4Tt.

【解答】解：由弧长公式得407Txi8

180

故答案为：47T.

4.（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm,母线长为50cm,则烟囱帽的侧面积为

【解答】解：烟囱帽的侧面积为：Lx如X30X50=1500n（cm2）,

2

故答案为：1500m

5.（2023•绍兴）如图，四边形ABCQ内接于圆O,若/。=100°,则的度数是80°

【解答】解：•.•四边形ABCE）内接于圆O,

.,.ZB+ZD=180°,

VZD=100°,

.,.ZB=80".

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故答案为：80。.

6.（2023•浙江）如图，点4是。。外一点，AB,AC分别与。。相切于点8,C,点。在BDC上.已

知/A=50°,则/£＞的度数是65°

B

【答案】65°.

【解答】解：连接OC,OB,

,：AB,AC分别与。。相切于点8,C,

：.ZACO=ZABO=90°,

VZA=50°,

二NCOB=360°-ZA-ZACO-NABO=130°,

AZD=yZC0B=65°，

7.（2023•金华）如图，在△ABC中，AB=AC=6cm,ZBAC=50°,以A8为直径作半圆，交BC

于点D,交AC于点E,则弧DE的长为之cm.

C

【答案】耳.

6

【解答】解：连接OE,OD,

'：OD=OB,

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:.NB=/ODB,

\"AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZC=ZODB,

：.OD//AC,

：.ZEOD^ZAEO,

"：OE=OA,

：.ZOEA=ZBAC=50°,

.".ZEOD=ZBAC=50°,

VOD=-1AB=AX6=3(cm),

22

二施的长=§°7TX3.=8n(c〃?).

1806

故答案为：立m

6

C

8.（2023•杭州）如图，六边形A8CDEF是O。的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S,

S.

△ACE的面积为S2，则」■=2.

【答案】2.

【解答】解：如图所示，连接。4,OC,OE.

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A

B

,/六边形ABCDEF是。。的内接正六边形,

：.AC^AE=CE,

.♦.△4CE是。。的内接正三角形,

VZB=I2O°,AB=BC,

二NBAC=/BC4=」(180°-ZB)=30°,

2

VZCAE=60°,

.../O4C=/OAE=30°,

...NBAC=/OAC=30°,

同理可得，ZBCA=ZOCA=30°,

又：AC=AC,

：./\BAC^^OACCASA),

••SABAC-S4AOC，

圆和正六边形的性质可得，S/\BAC=S&AFE=S1CDE，

由圆和正三角形的性质可得，S^OAC=SAOAE=SAOCE,

VSi=S^BAC+S^AEF+S^CDE^S^OAC+S^OAE+SAOCE=2(S^OAC^SAOAE+SAOCE)=2SZ，

故答案为：2

9.（2023•温州）图1是4X4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为&,现将它剪拼成一个

“房子”造型（如图2）,过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CCEF作为题字区

域（点A,E,D,B在圆上，点C,尸在A8上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5.若点

A,N,M在同一直线上，AB//PN,£＞后=返£尸，则题字区域的面积为_2生®

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A

【解答】解：如图所示，依题意，GH=2=GQ,

,过左侧的三个端点Q,K,L作圆，QH=HL=4,

又NKLQL,

二。在KN上，连接0Q,则0Q为半径,

'：OH=r-KH=r-2,

在RtZ\OHQ中，OH2+QH2=QO2,

r.(r-2)2+42=J,

解得：r=5；

连接OE,取EO的中点T,连接07,交AB于点S,连接P8,AM,过点。作OU_LAM于点U.

连接OA.

