2022-2023学年福建省泉州市德化二中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市德化二中高一(下)期中数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知向量方=(2,1),b=(-2,4)'则Ia-BI=()

A.2B.3C.4D.5

2.Sinl5°CoS75°+cosl5°sinl05°等于()

A.0B;C.—D.1

3.在△4BC中，AB=3,BC=>/13,AC=4,则边4C上的r⅛为()

A.^yΓ^2B.IV_3C.ID.3√-3

4.在△4BC中，NC=90。，存=(k,l),而=(2,3),贝味的值是()

A.5B.-5C.5D.-5

5.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()

DC

A.AB=DCB.AD+AB=AC

C.AB-AD=BDD.AD+CB=0

)

-C2-uD∙—2

7.函数/(x)=Asin(^ωx+φ)(ω>0,71>0)在区间［m,n］上是增函数，且/(nɪ)=-A,f(n')=

A,则函数g(x)=4COS(3%+9)(3>0,4>0)在区间［m,n］上()

A.是增函数B.是减函数

C.可以取到最大值4D.可以取到最小值-A

8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)-l(ω>0,0≤φ≤今的最小正周期为4兀，且/(x)在[0,5柯内

恰有3个零点，则8的取值范围是()

ππ

A∙[词U闿B.[θ,≡]Ug,ɪ]C.D∙MU

MU闿,3,2.

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知函数∕Q)=Asin[ωx+φ)(Λ>O,ω>O,∣φ∣<,的部分

图象如图所示，下列说法错误的是()

A.函数f(x)的最小正周期为JT

B.函数/(x)的图象关于直线X=-瑞对称

C.函数f(x)的图象关于点(-*0)对称

D.将函数y=2sin(2x-6的图象向左平移5个单位长度得到函

数/(X)的图象

10.下列论述中，正确的有()

A.正切函数的定义域为R

B.若α是第一象限角，则多是第一或第三象限角

C.第一象限的角一定是锐角

D.圆心角为60。且半径为2的扇形面积是当

11.在AABC中，角4B,C所对的边分别是α,b,c,下列说法正确的是()

A.A>B是SinA>SinB的充要条件

B.若方■PB-PC=PCPA，则「是^ABC的垂心

C-若△力BC面积为S,S=Xa2+*c2),则Cu

D.CoS(B+C)=cosA

12.如图，在扇形OPQ中，半径OP=I,圆心角"OQ屋,

C是扇形弧PQ上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记NPoC=α.

则下列说法正确的是()

A.弧PQ的长为看

B.扇形OPQ的面积为营

C.当Sina=J时，矩形ABCO的面积为空孕I

D.矩形ABCo的面积的最大值为与I

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.试写出一个满足下列条件的函数解析式.

①以Tr为最小正周期；

②以尢=］为一条对称轴；

③值域为［1,3］.

14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，至必处时测得公路北侧一山顶。在西

偏北30。的方向上，行驶600Tn后到达B处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为30。，

则此山的高度CD=m.

15.已知平面向量3=(1,1),b=(-1,-2).则石在不上的投影向量的坐标为.

16.定义平面向量的一种运算丘OB=∣α+b∣×∣α-h∣×sin＜α.b＞＞其中＜a,b＞是方

与方的夹角，给出下列命题：①若＜k，E＞=90。，则五0方=于+片；②若IzI=IB|，则

(α+⅛)O(α-h)=4α∙b;③若|五I=IVl,则五C)V≤2|五『；④若W=(1,2),b=(-2,2).

则0+b)Qb=其中真命题的序号是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设函数∕^(x)=cos(2x+今+Sin2X.

(I)求函数/(x)的最大值和最小正周期；

(∏)设4,B,C为△?!BC的三个内角，若CosB=§度)=一［,且C为锐角，求sin4.

18.(本小题12.0分)

已知△4BC三个顶点的直角坐标分别为4(3,4)、8(0,0)、C(c,0).

(I)若南•前=0，求C的值；

(2)若C=5,求sin4的值.

19.(本小题12.0分)

在A4BC中，已知内角Z=全边BC=2√^W设内角B=X,周长为y.

(I)求函数y=f(x)的解析式和定义域；

(∏)求y的最大值.

20.(本小题12.0分)

△4BC的内角4,E,C所对的边分别为α,b,c,向量沆=(α,√~^b)与元=(CoSA,sinB)平行.

