新定义与材料理解问题-2023年中考数学知识点练习（江苏）（解析版）

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

重难点01新定义与材料理解问题

【命题趋势】

新定义与材料理解问题是中考数学的热点问题，一般为小题（选择题或填空题）。这种类型的问题通常

不会单独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握

情况，又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力.这种类型的问题往往与代数知识结合的比

较多，所以同学们一定要重视，一般这种类型的问题难度不大，平时多注意对这种问题的训练拿下这个问

题不是难事。

新定义与材料理解问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求

学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.一般有三种类

型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接"新知识"；（3）定义新概念。这类试题考查考生

对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系

起来，利用已有的知识经验来解决问题。

【满分技巧】

1）读懂题目，搜集信息，理解本质：

要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质.题目

中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄

懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在.

2）新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识：

1.实数的运算一高中的虚数的运算、数列的求和、向量等知识、.

2.平面直角坐标系，反比例函数，一次函数，二次函数一黑函数或指数函数

3.一元一次、一元二次方程、分式方程一指数方程、三角方程等特殊方程

4.其他类型

3）熟练掌握和运用数学的常用思想方法

我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的

问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问

题等等.所以一定要把未学的问题转化成己学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数

学思想解决问题.

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二

轮复习必刷真题过关训练.

一、解答题

1.（2022•江苏盐城•统考中考真题）【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆,

描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律.

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上.

备用图

⑴【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心。为原点，过点。的横线所在直线为X轴，过点。且垂直于横线的直线为y轴,

相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示.当所描的点在半径为5的同心圆上

时，其坐标为.

(2)【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

(3)【深度思考】

小明继续思考：设点P(O,τn),ni为正整数，以。P为直径画OM,是否存在所描的点在OM上.若存在，求

ni的值；若不存在，说明理由.

【答案】⑴(-3,4)或(3,4)

(2)成立，理由见解析

(3)存在,4

【分析】(1)先画出图形，再结合实际操作可得04=。8=。。=5,0C=4,OCl4B,再利用勾股定理求解

AC,BC,从而可得答案；

(2)解法1：设半径为n的圆与直线y=n-1的交点为P(x,n-1).利用勾股定理可得/+(∏-

即∕=2n-l,可得n=*+方可得y=n-l=*-^,从而验证猜想；

解法2：设半径为n的圆与直线y=n-l交点为P(X,M-1),可得/+(兀-1)2=/,解方程可得

P(±√2∏ɪT,n-l).则｛X=±5;L,再消去n,可得y=52一：，从而验证猜想；

(3)如图，设所描的点N(±√2n-l,n-1)在G)M上,由MO=MN,建立方程(5一=(±√2n-1)?+

(n-l-^)2,整理得m=∖=亡F=n+l+-1结合m,n都是正整数，从而可得答案.

2zn-1n-1n-1

【详解】(1)解：如图，OA=08=OO=5,。C=4,。CI48,

.".AC=BC=√52-42=3,

.M(-3,4),B(3,4),

故答案为：(—3,4)或(3,4)

(2)小明的猜想成立.

解法I：如图，设半径为n的圆与直线y=n-l的交点为P(Xn-1).

所以n=#+$

所以丫=7；-1=4/一3上，小明的猜想成立.

解法2：设半径为n的圆与直线y=n-1交点为P(x,n-1),

因为。P=71,所以％2+(n—1)2=九2,解得％=±√2τι—1,所以P(土√2∕ι-1,71—1).

X=±√2^γτ,f消去n,得

二点在抛物线y=：上，小明的猜想成立.

(3)存在所描的点在。M上，理由：

如图，设所描的点N(±V2n-Ln-1)在。”上,

所以怎A=(±√2^→)2+(n-1-y)2,

2

整理得m=工n-l+l=∏+1H——

n—1

因为m,n都是正整数,

所以只有n=2,a=4满足要求.

因此，存在唯一满足要求的τn,其值是4.

【点睛】本题考查的是切线的性质，垂径定理的应用，坐标与图形，二次函数的图像与性质，勾股定理的

应用，方程的正整数解问题，理解题意，建立几何模型与函数模型是解本题的关键.