由AOUNsANPM,可得四=地=变,

_NPPMMN

：.OU=2LI1-.MN=2辰,

5

:.NU=里,

5_

•,.At/=^0A2_0U2=n^I,

0

:・AN=AU-NU=2匹,

:・AN=MN,

u

：AB//PNf

：.ABLOT,

：.AS=SB,

:.NS〃BM,

:・NS〃MP,

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・・・M,P,3共线,

又NB=NA,

：.ZABM=90°,

,:MN=NB,NPLMP,

:.MP=PB=2,

:.NS=LMB=2,

2

•・・K"+”N=2+4=6,

/.ON=6-5=1,

A05=3,

,­,DE=V6EF，

设EF="="，则ET-|DE聆a，

在Rtz^OET中，0炉=0产+75，即52=区+a）2+（亭2）2,

整理得5/+i2“-32=0,

即（a+4）（5a-8）=0,

解得：a普或。=-4,

5

,题字区域的面积为V6a2-^-V6-

故答案为：5,

图1I也

10.（2023•浙江）一副三角板ABC和OEF中，ZC=ZD=90°,/8=30°,ZE=45°,BC=

EF=\2.将它们叠合在一起，边BC与E尸重合，C。与AB相交于点G（如图1）,此时线段CG

的长是6加-6后.现将尸绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2）,边E尸与AB相

交于点“，连结在旋转0°到60°的过程中，线段。H扫过的面积是18+12n-18j^.

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图1图2

【答案】6企-6加；18+12TT-1873.

【解答】解：如图1,过点G作GKLBC于K,则NCKG=NBKG=90°,

C(F)

图I

VZBCD=45°,

.♦.△CGK是等腰直角三角形，

：.CK=GK=^-CG,

2

：8C=12,

：.BK=BC-CK=12-近CG,

2

在RtZXBGK中，/GBK=30°,

.•巫=tan/G8K=tan30。=近

BK3

:.BK=MGK,

即12-亚CG=V^X近CG,

22

*'-CG=6A/6_65/2：

如图2,以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE'交A8于H',连接

DD',过点。作。M_LAB于M,过点C作于N,

则NBCE'=ZDCD'=60°,点£＞的运动轨迹为DD'，点”的运动轨迹为线段，

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E'

图2

...在旋转0°到60°的过程中，线段OH扫过的面积为SMDO+S窗形COD-SACD»，

VCD=BC*cosCBD=12cos45°=6&,

:.DG=CD-CG=6近-(6A/^-6&)=12&-6五，

'：ZBCD+ZABC=f>0°+30°=90°,

AABH'C=90°,

在RtZ\BCH'中，CH'=BC*sin30°=12X」=6,BH'=8C・cos30°=12X2Z1_=6禽,

22

,：/\CD'E'是等腰直角三角形，NCD1E'=90°,D'H'JLCE',

：.D'H'=」CE'=6,

2

：.BD'=673+6，

'：DM±AB,

:.NDMG=90",

:.NDMG=NCH'G,

■:/DGM=NCGH',

：.4DGMs丛CGH',

•DD=DG即DM=12^-6a

-时CG->T6V6-6V2,

:.DM=3M-3,

,:CD'=C£>=6&,ZDCD'=60。，

/.△CDD,是等边三角形，

：.ZCDD'=60°,

,：CN±DD',

：.CN=CD'smZCDD'=6&sin60。=3企，

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二・Sz\8£>D+S扇形CQD_S^CDD'=—X(6^/^+6)X(3A/3~3)+60冗・(W^)2-与X6MX

23602

3&=18+12n-18百；

故答案为：676-672；18+12TT-1873.

11.(2023•宁波)如图，在RtZ\A8C中，ZC=9O°,E为A8边上一点，以AE为直径的半圆。与

BC相切于点。，连结A。，BE=3,BD=3遥.P是AB边上的动点，当△4£>/>为等腰三角形时,

AP的长为6或27^3.

【答案】6或2病.

【解答】解：如图1,连接0£＞,DE,

•.•半圆。与3c相切于点O,

：.ODLBC,

在RtZ\OBO中，OB=OE+BE=OD+3,BD=3娓.

：.OB2^BD2+OD1,

：.(OC+3)2=(3遥)2+OD2,

解得OD=6,

：.AO=EO=OD=6,

①当AP=P£＞时，此时P与O重合，

：.AP=AO=6；

②如图2,当AP'=40时，

在RtAABC中,

VZC=90",

J.ACLBC,

J.OD//AC,

:ABODsXBAC,

•.•0D_BD_—B^0―＞，

ACBCBA

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•6=3函=3+6

,•AC375HD3+6+6'

；.AC=10,CD=2匹,

A£>==V100+20=2倔,

：.AP'=AO=2V^5；

③如图3,当。P''=AD时，

•：AD=243Q,

：.DP''=AD=2V30>

"：OD=OA,

：.ZODA=ZBAD,

J.OD//AC,

.'.ZODA^ZCAD,

：./BAD=NCAD,

平分NBAC,

过点。作DH±AE于点H,

：.AH=P"H,DH=DC=2匹,

"：AD=AD,

：.RtAADH^Rt/\ADC(HL),

：.AH=AC=\0,

：.AH=AC=P"H=10,

：.AP"=24H=20(E为AB边上一点，不符合题意，舍去)，

综上所述：当△A3P为等腰三角形时，AP的长为6或2倔.

