北京市怀柔区2020年高二《数学》上学期期末试题与参考答案

北京市怀柔区2020年高二《数学》上学期期末试题与参考答案一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.抛物线y2=4x的焦点坐标是A.（0,2） B.（0,1） C.（2,0） D.（1,0）答案：D解：的焦点坐标为，故选D.2.如果，那么下面一定成立的是（）A. B. C. D.答案：C解：∵，∴，∴A错误；∵当时，且，∴成立；当时，且，成立，当时，且，.∴B错误；∵，∴正确，∴C正确；∵，∴，∴D错误．故选：C3.双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.答案：B解：焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，由得，，则双曲线的渐近线方程为，故选B.4.过点的抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.或答案：D解：由题意可设抛物线方程为或，∵抛物线过点（﹣1，1），∴当抛物线方程为时，得a＝﹣1；当抛物线方程为时，得a＝1．∴抛物线的标准方程是或.故选：D5.已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：D解：利用等差数列的单调性可得：若，所以公差，所以等差数列是递增数列，所以，成立，∴A，B正确；则不一定成立，例如时不一定成立，∴D不一定成立；若，则，所以成立，∴C正确.故选：D6.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，那么椭圆的离心率等于A. B. C. D.答案：B解：因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为,因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为,所以根据椭圆的定义可得,则,,选B7.若是直线方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（）A.直线在平面内 B.平行 C.相交但不垂直 D.垂直答案：C解：∵，，假设存在实数，使得，则，即无解.不存在实数，使得成立，因此l与α不垂直．由，可得直线l与平面α不平行．因此直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．故选：C8.已知m＝（a＞0），n＝x+1（x＜0），则m、n之间的大小关系是（）A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.m≤n答案：A解：因为a＞0，∴m＝＝a+﹣1≥2﹣1＝1当且仅当a＝1时去等号，∵x＜0，∴n＝x+1＜1；∴m＞n；故选：A．二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9.不等式的解集是____________.答案：解：依题意，不等式可化为不等式组或，解得.故答案为：.10.双曲线的实轴长为______，离心率为______．答案：①.4②.解：双曲线的，，＝，可得实轴长，＝.故答案为：4，11.若，均为正数，且1是，的等差中项，则的最大值为______．答案：1解：若，均为正数，且1是，的等差中项，则，故，当且仅当取等号.故答案为：112.在数列中，是它的第_______项．答案：6解:根据题意，数列…中，其通项公式，令＝，解得，即是数列的第6项.故答案为：613.已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量______，点的坐标满足的方程是______．答案：①.②.解:∵平面α的一个法向量是，且点在平面上，是平面上任意一点，∴向量＝，∴＝，∴点的坐标满足的方程是．故答案为：，14.在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的．对于曲线，有下列四个结论：①曲线是轴对称图形；②曲线是中心对称图形；③曲线上所有的点都在单位圆内；其中，所有正确结论的序号是__________．答案：①②解:由题意，设动点坐标为，利用题意及两点间的距离公式的得：，对于①，分别将方程中的被﹣代换不变，被﹣代换不变，方程都不变，故关于轴对称和轴对称，故曲线是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的被﹣代换且被﹣代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线是中心对称图形，故②正确；对于③，令＝0可得，，即2=1+，此时对应的点不在单位圆2+2=1内，故③错误．故答案为：①②三、解答题本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？答案：（1）；（2）第31项解:（1）设等差数列的公差为，因为，且，所以，解得，．所以．（2）由（1）题意可得，设数列的公比为，因为，且，所以，解得，，所以．由，得.∴与数列的第31项相等．16.在四棱锥中，平面，底面四边形直角梯形，，，，，为中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．答案：（1）详见解析；（2）．解:（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．因为为中点，所以，所以，，所以，所以．（2）由（1）得，，，，，所以与所成角的余弦值为．17.已知椭圆的右焦点，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，求的面积．答案：（1）；（2）．解:（1）由题意，椭圆焦点且过点，得，．又，所以椭圆方程为．（2）由题意得，直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，得，得，则，又，所以．设原点到直线的距离为，．所以的面积．18.已知数列满足数列的前n项和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．答案：（1），；（2）．解:（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，所以．又当时，，所以，当时，①②由①－②得，即，所以是首项为1，公比为的等比数列，故．（2）由（1）得，所以．19.如图，在直三棱柱中，，，点，，分别为棱，，的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为？如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．答案：（1）详见解析；（2）；（3）点存在，即的中点，．解:（1）在直三棱柱中，平面，又因为，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．由题意得，，，，，．所以，，设平面的法向量为，则，即，令，得，，于是．又因为，所以．又因为平面，所以平面．（2）设平面的法向量为，，，，即，令，得，，于是，平面法向量，．所以二面角的大小为．（3）．设直线与平面所成角为，则，设，则，，所以，解得或（舍），所以点存在，即的中点，．20.已知椭圆（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．答案：（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0解:（1）由，得，进而，；（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程x2+2y2＝4，可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜，设A（x1，