2.(2022.江苏南通・统考中考真题)定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于ττ(n≥0)的点叫做这个函

数图像的阶方点例如，点J是函数y=X图像的，阶方点“；点(2,1)是函数y=|图像的“2阶方点”.

⑴在①(一2,—3②(-1,一1)；③(1,1)三点中，是反比例函数y=:图像的"1阶方点”的有(填

序号)；

（2）若y关于X的一次函数y=ax-3a+1图像的“2阶方点''有且只有一个，求a的值；

（3）若y关于X的二次函数y=-（x-n）2-2n+1图像的“〃阶方点”一定存在，请直接写出〃的取值范围.

【答案】（1）②③

（2）3或一1；

（3）J≤n≤l

【分析】（1）根据“"阶方点''的定义逐个判断即可：

（2）如图作正方形，然后分”>0和“<0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点

的坐标，代入坐标求出”的值，并舍去不合题意的值即可得；

（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y=-2x+l上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函

数图象过点（〃，-n）和点（一〃，〃）时为临界情况，求出此时〃的值，由图象可得〃的取值范围.

（1）解：：点（一2,—（J到X轴的距离为2,大于1,...不是反比例函数y=:图象的“1阶方点”，∙.∙点（一1,一1）

和点（1,1）都在反比例函数y=［的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1,...（-1,-1）和（1,1）是反比例函

数y=:图象的"1阶方点”，故答案为：②③；

（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2,2）,（—2,2）,（—2,—2）,（2,—2）,当α>0时，若y

关于元的一次函数y=αx-3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则y=QX-3Q+1过点（—2,2）或（2,

-2）,把（一2,2）代入y=Q%—3Q+1得：2=—2Q—3Q+1,解得：a=—g（舍去）；把（2,—2）代

入y=QX-3Q+1得：—2=2α—3Q+1,解得：Q=3；当a<0时，若y关于X的一次函数y=QX-3α+1

图象的“2阶方点”有且只有一个，则y=ax-3a-F1过点（2,2）或（-2,-2）,把（2,2）代入y=ax-3a-F1

得：2=2Q-3Q+1,解得：a=-l；把（一2,—2）代入y=αx-3Q+1得：-2=-2α-3α+l,解得：

(3)∙.∙二次函数y=-(x-n)2一2几+1图象的顶点坐标为(〃，—2n+1),・•・二次函数y=—(％-n)2-2n+

1图象的顶点坐标在直线j=-2Λ-+1上移动，Vy关于X的二次函数y=-(x-n)2-2n÷1图象的“阶方

点”一定存在，，二次函数y=—(不一九)2—2九+1的图象与以顶点坐标为(〃，〃)，(一〃，n),(-nt-n)9

(小一〃)的正方形有交点，如图，当y=—(x—n)2—2n+1过点(〃，一〃)时，将(〃，一〃)代入y=—(x—n)2—

2n+1得:一九=-(n一n)2-2n÷1,解得：n=1,当y=-(x—ri)2-2n+1过点(一〃，〃)时，将(一

n,〃)代入y=—(%—τι)2—2九+1得：n=—(―n—n)2—2n÷1,解得：九=B或九=—1(舍去)，由图可

知，若y关于X的二次函数y=-¥一2几+1图象的“阶方点”一定存在，〃的取值范围为：ɪ≤n≤

【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象

和性质，正确理解“〃阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键.

3.(2022,江苏泰州•统考中考真题)定义：对于一次函数yi=ax+b,y2=ex+d,我们称函数y=m(αx+

b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数％、y2的"组合函数”•

(1)若"『3,试判断函数y=5%+2是否为函数％=X+1/2=2%-1的"组合函数”,并说明理由；

(2)设函数yι=X-p-2与y?=-X+3p的图像相交于点P.

①若m+n>1,点P在函数为、治的“组合函数”图像的上方，求P的取值范围；

②若p¥l,函数y>,2的“组合函数”图像经过点P∙是否存在大小确定的机值，对于不等于1的任意实数P，

都有“组合函数”图像与X轴交点。的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说

明理由.