故答案为：6或2倔.

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A

图1

三.解答题（共7小题）

12.（2023•金华）如图，点A在第一象限内，0A与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连结

AB,过点A作AHLCZ）于点H.

（1）求证：四边形480〃为矩形.

（2）已知OA的半径为4,OB=F，求弦CO的长.

【答案】⑴见解析;

(2)6.

【解答】(1)证明：与x轴相切于点8,

，AB_Lx轴

5L'：AHVCD,HOA.OB,

：.ZAHO^NHOB=ZOBA=90°,

二四边形AHO8是矩形;

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(2)解：连接A。，

•.•四边形AHOB是矩形，

:.AH=OB=5,

\'AD=AB=4,

22

•••DH=VAD-AH=V42-(V7)2=3'

'：AH±CD,

13.(2023•绍兴)如图，A8是。。的直径，C是。。上一点，过点C作。0的切线CQ,交AB的

延长线于点。，过点A作AE_LC£＞于点E.

(1)若NEAC=25。，求NACO的度数：

(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.

E

【解答】解：(1)•••AELCO于点E,

ZAEC=90°

.•./ACO=NAEC+/E4C=90°+25°=115°；

(2)：CD是O。的切线，

二半径OCLDE,

，/OCO=90°,

'：OC=OB=2,80=1,

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：.OD=OB+BD=3,

•••CD=M29c2=遥.

•.,/OCO=/AEC=90°,

：.OC//AE,

•CDOD

*'CE=OA'

.V53

••=—，

CE2

3

14.（2023•浙江）已知，A8是半径为1的的弦，。0的另一条弦CC满足C£）=AB,且CO_L

AB于点，（其中点”在圆内，S.AH>BH,CH>DH\

（1）在图1中用尺规作出弦CC与点H（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连结A。，猜想：当弦43的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说

明理由；若不变，求出AO的长度；

（3）如图2,延长A4至点F,使得“尸=A〃，连结C~,的平分线CP交40的延长线于

点P,点M为AP的中点，连结HM.若PO=L。，求证：MH1.CP.

2

【答案】（1）作图见解析：

（2）线段是定长，长度不发生变化，值为我；

（3）证明见解析.

【解答】（1）解：如图1,C。、点”即为所求；

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（2）：当弦4B的长度发生变化时，线段A。的长度不变；

如图，连结A。，连接。。并延长交。。于E,连结AE,AC,过。作OFLAB于F,ONLCD于

：.OF=ON,

•••四边形OFHN是正方形,

:.FH=NH,

：.AF+FH=CN+NH,即AH=CH,

...△AC"是等腰直角三角形，

，NC=45°,

VAD=AE«

.,.NE=/C=45°,

是。0的直径，

，/EAO=90°,

/.ZADE=45°,

...△4L»E是等腰直角三角形，

：.AE^AD,

第22页共37页

：.AD=DE*sinZE=y/2<

线段AO是定长，长度不发生变化，值为加；

(3)证明：如图3,延长C。、FP,交点为G,

:HF=AH,

.•.点〃为AF的中点，

又：点M为AP的中点，

；.例”是△4P尸的中位线，

J.MH//PF,MH=、PF,

2

又•.•pOnJiA。，PM=AM,

2

：.MD^^PD,

2

'：MH//GP,

：.4MHD=4PGD,

又,：NMDH=NPDG,

:.△MDHS^PDG,

••--M--H=---M-D-=—1»

GPPD2

即GP=2MH=PF,

如图3,作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N,连结GN、FN,

是NHCF的平分线，

：.ZGCP=ZFCP,

：.GN=NF,

♦：GP=PF,GN=NF,PN=PN,

:.4GPNm/XFPNCSSS),

：.NGPN=NFPN=90°,

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C.PFLCP,

'：MH//PF,

：.MH±CP.

