第7讲 立体几何中的交线问题（含解析）

第7讲立体几何中的交线问题一、单选题12023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在三棱锥A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直，且AB=AC=AD=3，以A为球心，为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为()22023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，点P，Q，T分别在为m，n，则()AmCn的长度为BT=3，记平面PQT与侧面ADD1A1，底面ABCD的交线分别32023·全国·高三专题练习）阅读材料：空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为=(a,b,c)的平面a的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0；过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为面a的方程为3x-5y+z-7=0，直线l是平面x-3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面a所成角的正弦值为()42023下·江西·高三统考阶段练习）如图，二面角a-l-β的大小为,a一a,b一β,且a与交线l所成的角为，则直线a,b所成的角的正切值的最小值为()52023·云南昆明·统考模拟预测）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面a满足AC//a,BC1//a，若直线AC到平面a的距离与BC1到平面a的距离相等，平面a与此正方体的面相交，则交线围成的图形为()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形62023下·河南·高三校联考阶段练习）在正三棱锥P-ABC中，PA=6，BC＝6，M，N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为() 72023·河北承德·统考模拟预测）如图，正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的各棱长均为1，下列选项正确的有()A．过A，C1，E1三点的平面a截该六棱柱的截面面积为B．过A，C1，E1三点的平面a将该六棱柱分割成体积相等的两部分C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为π()D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为|（1+3)|π82023·全国·高三专题练习）已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=a，记平面A1CD1和平面ABCD的交线为l，已知二面角D1-l-A的大小为60°,则a的值为()A.33B．13392023·安徽·统考一模）安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中，点E,F分别是棱AA1,CC1的中点，过D1,E,F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线AD1所成角为()AπBπCπDπ102023下·四川成都·高三校联考期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD的中点，设平面A1BC1与平面CC1E的交线为m，则直线m与AC所成角的余弦值为()112023·四川成都·成都七中校考一模）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1内的一动点，M为线段DC的中点，则下列说法错误的是()A．平面PAM内任意一条直线都不与BC平行B．平面PAB和平面PCM的交线不与平面ABCD平行C．平面PBC内存在无数条直线与平面PAM平行D．平面PAM和平面PBC的交线不与平面ABCD平行122023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1中点，过A1362313623的截面c与平面AA1B1B的交线为l，则异面直线l与B1C所成角的余弦值为()132022上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）空间直角坐标系O_xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为=(a,b,c)的平面c的方程为a(x_x0)+b(y_y0)+c(z_z0)=0，已知平面c的方程为3x_5y+z+7=0，直线l是两平面x_3y_7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面c所成角的正弦值为 142024·全国·高三专题练习）在正方体ABCD_A1B1C1D1中，E为线段AD的交线为l，则直线l与BE所成角的余弦值为()152022上·广东广州·高三统考阶段练习）已知三棱锥P_ABC的棱AB，AC，AP两两互相垂直，AB=AC=AP=，以顶点A为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为162023·新疆·统考三模）在正方体ABCD_A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，平面A1C1B与平面CEC1的交线为l，则l与AB所成角的余弦值为()33D333172023·全国·高三专题练习）如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点（不含端点将ΔABE沿AE翻折，使得二面角B_AE_D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B_AECD，点F为线段BD上的动点（不含端点则在四棱锥B_AECD中，下列说法正确的是()B．存在点F，使得CF∥平面BAEC．侧面BEC与侧面BAD的交线与直线AD相交D．三棱锥B-ADC的体积为定值二、多选题182024·湖南长沙·统考一模）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段BD1上的动点，直线m为平面A1DP与平面B1CP的交线，则()A．存在点P，使得BB1//面A1DPB．存在点P，使得B1P面A1DPC．当点P不是BD1的中点时，都有m//面A1B1CDD．当点P不是BD1的中点时，都有m面ABD1192024上·河北秦皇岛·高三昌黎一中校考阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD，PD=AD=1，点E是棱PB的中点，过A，D，E三点的平面C与平面PBC的交线为l，则()A．直线l与平面PAD有一个交点C．直线PA与l所成角的大小为45O35D．平面C截四棱锥P一ABCD35202023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中）如图，正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为4，点E、F、G分别在棱D1A1、D1C1、A1A上，满足==，=λ(λ>0)，记平面EFG与平面A1B1CD的交线为l，则()道A．