【答案】(Dy=5%+2是函数yι=%+1,y2=2x-1的“组合函数'’

(2)φp<1；②存在，见详解

【分析】(1)把"?=3,〃=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；

(2)①先求出点P的坐标(2p+l,p-1)和"组合函数''y=(τn-n)x+3pn-mp-2m,把％=2p+1代入

“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得修+"=1,把〃=1如代入"组

合函数“，消去“，把尸0代入解一元一次方程即可求解.

【详解】(1)解：y=5x+2是函数为=X+l,y2=2X-1的“组合函数”，

理由：由函数yι=X+l,y2=2x-1的“组合函数''为：y=m(x+1)+n(2x-1),

把∕n=3,"=1代入上式，得y=3(x+1)+(2x—1)=5x+2,

••・函数y=5x+2是函数yι=x+l,y2=2x-1的“组合函数”；

⑵解：①解方程组=得｛；黄；，

函数yι=X-p-2与y2=-X÷3p的图像相交于点P,

・•・点尸的坐标为(2p+1,P-1)，

mχ

Vy1、的"组合函数''为V=(—P—2)+n(—X+3p),ʌy=(m—n)x+3pn—mp—2m,

∙∙∙τn+n>1,点尸在函数yi、y2的“组合函数”图像的上方，

：•p-l>(m—n)(2p÷1)÷3pn—mp—2m,整理，得P—l>(τn÷n)(p—1),

ʌp—1<0,p<1,

ʌp的取值范围为PV1；

②存在，理由如下：

••・函数Yl、的“组合函数”图像经过点P∙

二将点P的坐标(2p+Lp-1)代入"组合函数‘'y=On-n)x+3pn-mp-2m,得

p—1=(m—n)(2p+1)÷3pn—mp—2m,

:∙p-1=(m÷n)(p-1),

VP≠1,

ʌ?n÷n=1,n=l-τn,

将九=1—??1代入y=(m—n)x+3pn—mp-2m=(2m—I)X+3p—4pm—2m,

把y=0代入y=(2m—l)x+3p-4pm—2m,得(2m—I)X+3p-4pm—2m=0

解得：χ=P(-3+4m)+2nt,

2m-l

设-3+4m=0,则?H=

4

2×∣

・•・X=­ɪ=3

2×47-l

∙∙∙Q(3,0),

二对于不等于1的任意实数p,存在“组合函数”图像与X轴交点。的位置不变.

【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确

理解“组合函数”的定义是解本题的关键.

4.(2021•江苏南通・统考中考真题)定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函

数图象的“等值点”.例如，点(1,1)是函数y=2x+g的图象的“等值点

(1)分别判断函数丫=》+2/=/—%的图象上是否存在“等值点，，？如果存在，求出“等值点”的坐标；如

果不存在，说明理由；

(2)设函数y=3x>0),y=-x+b的图象的“等值点”分别为点A,B,过点B作BCLx轴，垂足为C.当

△ABC的面积为3时，求b的值；

(3)若函数y=χ2一2(x≥m)的图象记为Wι，将其沿直线x=m翻折后的图象记为1%•当Wl,仞两部分组

成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.

【答案】(1)函数产r+2没有“等值点”；函数y=/-X的"等值点”为(0,0),(2,2)；(2)b=4√I或一2√I;

(3)m<—2或—1<m<2..

8

【分析】(1)根据定义分别求解即可求得答案；

(2)根据定义分别求4百，√3),βφI),利用三角形面积公式列出方程求解即可；

(3)由记函数)=/-2(x≥m)的图象为W/,将W/沿户加翻折后得到的函数图象记为快，可得W/与M

的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案.

【详解】解：(1):函数y=x+2,令y=x,则x+2=x,无解，

二函数)=x+2没有“等值点”；

：函数y=χ2-X,令y=χ,则χ2-χ=χ,即X(X—2)=0,

解得：x1=2，x2—0»

・・・函数y='-%的”等值点，，为(0,0),(2,2)；

(2)：函数y=3令y=x,则/=3,

解得：X=8(负值已舍)，

/.函数y=鲍“等值点”为Λ(√3,√3);

:函数y=-%÷ð,令y=x,则X=-X+h,

解得：X=?,

...函数y=-x+b的“等值点”为B(p1)：

△ABC的面积为邻C∙∣xβ-xj=^∙∣∣∣∙∣∣-√3∣=3,

即〃一2同—24=0,

解得：。=4百或一2次；

(3)将W/沿x=〃?翻折后得到的函数图象记为电.