证法二：过点尸作PGLHF于G点，

由PG//DH,

：.HG-AH=PD：A£>=1：2,

'：AH=HF,

:.HG：WF=1：2,即G是4F中点，

：.PH=PF,

\"CP^ZDCF,过点尸作PK_LCH于点K,PELCF于点、E,

------------

：.ZKPE=i35Q,PK=PE,

.,.△PHK妾APFE(HD,；.NHPF=135°,ZPFG=22.5,

在△(>>尸中，由内角和推得/CPF=90°,

J.MNLCP

15.(2023•丽水)如图，在00中，AB是一条不过圆心。的弦，点C,。是金的三等分点，直径

CE交A8于点F,连结交CF于点G,连结AC,过点C的切线交BA的延长线于点H.

(1)求证：AD//HC；

(2)若5_=2,求tan/fiAG的值；

GC

(3)连结8c交AO于点N,若。。的半径为5.

下面三个问题，依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答.

①若。尸=5,求8c的长；

2

②若求△ANB的周长；

③若HF・AB=88,求△B〃C的面积.

第24页共37页

(2)tan/MG的值为1.

5

(3)①BC的长为殳位.

2

②XANB的周长为.13^^4^.

53

③△BHC的面积为』里.

5

【解答】(1)证明：点C,。是定的三等分点,

AC=S=DB-

由CE是。0的直径可得CEVAD,

是。。的切线，

：.HC±CE,

C.AD//HC.

(2)解：如图1,连接A0,

图1

••,BD=CE.

：.ZBAD=ZCAD,

'：CEVAD,

第25页共37页

AZAGC=ZAGF=90°,

AACAG^AMG(ASA),

:.CG=FG,

设CG=〃，则FG=m

•-•-O--G_

CG

OG—2,ciiAO=CO=3〃.

在RjOG中，AO2=AG2+OG2,

(3a)2=AG2+(2a)2

•••AG=V5a，

,•tan/FAG=^-

AG5

答：tan/必G的值为近■.

5

(3)解：①如图1,•.•。卜］,OC=OA=5,

*CF4

5

・CG=FG=

•OG耳

4

♦AG代记唔

9

：CE.LADf

：.AD=2AG=^H.,

2

VAC=CD=DB)

•AD=CB>

・577

••BC=AD=，^・

答：BC的长为品叵.

2

②如图2,连接8,

第26页共37页

：.AH=AF,

'：ZHCF=90a,

•••AC=AH=AF=VI3，

设CG=x,则FG=x,0G=5-x,

由勾股定理得AG2=AC)2-OG2=AC2-CG2,

即25-(5-x)2=10-/,

解得x=l,

.•.AG=3,AO=6,

VCD=DB，

：.ZDAC=ZBCDf

•：NCDN=ZADC,

:•丛CDNsXADC,

・NDCD

VZBAD=ZDAC9NABN=NADC,

：./\ANB^/\ACDf

•cc、，AN="crTTT、，1313^1026

•-CAANB=CAACDx配-(6+W^JXg5n5后.

答:AANB的周长为13历

53

③如图3,过点。作于点M,则AM=HB=/AB，

第27页共37页

图3

设CG=x,则FG=x,0G=5-x,OF=5-lx,

由勾股定理得AG2^AO2-OG2=25-(5-x)2,

AF2=AG2+FG2=IOX-f+7=lOx,

,JAD//HC,FG=CG,

：•AH=AF=yHF,

，AG《HC，

；•AF•AM=[HF・《・AB=)X88=22，

2244

VZAGF=ZOMF=90°,NAFG=NOFM,

：.△AFGs△。尸M,

•AF_GF.

"OF"FM'

：.AF'FM^OF-GF,

：.AF'AM=AF<AF+FM')=AF2+AF-FM^AF2+OF-GF=22,

可得方程lOx+x(5-2x)=22,

解得xi=2,M=5.5(舍去)，

:.CG=FG=2,

**•OG=3,

・・・AG=4,

.\HC=8,AH=AF=2V5,

••SAC/M-8,

*：AD〃HC,

：.ZCAD=ZACH,

VAC=CE，

第28页共37页

:・/B=/CAD,

I.NB=NACH,

FBHC=8X端)2号

答：△Bbc的面积为a型.