(I)求4

(∏)若α=√~7,b=2,求AABC的面积.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=2cosxsin(x+^).

(1)求/(%)的最小正周期及/(x)在区间［一，勺上的最大值

(2)在锐角AABC中，/(5=|，且α=q,求b+c取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数y=∕(x),xeD,如果对于定义域。内的任意实数X,对于给定的非零常数P,总存

在非零常数7,恒有/0+7)＜「"(乃成立，则称函数/(x)是。上的P级递减周期函数，周期

为T；若恒有f(x+7)=P∙∕(X)成立，则称函数/(x)是D上的P级周期函数，周期为7.

(1)判断函数f(x)=/+3是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？

(2)已知7=^y=/(x)是［0,+8)上的P级周期函数，且y=f(x)是［0,+8)上的严格增函数，

当XC［0弓)时,/O)=SinX+1.求当Xe唠n,?n+l))(nEN*)时，函数y=/(x)的解析式,

并求实数P的取值范围;

(3)是否存在非零实数k,使函数/(X)=C)X-COSkX是R上的周期为T的7级周期函数？请证明

你的结论.

答案和解析

1.【答案】D

［解析］解：α—ð=(4,-3)>

故卮一引=J42+(-3)2=5,

先计算处方-石的坐标，再利用坐标模长公式即可.

本题主要考查利用向量坐标求模，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查利用同角三角函数基本关系化简，考查诱导公式，属于基础题.

用诱导公式把题目中出现的角先化到锐角，再用诱导公式化到同名的三角函数，得到sin215。+

cos215°=1.

【解答】

解：Sinl5°cos750+cosl50sinl050

—sin215o+cos215°

=1,

故选D

3.【答案】B

【解析】解：由点B向AC作垂线，交点为D.

设AD=X,则CD=4-x,

__________ɔ

.∙.BD=√9-x2=√13-(4-x)2,解得X=工

---------3-

：.BD=Jl9-X2=2Cγ

故选：B.

由点B向AC作垂线，交点为。，设4。=X,则C。=4-x,利用勾股定理可知BD=√>1B2-AD2

√疝=BO*进而解得X的值,再利用勾股定理求得4D.

本题主要考查了三角形中勾股定理的应用.属基础题.

4.【答案】A

【解析】解：VAB=(fc,1),ΛC=(2,3)，

则阮=(2-fc,2)

•••ZC=90°

.∙.XC∙FC=0Λ2(2-fc)+6=0/c=5

故选：A.

利用向量的加法写出直角边上的另一个向量，根据两个向量的夹角是直角，得到两个向量的数量

积为零，列出关于未知数k的方程，解方程即可.

本题考查向量的数量积和向量的加减，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解

决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题.

5.【答案】C

【解析】解：在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知话-同=而，

所以下列结论中错误的是C.

故选：C.

应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常

清晰比如4和D答案，B符合平行四边形法则.

数学思想在向量中体现的很好，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题

的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查二倍角的余弦公式，属于基础题.

化简后利用二倍角的余弦公式可得结果.

【解答】

解：原式=Cos2ɪ—sin2ɪ=COSg=?•

IZIZOL

故选。.

7.【答案】C

【解析】解:rf(X)在区间［m,n］上是增函数,且/(m)

f(n)=A,

.∙∙∕(x)在竽时，/^(x)=0,此时g。)=4

即可以取得最大值，

故选：C.

根据同角的正弦函数和余弦函数的关系进行判断即可.

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据同角的三角函数图象关系是解决本题的关键.比较基

础.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查由周期求出3,正弦函数的图象和性质，属于中档题.

由题意利用周期求出3,可得函数的解析式，结合题意可得SinG+0)=：在［0,5柯内恰有3个解,

根据正弦函数的图象和性质，求得0的范围.

【解答】

解：函数/(x)=2sin{ωx+φ)-l(ω>0,0≤φ≤ɪ)的最小正周期为寥=4兀，.∙.ω=ɪ,

∙.∙f(x)在［0,5扪内恰有3个零点，即5也6+9)=：在［0,5切内恰有'3个解.

又呆+Se［3样+如，：+(jo的最大值为3τr,

则9≤看且2兀+*≤^+a<2τr+V①，或者看<φ≤］且2τr+ɪ≤ɪ+φ≤3兀②.