二W/与W2两部分组成的函数W的图象关于X=Hl对称,

.∙.函数W的解析式为，y~z、，

(y=(2m-X)2-2(X<m)

令y=x,则M—2=X,即χ2-x—2=0,

解得：X1=2,X2=-1>

二函数丁=一一2的“等值点”为(-1,-1),(2,2)；

令"X,则(2m—x)2—2=X,即#2—(4m+l)x+4τ∏2—2=0,

当Tn≥2时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；

当-l<m<2时，观察图象，恰有2个“等值点”:

当?n<—1时,

CM的图象上恰有2个“等值点”(・1,4),(2,2),

・・・函数W2没有“等值点”，

∆=[―(4m+I)]2-4×1×(4m2—2)<O,

整理得：8m+9<0,

解得：τn<—

8

综上，"?的取值范围为m<—苫或一l<mV2.

【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性.解

答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

5.(2021•江苏常州•统考中考真题)在平面直角坐标系Xoy中，对于A、A两点,若在y轴上存在点T,使得

/-ATA'=90。,且Ta=兀4',则称A、4两点互相关联,把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点M(—2,0)、

N(-1,O),点Qon,71)在一次函数y=-2x+1的图像上.

(1)①如图，在点B(2,0)、C(O,-1)、。(一2,-2)中，点”的关联点是(填“B”、或"Q”)；

②若在线段MN上存在点P(l,l)的关联点P,则点P的坐标是；

(2)若在线段MN上存在点。的关联点Q',求实数〃?的取值范围；

(3)分别以点E(4,2)、。为圆心，1为半径作OE、OQ.若对OE上的任意一点G,在OQ上总存在点

使得G、G'两点互相关联，请直接写出点。的坐标.

【答案】⑴①8；②(-2,0)；⑵∣≤τn≤1或一1≤mS0；⑶Q(-1,同或Q(3,-5).

【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点故先找

到旋转90。坐标变化规律，再根据规律解答即可，

(1)①根据关联点坐标变化规律列方程求解点7坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标

等于0,根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；

(2)根据关联点坐标变化规律得出关联点Q',列不等式求解即可；

(3)根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点0坐标即可.

【详解】解:在平面直角坐标系XOy中，设4(x,y),点T(O,a),关联点A(X',y'),

将点A、点4、点7向下平移a个单位，点T对应点与原点重合，此时点4、点4对应点A(x,y—a)、

Ao(My'-Q)，

・・・绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点(达)，)顺时针旋转，对应点坐标为S，・尤)；逆时针旋转对应

点坐标为(・y,x),

Λ40(x,y-Q)绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为Ao(y-。,一%)或4'0(。-y,x),

即顺时针旋转时，lj':ɑv解得：即关联点Ao—a，。一X)，

或逆时针旋转时，R=a-V,解得：∖x'=a-y,即关联点A(a-y,x+a),

即：在平面直角坐标系XOy中，设4(%y),点T(O,a),关联点坐标为4(y-a,Q-X)或4(a-y,x+Q),

(1)①由关联点坐标变化规律可知，点M(-2,0)关于在y轴上点7(0,a)的关联点坐标为：4(-a,a+2)或

A(a,-2+CL)9

若点B(2,0)是关联点，则｛2丁10或O，解得：a=±2,即丫轴上点T(O2)或7(。，一2),故点8(2,0)

是关联点;

c

若点C(O,-1)是关联点，则L,[α=∖或〔of=°1.无解，故点C(O,-1)不是关联点；

12+α=-11-2+Q=-1

若点。(—2,—2)是关联点，则匕；1；/」？或｛一21；^_2，无解，故点。(一2,-2)不是关联点；

故答案为：B；

②由关联点坐标变化规律可知，点P(Ll)关于点F(O,a)的关联点P'的坐标为P'(l-α,α-1)或P'(α-l,α+

1)，

若。一1=0,解得：o=l,此时即点P'(0,0),不在线段MN上；

若Q+1=0,解得：Q=-I,此时即点P'(-2,0),在线段MN上；

综上所述：若在线段MN上存在点P(l,l)的关联点P,则点P(-2,0)