存在λe(0,1)使得平面EFG截正方体所得截面图形为四边形B．当λ=C．当λ=D．当λ=时，三棱锥B一EFG体积为时，三棱锥A1EFG的外接球表面积为34π时，直线l与平面ABCD所成的角的正弦值为212023上·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）如图，棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，P为棱CC1上异于端点的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线.下列结论中正确的是()A．m」PQB．m平面B1D1QC．m」平面A1ABB1222023上·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）若平面与一个球只有一个交点，则称该平面为球的切平面．过球面上一点恒能作出唯一的切平面，且该点处的半径与切平面垂直．已知在空间直角坐标系作切平面π0，且π0与c的交线为l0，下列说法正确的是.0的一个方向向量为(,1,0).C．过z正半轴上一点N(0,0,h)作与原点距离为1的直线l,，设Γ={M|M=l,（c}，若Γ（l0=⑦,则.到原点的距离，则dp.dm.dn>DCAA上，满足==，=λ(λ>0)，记平面EFG与平面A1B1CD的交线为l，则()A．存在λE(0,1)使得平面EFG截正方体所得截面图形为四边形B．当λ=C．当λ=D．当λ=时，三棱锥A1-EFG的外接球表面积为84π时，三棱锥B-EFG体积为时；l与平面ABCD所成的角的正弦值为242023·山东·山东省实验中学校考一模）已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心点B为圆O上异于A，C的动点，SO=1，OC=，平面α和直线SO所成的角为θ,该圆锥侧面与平面α的交线为曲线C，则().A．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2C．若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为3D．若sin3,则曲线C必为双曲线的一部分252021·江苏·高三专题练习）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有()A．AELB1CB．B1DL平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成的角为 π 3D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m//平面B1D1Q三、填空题262024上·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD的中点，设平面A1BC1与平面CC1E的交线为m，则点A到直线m的距离为.272023·全国·模拟预测）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点E为AA1的中点，点F为C1D1的中点，平面BEF与平面ADD1A1的交线为l，则异面直线l与AC1所成角的余弦值为.282023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PA=PB=PC=PD，ΔPAC是边长为3的等边三角形，点M是ΔPAC的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面a，平面a与截面PAC交线段的长度为2，则平面a与正四棱锥P-ABCD表面交线所围成的封闭图形的面积可能为（填序号）.①2；②2；③3；④2.292023·广东广州·统考三模）已知空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0,y0,z0)，且一个法向量为=(a,b,c)的平面c的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0．用以上知识解决下面问题：已知平面c的方程为x+2y-2z+1=0，直线l是两个平面x-y+3=0与x-2z-1=0的交线，试写出直线l的一个方向向量为，直线l与平面c所成角的正弦值为.302023·浙江宁波·统考一模）在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD(不含端点)上的动点，过点A的平面c与平面PBC平行.若平面c与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正弦值的最大值为.312023下·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）在底面边长为2，侧棱长为3的正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为棱BC，AB的中点，点D在棱CC1上，且CD=2，若平面ABC1与平面AED的交线为l，则l与直线C1F所成角的余弦值为.322023·全国·高三专题练习）阅读材料：空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为=(a,b,c)的平面c的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面c的方程为3x-5y+z-7=0，直线l是两平面x-3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面c所成角的正弦值为.332022上·江苏·高三校联考阶段练习）在棱长为2的正四面体ABCD中，已知球O是ABCD内半径最大的球，并且球A的球面与其球面外切，则球A的球面与ABCD的交线长度为.342023·全国·高三专题练习）三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为=(a,b,c)的平面c的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0，过点P(x0,y0,z0)且方向向量为=(m,n,t)(mnt产0)的直线l的方程为==．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面c的方程为x-y+z+1=0，直线l是两个平面x-y+2=0与2x-z+1=0的交线，则直线l与平面c所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是.352023·全国·高三专题练习）阅读材料：空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为=(a,b,c)的平面c的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0；过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为=(u,v,w)(uvw产0)的直线l的方的方程为3x-5y+z-7=0，直线l是平面x-3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面c所成角的正弦值为.362023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）正四棱锥P-ABCD中，M为棱AB上的点，且PA=AB=3AM，设平面PAD与平面PMC的交线为l，则异面直线l与BC所成角的正切值为.