由①解得O≤φ≤l,由②解得］≤0≤*

综上可得3∈［0,≡］呜刍.

故本题选D.

9.【答案】CD

1

T

-=7-1

【解析】解：力选项，由图象得4=2,43⅞=?解得了=兀，4正确;

BC选项，因为3>0,所以3=豆=2,故/(x)=2sin(2x+9),

将2)代入解析式得2sin/+φ')=2,故卷+g=>2kπ,kEZ,

解得W=I+2kπ,k∈Z,

因为∣0∣<*故只有R=嬲足要求，

故/(x)=2sin(2x+^),

当X=一招时，/(-g)=2sin(-⅞+f)=-2,

故函数f(x)的图象关于直线％=-震对称，B正确，C错误：

D选项，将函数y=2sin(2x-令的图象向左平移》单位长度得到函数y=2sin[2(x+^)-≡]=

2sin(2x+ɪ),故。错误.

故选：CD.

A选项，由图象求出7=兀，4错误；BC选项，根据图象求出f(x)=2s讥(2x+今，进而代入验证

得到f(x)的图象关于直线X=对称，8正确，C错误；D选项，根据左加右减求出平移后的解

析式，。错误.

本题主要考查由y=4sin(3x+0)的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，三角函数

图象的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题.

10.【答案】BD

【解析】解：对于4正切函数y=tαnx的定义域为{x∣xeR,x7kτr+a∕ceZ}HR,故错误；

对于B,若α是第一象限角，则2kτr<a<2kτr+qkeZ),可得而<]<：+kτr(keZ),即费

示第一或第三象限角，故正确；

对于C,390。是第一象限角，但不是锐角，故错误；

对于。，圆心角为60。且半径为2的扇形面积S=∣×22×≡=y.故正确.

故选：BD.

对于4利用正切函数定义域即可判断；

对于氏由已知结合象限角的表示即可检验得解；

对于C,举反例即可判断；

对于0,利用扇形的面积公式即可求解.

本题以命题的真假判断为载体考查了函数定义域，考查了象限角的表示，考查了扇形面积公式的

应用，属于中档题.

IL【答案】ABC

【解析】解：选项4,在三角形中，由A>B,可得α>b,由正弦定理三=刍及α>b,可得

SinASinB

SinA>SinB,

所以力>B是sin4>SinB的充要条件，故A正确；

选项B,PA-PB=PBPC^PB(PA-PC)=PBCA=O,所以PBLAC,

同理241BC,PCVAB,所以P是AABC的垂心，故8正确；

选项C,由条件可知,S=ɪ(ɑ2+b2—c2),即TabSinC=Xa2+〃一C2),

所以SMC=Q=CosQ所以tcmC=l,

2ab

又Ce(O,乃)，所以c=全故C正确；

选项。，由4+B+C=兀，可得CoS(B+C)=COS(Tr-A)=—cosA,故。错误.

故选：ABC.

A.根据三角形的性质和正弦定理判断；B.变形数量积公式，结合几何意义，即可判断；C.根据三角

形面积公式和余弦定理求解；0.利用诱导公式和三角形的性质，即可判断.

本题以命题真假判断为背景，考查解三角形的相关知识，平面向量数量积的性质，属中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：由题意知，在扇形OPQ中，半径OP=I,圆心角NPoQ=也

故弧PQ的长为"1屋，A正确；

扇形。PQ的面积为:XwXl=卷，B错误；

ZOIZ

在Rt△OBC中，OB=OCcosa=cosa,BC=OCsina=sina9

在Rt△OaD中，OA=y∏AD=y∏BC=yΓisina,AB=OB-OA=cosa-HSma,

则ABCD的面积S=AB∙BC=(COSa—yΓ~3sina)sina=^sin2a+?cos2a—ɪ=sin(2α+

ττλx∕^^3

3，2

当S讥α=:时，又O<α<去故CoSQ=4六

2

则sin2]=2sinacosa=fcos2a=1—2sina=，

l∏ll∙rɔI7r∖∙ɔπ,0.Tr4x∕^217√-34√~2+7√~3

WlJsιn(2α÷-)=sιn2acos-+cos2asm-=—ξ―×-+ξ×——-----------,

∏∣.S,π∖Γ34<2+7>Γ3√32%Γ2-√3

则1lSc=Sm(2a+§λ)-石-----T≈—-'

即矩形4BC。的面积为后S,C正确；

由C的分析可知矩形ABCD的面积S=sin(2α+g)-?，

当sin(2α+勺=1,即ɑ=去时，矩形ZBeD的面积取最大值上二，D正确.