故答案为：(一2,0)；

(2)设点Q(Zn,")与点。是关于点T(0,a)关联点,则点。坐标为Q'(n-a,a-Zn)或Q<α-n,α+τn),

又因为点Q(m,∕i)在一次函数y=—2%+1的图像上，即：n=-2m+1,

点Q，在线段MN上，点M(—2,0)、N(-l,0),

a-m=0

当・：Tl——2171+1,

—2≤n-a≤—1

•••—2≤—2772+1-TTl≤—1f

Λ∣≤m≤1,

a÷m=0

或n=-2m+1>

—2≤a-n≤—1

•••—2≤2τn-1-in≤—1,

当一1≤m≤0；

综上所述：当∣≤m≤l或一l≤m≤0时，在线段MN上存在点。的关联点Q'.

(3)对OE上的任意一点G,在OQ上总存在点G',使得G、G'两点互相关联，

故点E与点。也是关于同一点的关联，设该点T(O,α),则

设点Q(Tn,九)与点E是关于点T(O,α)关联点，则点E坐标为EOI-a,a-Tn)或E(α-n,α+m),

又因为Qon,n)在一次函数y=-2%+1的图像上，即：n=-2m+1,

Y点E(4,2),

m=-—

3

∏=y»

ι

即点Q(-消)，Iα=5

n=-2m+1(m=3

若a-n=4,解得：几=—5,

.a+m=2(Q=-I

即点Q(3,—5),

综上所述:QD或Q(3,-5).

【点睛】本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90。的点

坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解.

6.(2021•江苏盐城•统考中考真题)学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点4顺时针旋转一定

的角度a,能得到一个新的点P'.经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图像上运动时，点P'也

随之运动，并且点P'的运动轨迹能形成一个新的图形.

试根据下列各题中所给的定点4的坐标和角度a的大小来解决相关问题.

图3

【初步感知】

如图1,设4(1,1),a=90°,点P是一次函数y=fcx+b图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点R

(1)点B旋转后，得到的点P,的坐标为；

(2)若点P'的运动轨迹经过点P’2(2,l),求原一次函数的表达式.

【深入感悟】

(3)如图2,设4(0,0),。=45。，点「反比例函数、=一3(》<0)的图像上的动点，过点P'作二、四象限角

平分线的垂线，垂足为M,求AOMP’的面积.

【灵活运用】

(4)如图3,设A(I,-遥)，α=60。，点P是二次函数y=g∕+2√5χ+7图像上的动点，已知点8(2,0)、

C(3,0),试探究ABCP，的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由.

【答案】(1)(1,3);(2)y=iχ+∣;(3)ɪ;(4)存在最小值,⅛

【分析】(1)根据旋转的定义得4P1=4P1'=2,观察点P'l和4(1,1)在同一直线上即可直接得出结果.

(2)根据题意得出P2的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可.

(y=-χ

(3)先根据［y=_i(x<0)计算出交点坐标，再分类讨论①当X≤一1时，先证明△PQA≡∆P'MA(AAS)n

计算AOMP'面积.②当-l<x<0时，证APHO三AOP'M(∕MS),再计算S”，MO=SΔPHO=?=T即可.

(4)先证明△OAB为等边三角形，再证明△CAO三△CTlB(SAS),根据在Rt△LGB中，∆C'GB=90°-

∆C'B'C=30°,写出C'&孚)，从而得出OC'的函数表达式，当直线，与抛物线相切时取最小值，得出y=

√3x+y,由SAB，C，T=SAB，C，P计算得出^BCP'的面积最小值.