5

16.(2023•杭州)如图，在。。中，直径A8垂直弦C£＞于点E,连接AC,AD,BC,作CF_LAD

于点凡交线段OB于点G(不与点O,8重合)，连接。尸.

(1)若BE=l,求GE的长.

(2)求证：BC2=BG-BO.

(3)若FO=FG,猜想/CAO的度数，并证明你的结论.

【答案】⑴I;

(2)证明过程见解答:

(3)NC4O=45°,证明见解析.

【解答】(1)解：直径AB垂直弦。,

：.ZAED=90°,

.\ZDAE+ZD=90o,

VCF1AD,

.".ZFCD+ZD=90°,

：.ZDAE=ZFCD,

由圆周角定理得/D4E=/8C£>,

:./BCD=NFCD,

在ABCE和△GCE中,

第29页共37页

，ZBCE=ZGCE

"CE=CE，

ZBEC=ZGEC

:.△BCEQXGCE(ASA),

:.GE=BE=1；

(2)证明：是00的直径，

：.ZACB=90°,

AZACB=ZCEB=90°,

ZABC=ZCBE,

:*△ACBs/\CEB,

•BC=BA

**BEBC*

：.BC2-=BA'BE,

由(1)知GE=8E,

:.BE=1BG,

2

：AB=2B。，

：.BC2=BA，BE=2B0•工BG=BG，BO；

2

(3)解：/。。=45°,证明如下：

如图，连接0C,

"：FO=FG,

.\ZFOG=ZFGO,

；直径A8垂直弦CD,

：.CE=DE,ZAED^ZAEC=90°,

"：AE=AE,

：.AACE^AADE(SAS),

：.ZDAE^ZCAE,

设/£>AE=NCAE=a,NFOG=/FGO=0,

则NFCD=NBCD=ZDAE=a,

".'OA=OC,

：.ZOCA^ZOAC=a,

VZACB=90°,

第30页共37页

，ZOCF=ZACB-ZOCA-ZFCD-N8CQ=90°-3a,

VZCGE=ZOGF=p,NGCE=a,ZCGE+ZGCE=90°,

Ap+a=90°,

Aa=90°-的

'/ZCOG=ZOAC+ZOCA=a+a=2a,

AZCOF=ZCOG+ZGOF=2a+p=2(90°-0)+0=180°-p,

AZCOF=NAO产，

在△COF和△AOE中，

CO=AO

<ZC0F=ZA0F>

OF=OF

：./\COF^/\AOF(SAS),

：.ZOCF=ZOAF,

即90°-3a=a,

；.a=22.5°,

：.ZCAD=2a=45°.

17.（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点

的位置刻画圆上点的位置.如图，A8是。。的直径，直线/是。。的切线，8为切点.P,Q是

圆上两点（不与点A重合，且在直径48的同侧），分别作射线AP,4。交直线/于点C,点。.

（1）如图1,当A8=6,3P长为n时，求BC的长；

（2）如图2,当亟二，BP=PQ0'j',求现的值；

AB4CD

（3）如图3,当sinNBAQ=^，BC=C£＞时，连接BP,PQ,直接写出学的值.

4BP

第31页共37页

AAA

图1图2图3

【答案】(1)BC=2M；

(2)理■=•1；

CD4

(3)型=近乙

BP4

【解答】解：(1)如图，连接0P,

设/BOP的度数为,

：AB=6,就长为m

•n兀X3

180

."=60,BPZBOP=60°,

ZBAP=3O°,

；直线/是G)O的切线，

AZABC=90°,

:衣=单=2如；

V3

(2)如图，连接8。，过点C作CEL4O于点F,

第32页共37页

〈AB为OO直径，

AZBQA=90°,

/.cosNBAQ=-^-=—,

AB4

VBP=PQ-

:・/BAC=/DAC,

VCF±AD,AB±BC,

:・CF=BC,

・・・N8AQ+NAOB=90°,NFCD+/AO8=90°,

：.ZFCD=ZBAQ9

cosZFCD=cosN84