,42

故选：ACD.

根据弧长公式可判断4根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得4B,BC的长，即可求

出矩形ABCD的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C,D.

本题主要考查扇形的面积公式，属于中档题.

13.【答案】f(x)=cos2x+2(答案不唯一)

【解析】解：根据题意，要求函数/Q)同时满足以下条件：

①以兀为最小正周期；

②以X=与为一条对称轴；

③值域为[1,3],

可以考虑由正弦函数y=SinX变换得到，

如/(Y)=sin(2x-1)+2=cos2x+2(答案不唯一)，

故答案为：/(x)=cos2x+2(答案不唯一).

根据题意，/(x)可以考虑由正弦函数y=S讥X变换得到，由此分析可得答案.

本题考查函数解析式的求法，注意常见函数的性质(单调性，奇偶性，定义域，值域等)，属于基

础题.

14.【答案】100/石

【解析】

【分析】

本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形，将各个已知条件向三角形集中，再通

过正弦或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解.

设此山高九(m),在ABCO中，利用仰角的正切表示出BC,进而在△力BC中利用正弦定理求得∕ι.

【解答】

解：设此山高∕ι(m),则BC=Ch,

在AABC中，NBaC=30°,∆CBA=105o,∆BCA=45%AB=600.

根据正弦定理冤篇600

sin45°,

解得h=100√^6(m)

故答案为：IOO，石.

15.【答案】(一|,一|)

【解析】解：向量五=(1,1),b=(-1,-2).则魂•松=一Ixl+(-2)x1=—3,

与苍同向的单位向量为同1(U)=(〒，*-),

所以由投影向量的公式可知,石在五上的投影向量为普喻=提有与)=(-9一%

故答案为：(―ɪ,-^).

根据给定条件，利用投影向量的意义求解作答.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

16.【答案】①③

【解析】解：五OB=I弓+石IXI五一BIXsin＜五，K＞＞其中＜优石＞是云与石的夹角,

若＜Z,b＞=90°，贝IJl五+加|=同一石|，五∙E=0,

则1。石=I五+石IXla-3∣=∣R+石|2=12+『+2五不=片+片，故正确：

②若I苍I=@，则0+W10-3)，

即<1+瓦五一石>=],

则0+1)。0—方)=2|引*2历|*向<苍+瓦万一]>=4|五||司，

故②错误；

③若同=|我,^∖aθb≤∖a+b∖×∖a-b∖=a2+f=2∖a∖2'故正确;

④若五=(L2),3=(-2,2),则》+〃=(—1,4),2a+b=(0,6).

COS<α,2ɑ+6>=$=故Sin<α,2E+b>=—>

则0+E)θB=∣2五+B∣x∣方IXSin<为，2α+h>=6×√^×ɪ=6≠√Iθ.故错误；

故真命题的序号为：①③

故答案为：①③

根据已知中的新定义，αO6=∣α+b∣×∣α-6∣×sin<α,b>，其中V落b>是五与B的夹角，

逐一判断四个命题的真假可得答案.

本题以命题的真假判断为载体，考查了平面向量的夹角和模，难度为中档.

17.【答案】解：(l)∕(χ)=cos(2x+/)+sin2%=cos2xcos—sin2xsin^+1，。广=ɪ-^γ-sin2xf

所以当S讥2x=-1时，函数f(χ)的最大值为当I,

它的最小正周期为：y=7T;

(2)因为f(今=；一号SinC=-%所以sinC=?'

因为C为锐角，所以C=枭

因为在△48C中，cosB=所以SinB=0三

ɔ3

所以sin4=sin(B+C)=SinBcosC+CosBsinC=×ɪ+ɪ×三

_2々+口

=6'

【解析】(I)首先化筒函数f(x)=cos(2x+半+siMχ,然后根据正弦函数的最大值是1,最小值

是-1,求出函数f(x)的最大值，进而求出它的最小正周期即可；

(Il)首先根据"X)的解析式，/(")=-;，求出角C的正弦值，进而求出角C的大小；然后求出角B

的正弦、余弦，最后根据两角和的正弦公式，求出Sina的值即可.