【详解】(1)由题意可得：4Pi=APi/=2

，P'ι的坐标为(1,3)

故答案为：(1,3)：

,

(2)∙.∙P2(2,1),由题意得

P2坐标为(1,2)

VP1(-1,1),Pz(L2)在原一次函数上，

/.设原一次函数解析式为y=kx+b

1

<ΛV2

.∙.原一次函数表达式为y=∣x+|；

(3)设双曲线与二、四象限平分线交于N点，则

IyΓx

(y=--(χ<°)

解得N(-l,l)

①当x≤-l时

作PQ1X轴于Q

"."/.QAM=KPOP'=45°

.".∆PAQ=∆P'AN

,：PM1AM

：.^P'MA=∆PQA=90°

二在APQA和^P'M4中

(ΛPQA=ΛP'MA

∖∕,PAQ=∆P'AM

(AP=AP'

ΛΔPQA≡ΔP'MA(AAS)

__∣∕c∣_1

∙^∆P,M∕1=SAPQ4=ɪ=2

即SAoMp，=2'

②当-1<x<0时

作PHL于-y轴于点H

∙.2P0P'=ZJVOY=45°

."PON=∆P'OY

，∆MP'0=90°-ΛM0Y-/.P'OY

=45°-∆P,OY

"POH=/.POP'-/.P'OY

=450-∆P'OY

."POH=/.OMP'

在^PoH和AOP，M中

NPHO=∆0MP'

∆POH=/.MP'0

∖PO=P1O

Λ∆PWO≡∆OP,M(ΛΛS)

•c_c_1*1_1

•,^∆P,MO—JAPHo――—~\

(4)连接AB,AC9将8,C绕?!逆时针旋转60。得夕,CL作4H上Λ:轴于H

V∕l(l,√3),B(2,0)

：・0H=BH=I

/.OA=AB=OB=2

.∙.AOAB为等边三角形，此时B'与。重合，即B'(0,0)

连接C'。，'：/-CAC=/.BAO=60°

.∖Z-CAB=∆C'AB'

二在^C'AO和ACAB中

(CA=CA

∖∆C'AO=∆CAB

(BA=OA

.∖∆C'AO≤ΔCAB(SAS)

：.C'O=CB=1,∆C'OA=∆CBA=120o

.♦.作LGl.y轴于G

在RtAC'GB中,∆,C'GB=90°-/.C'B'C=30°

：.C'G=OC-Smz.CBG=-

2

.∙.OG=f,即C'g，苧)，此时OC'的函数表达式为：y=√5x

设过P且与B'C'平行的直线/解析式为y=√5x+b

•SABCP，=S»B'C'P

・・・当直线［与抛物线相切时取最小值

y=ʌ/ɜɪ+b

则ɪ…以〉

y=-xz+2√3x+7

V2

即+Z?=ɪz2+2√3x+7

Λ∣x2+√3x+7-h=0

当/=0时，得b=—

2

/.y—√3x+y

设2与y轴交于T点

•^∆B,CfT=^∆B,C,P

,U^ΔB,C,P=^xB,XCG

1111

=_X一X__

222

_11

8

【点睛】本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数

的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键.

7.(2020•江苏常州•中考真题)如图1,。/与直线〃相离，过圆心/作直线。的垂线，垂足为从且交。/

于尸、Q两点(Q在尸、”之间).我们把点P称为。/关于直线。的“远点”，把PQ∙PH的值称为。/关于直

(1)如图2,在平面直角坐标系Xoy中，点E的坐标为(0,4),半径为1的。。与两坐标轴交于点A、B、C、

D.

①过点E画垂直于y轴的直线∕n,则。O关于直线机的“远点”是点(填“A”、“B”、"。或7T),

©0关于直线m的“特征数”为；

②若直线〃的函数表达式为y=√3x+4,求。。关于直线n的“特征数”；

(2)在平面直角坐标系XOy中，直线/经过点M(l,4),点尸是坐标平面内一点，以尸为圆心，√Σ为半径作

QF.若。尸与直线/相离，点N(-l,0)是。F关于直线/的“远点”，且。F关于直线/的“特征数''是4花，求

直线/的函数表达式.

【答案】(1)①D；10；②。。关于直线”的“特征数”为6；(2)直线/的解析式为y=-3x+7或y=，当

【分析】(1)①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作。HL直线n,垂足为点

H,交。。于点P、Q,首先判断直线n也经过点E(0,4),在RtAEOF中，利用三角函数求出∕EFO=6(Γ,

进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可:

设直线/的解析式为∣用待定系数法得至也：二

(2)连接NF并延长,y=kx+b,再根据两条直线

互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=-^x+b2,用待定系数

0=-+h@n—4=mk—k

k2

法同理可得｛m=，消去b∣和b2,得到关于m、n的方程组｛-11=L+2;根据。/关于直线

九二一+匕2(ʒ)kk

k2-4k-l

/的“特征数”是4花，得出NA=√TU,再利用两点之间的距离公式列出方程(m+l)2+n2=10,把｛代

n~k2+l

入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线/的函数表达式.注意有两种

情况，不要遗漏.

【详解】解：(1)①。。关于直线〃，的“远点”是点D,

C)O关于直线m的“特征数”为DB∙DE=2×5=10:

②如下图：过圆心O作OH_L直线n,垂足为点H,交。。于点P、Q,

直线n的函数表达式为y=V3x+4,

当x=0时，y=4：当y=0时，X=-竽，

.∙.直线〃经过点E(0,4),点F(-竽，0),

在中，,

Rt∆EOF.∙tanZFEO=EO-ɪɪ4ɪ=3-,

：.ZFEO=30o,

，ZEFO=60o,

在Rt∆HOF中，YsinNHFO二詈，

：,HO=SinNHFOFo=2,

ΛPH=HO+OP=3,

ΛPQ∙PH=2×3=6,

・・・QO关于直线〃的“特征数”为6；

(2)如下图，Y点F是圆心，点N(—1,0)是“远点”，

・•・连接NF并延长，则直线NFL直线I,设NF与直线I的交点为点A(，n),

设直线/的解析式为y=kx+bι(k≠0),

将点M(l,4)与A(m,n)代入y=kx+b∣中，

4=fc+瓦①

n=mk+瓦②

②-①得：n-4=mk-k,③

又•・•直线NF_L直线/,

.•・设直线NF的解析式为y=-(x+b2(k≠0),

将点N(-1,O)与A(m,n)代入y=-5x+b2中，

0=τ+b2@

{m

n=--+b⑤

K2

④一⑤得：一n=*⑥

联立方程③与方程⑥，得:

n—4=mk—k

1m

-n=

k2-4k-l

m=-----

解得：｛

n=k2+l

i

，点A的坐标为(=,4-2kλ

k2+l

又；。尸关于直线/的“特征数”是4花，。尸的半径为√Σ,

ΛNB∙NA=4√5,

即2√TNA=4√5,

解得：NA=√TU,

[m-(-l)]2+(n-O)2=(VTθ)2.

即(m+l)2+∏2=10,

把「一4-2k代入，解得k=-3或k4

n=fc2+l

当k=-3时，m=2,n=l,

二点A的坐标为(2,1),

把点A(2,1)与点M(1,4)代入y=kx+b,中，解得直线I的解析式为y=-3x+7;

当k=g时，m=-2,n=3>

.∙.点A的坐标为(-2,3),

把点A(-2,3)与点M(1,4)代入y=kx+b∣中，解得直线/的解析式为y=gx+半

直线/的解析式为y=-3x+7或y=jx+y.

【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三

角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互

相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键.

8.(2020.江苏盐城.统考中考真题)以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅

读后完成虚线框下方的问题1~4.

(1)在RtAABC中，ZC=90°,AB=2√2,在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据

如下表：(单位：厘米)

AC2.82.72.62.321.50.4

BC0.40.81.21.622.42.8

AC

3.23.53.83.943.93.2

+BC

(2)根据学习函数的经验，选取上表中BC和4C+BC的数据进行分析；

①设BC=X,4C+BC=y,以(x,y)为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点;

②连线；

观察思考

(3)结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当X=时，y最大；

(4)进一步C猜想：若RtAMBC中，ZC=90°,斜边AB=2α(α为常数，ɑ>0),则BC=时，

AC+BC最大.

推理证明

(5)对(4)中的猜想进行证明.