本题主要考查了三角函数的最值以及最小正周期的求法，属于基础题.

18.【答案】解：⑴由4(3,4)、8(0,0)、C(c,0).

得到：AB=(-3,-4),AC=(c-3,-4)，则四∙前=-3(c-3)+16=0，解得C=等

(2)当C=5时，C(5,0),则IABl=√32+42=5.∖AC∖=√(3-5)2+42=2√5,∖BC∖=5,

根据余弦定理得：COSA="B"'/=25+20-25=小，

2ABAC20>Γ55

由4∈(0,π),得到sin4=Jl-=今包

【解析】(1)根据已知三点的坐标分别表示出话和方，然后利用平面向量数量积的运算法则，根

据四=0列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的值；

(2)把C的值代入C的坐标即可确定出C,然后利用两点间的距离公式分别求出|、MCl及IBCl的

长度，由|AB|、∣4Cl及IBCl的长度，利用余弦定理即可求出COSA的值，然后由4的范围，利用同角

三角函数间的基本关系即可求出S讥力的值.

此题考查学生掌握平面向量数量积的运算法则，灵活运用余弦定理及两点间的距离公式化简求值,

是一道综合题.

19.【答案】解：(1)∆4BC的内角和4+B+C=π,

由力=98>0,。>0得，0<F<⅞.

ɔJ

应用正弦定理得：

AC=孚；sinB=sinx=4sinxf

sιnASmW

AB=sinC=4sin(j^--x),

SinA'3J

因为y=AB+8C+AC,

所以y=4sinx+4sin(^∙—x)+2√-3(0<x<ɪ).

√^31L

(2)vy=4(smx+—2~cosx+sinx)+2√3

=4√3siπ(x+弓)+2V3(^<%+看<-^)f

所以当0+3=3即时,

OZ5

y取得最大值6C.

【解析】(I)由内角4=*边BC=2，耳，设内角B=X,周长为y,我们结合三角形的性质，AABC

的内角和Z+B+C=兀，△48。的周长、=48+8。+4。，我们可以结合正弦定理求出函数的解

析式，及自变量的取值范围.

(2)要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再

根据正弦型函数的最值的求法进行求解.

函数y=As讥(tux+<p)(A>0,3>0)中，最大值或最小值由力确定，即要求三角函数的最值一般

是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|川，最小值为一MI.

20.【答案】解：(I)因为向量记=(α,Cb)与记=(COS4sinB)平行，

所以αsiτιB—y∕~3bcosA=0，

由正弦定理可知：SinAsinB-yJ-3sinBcosA=0-

因为B为AABC的内角，

所以SinB≠0,所以tα札A=√^3,

因为4为△4BC的内角，

所以4=全

(H)α=√-7,b=2,

由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA,

可得7=4+C2—2c,

解得c=3,或c=一l(负值舍去)，

所以△4BC的面积为TbCSin4=~γ--

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，向量共线，考查计算能力，属于中档

题.

(I)利用两向量平行，可得as讥B-yΓlbcosA=0,通过正弦定理，即可求出结果；

(II)利用余弦定理求出c,然后求解AaBC的面积.

21.【答案】解：⑴函数/(χ)=2cosxsin(x+=2cosx(^y-sinx+ɪcosx)=三sin2x+cos2x=

^γ-sin2x++ɪ=sin(2x+¾+1∙

ZLLOZ

所以函数的最小正周期为T=y=π.

当Xe[-∣>5>

所以2x+看∈[―看,阳，

当％=2时，函数的最大值为最

O2

(2)由于在锐角△4BC中，/(今=|，

所以SinG4+z)+∣=i解得A=?•

OZZD

利用正弦定理2R=或%=g=2,

^2^

所以b=2RsinB,c=2RsinC,

由于C=与-B

所以

3O<ZB<3

所以b+C=2(SEB+sinC)=2sinB+2sin(y-B)=2√3Sin(B+5,

由于q<B<*

所以?<B+'<"，

ɔOɔ

故/<sin(B+2)≤1,

故3<b+c≤2√^∙

即b+C的取值范围为(3,2√^5].

【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定

理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.

(2)利用正弦定理和