问题1∙在图①中完善(2)的描点过程，并依次连线；

问题2.补全观察思考中的两个猜想：(3)(4)

问题3.证明上述(5)中的猜想：

问题4.图②中折线8-E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图，其中点4B间的距离是4厘米,AG=

BE=I厘米，4E=NF=4G=90。,平行光线从45区域射入，NBNE=60。,线段尸M、FN为感光区域，当EF

的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.

【答案】问题1：见解析；问题2：2,四心问题3：见解析；问题4：当EF=2鱼+1时，感光区域长度

之和FM+FN最大为（4或+2-竽）cm

【分析】问题1：根据（I）中的表格数据，描点连线，作出图形即可：

问题2：根据（1）中的表格数据，可以得知当X=2时，y最大；设BC=XMC=BC=y,则AC=√5淳二淳，

2222

可得y=%+√4α—xf有2——2xy+y—4a=0,可得出y≤2√2α;

问题3：可用两种方法证明，方法-：（判别式法）设BC=%/C=BC=y,则4C=-4/—可得y=

22

X+√4α-xf有N/-2xy+/-4M=0,可得出y≤2√∑α;方法二：（基本不等式），设BC=Tn,AC=

n,AC+BC=y,得z∏2+九2=4@2,可得加2+n2226"，根据当m=n时，等式成立有mn≤2q2,可得

出

y≤2√2α;

问题4：方法-：延长AM交EF于点C,过点A作///LE尸于点H,垂足为H,过点B作BK工GF交于点K,垂

足为K,BK交AH于点Q,由题可知：在ABNE中，NBNE=60。,4E=90。,BE=1,得NE=?,根据/G=

90o,AG=1,∆AMG=30。，有tcm乙4MG=—,得GM=√3,易证四边形4GFH为矩形，四边形BKFE为矩

GM

形，根据FN+FM=EF+FG-EN-GM可得FN+FM=BQ+AQ+2由问题3可知，当BQ=AQ=

2√Σ时，AQ+BQ最大，则有BQ=AQ=2√Σ时，尸M+FN最大为（4/+2-W）Cni；方法二：

延长EB、G4相交于点H同法-求得：GM=QNE=M根据四边形GFEH为矩形，有MF=EH—GM=b+

6，FN=EF-NE=a+∖-g,得到MF+尸N=α+b+2-竽，由问题3可知，当α=b=2√Σ时，

a+Z?最大

则可得α=b=2√Σ时FM+FN最大为（4或+2-筌）cm.

【详解】问题1：图

问题2：(3)2；(4)√2α

问题3

法一：(判别式法)

证明：设BC=x,AC=BC=y

o2222

在Rt△4BC中，・・•ZC=90lAC=y∕AB-BC=√4α-X1

∙∙∙y=%+y∣4a2—X2

22

：.y—X=y∣4a-X

2222

y—2xy+X=4α—xt

2x2—2xy+V-4α2=0,

・•・关于X的元二次方程有实根，

2222

ʌb—4ac=4y—4×2∙(%—4α)≥O1

ʌy2≤8a2,

Vy>O,α>0,

・•.y≤2√2α,

当y取最大值2√∑α时，

2x2-4y∣2ax+4Q2=O

(√2x—2a)2=O

XI=X2=V2α

・•・当BC=企。时，y有最大值.

法二：(基本不等式)

设BC=m,AC=n,AC+BC=y

o

在Rt△48C中，%-ZC=90l

・•・m2+n2=4α2

V(nɪ-n)2≥O,

・•・m2+n2≥2mn.

当zn=n时，等式成立

・•・4Q2≥2mn,

mn≤2a2,

Vy=m÷n=√m2+n2+2mn

=y∕4a2+2mn,

Vmn≤2a2,

ʌy≤2√2α,

.∙.当BC=AC=√∑0时，y有最大值.

问题4：

法一：延长4M交EF于点C,

过点/作4,1E尸于点”,垂足为H,

过点8作BK1GF交于点K,垂足为K,

BK交AH于点Q,

BE

・,.tan乙BNE=——

NE

即

√5=ɪNE

√3

•・.NE=-

3

-AM//BNt

:∙LC=60°,

Xv乙GFE=90°,

・•・乙CMF=30°,