第7讲立体几何中的交线问题一、单选题12023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在三棱锥A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直，且AB=AC=AD=3，以A为球心，为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为()【答案】C【解析】由题意知三棱锥A-BCD为正三棱锥，故顶点A在底面BCD的射影为ΔBCD的中心H，连接AH，由V三棱锥D-ABC=V三棱锥A-BCD，因为球的半径为，所以截面圆的半径r==，所以球面与底面BCD的交线是以H为圆心，为半径的圆在ΔBCD内部部分，如图所示2(6)22(6)2 π ,2故选：C. 322023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，点P，Q，T分别在为m，n，则()Am的长度为【答案】A【解析】如图所示，BT=3，记平面PQT与侧面ADD1A1，底面ABCD的交线分别连接QP并延长交CB的延长线于E，连接ET并延长交AD于点S，交CD的延长线于点H，连接HQ，交DD1于点R，连接SR，则m即为SR，n即为ST，由PB//QC，得=E4=，所以EB=2，EC=6，ASAS2+AT2所以SR=59故选：A.32023·全国·高三专题练习）3阅读材料：空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为=(a,b,c)的平面a的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0；过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为面c的方程为3x-5y+z-7=0，直线l是平面x-3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面c所成角的正弦值为()【答案】A【解析】∵平面c的方程为3x-5y+z-7=0，∴平面c的一个法向量为=(3,-5,1设平面x-3y+7=0与平面4y+2z+1=0-m设直线l与平面c所成的角为θ,则sinθ=cos,==.-m故选：A.42023下·江西·高三统考阶段练习）如图，二面角c-l-β的大小为,a一c,b一β,且a与交线l所成的角为，则直线a,b所成的角的正切值的最小值为()【答案】B【解析】先证明一个结论：如图，直线ST为平面Y的一条斜线，T为斜足，ST与平面Y所成的角为θ,则平面Y内的直线与直线ST所成角的最小值为θ.3939证明：对于平面Y内的任意一条直线m，如果其不过点T，则可以平移该直线至点T，此时直线m与直线ST所成角即为平移后的直线与直线ST所成的角.设平移后的直线为直线TG（如图过S作TG的垂线，垂足为E，S在平面Y内的射影为O，连接OT，则经STO=θ,故经STE之θ,当且仅当TG与OT重合时等号成立，所以平面Y内的直线与直线ST所成角的最小值为θ.回到原题，如图，设anl=B，取a上一点A，过A作ACLl，垂足为C,ADLβ,垂足为D，连接CD,BD，因为ADLβ,l仁β,故ADLl，而ACLl，ADnAC=A，AD,AC仁平面ADC，故lL平面ADC，而DC仁平面ADC，故CDLl，故经ACD为平面C-l-β的平面角的补角，不妨令AD=x，则AC=2x,DC=x. 3又经ABC=60。，所以BC=2x，所以BD 3所以ADx x333=DCDC2+BC2 因为ADLβ,故AB与平面β所成的角为经ABD，由前述所证结论可得，直线a,b所成角的最小值为经ABD，其正切值为故选：B.52023·云南昆明·统考模拟预测）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面C满足AC//C,BC1//C，若直线AC到平面C的距离与BC1到平面C的距离相等，平面C与此正方体的面相交，则交线围成的图形为()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【解析】如图，设E,F,G,H,M,N分别为AB,BC,CC1,C1D1,A1D1,AA1的中点，连接EF,FG,GH,HM,MN,NE,A1B,CD1,AD1,A1C1，:FG//MN，FG=MN，同理可得，EF//MH,EF=MH，GH//NE,GH=NE，:E,F,G,H,M,N共面，：AC//EF,AC丈平面EFGHMN，EF一平面EFGHMN，:AC//平面EFGHMN，同理可得BC1//平面EFGHMN，：E为AB的中点，:A到平面EFGHMN的距离与B到平面EFGHMN的距离相等，即平面EFGHMN为所求的平面C，故与正方体交线为正六边形EFGHMN.故选：D62023下·河南·高三校联考阶段练习）在正三棱锥P-ABC中，PA=6，BC＝6，M，N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为() 【答案】C 12【解析】取PB的中点J，连接MJ,JN，由题意可得QN//AB,QN 12又因为MJ//AB,MJ=AB，所以MJ//QN,MJ=QN，所以四边形MJNQ是平行四边形，所以MQ//JN，所以M、J、N、Q四点共面，所以平面MQN与平面PBC的交线为l即为JN，AB，直线QD与直线l所成角即为直线QD与直线MQ所成角即为经MQD，因为正三棱锥P-ABC中，PA=6，BC＝6，故选：C.72023·河北承德·统考模拟预测）如图，正六棱柱ABCDEF一A1B1C1D1E1F1的各棱长均为1，下列选项正确的有()A．过A，C1，E1三点的平面C截该六棱柱的截面面积为B．过A，C1，E1三点的平面a将该六棱柱分割成体积相等的两部分C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为πD．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为（(|1+π【答案】ACD【解析】对于A：过点A作GH//C1E1，设GHIBC=G,GHIEF=H，连接C1G,E1H，设C1GIBB1=M,E1HIFF1=N，则过A，C1，E1三点的平面a截该六棱柱的截面即为AMC1E1N， 因为BB1」平面ABCDEF，GH一平面ABCDEF，所以BB1」GH，BCnBB1=B，BC,BB1一平面BCC1B1，可得GH」平面BCC1B1，一平面BCC1B1，则GH」C1G，由GH//C1E1，则C1E1」C1G，连接BF,MN，则MN=BF=，对于B：连接CE，因为BB1」平面ABCDEF，GB一平面ABCDEF，所以BB1」BG，BF」BG，BF（BB1=B，BF,BB1一平面BFF1B1，可得GB」平面BFF1B1，四棱柱BCC1M-FEE1N的体积VBCCM-FEEN=+1根1根=2，显然V1对于C：因为球的半径为1，则球只与侧面ABB1A1、侧面AFF1A1和底面ABCDEF相交，AB=,经FAB=，在侧面ABB1A1、侧面AFF1A1的交线为个圆，在底面ABCDEF的交线为个圆，半径均为1，对于D：因为球的半径为2，显然球不与侧面ABB1A1、侧面AFF1A1相交，由选项A可知：GHL平面BCC1B1，且AG2+C1G2=2，则球与侧面BCC1B1、侧面EFF1E1分别交于点C1、E1，连接AC，则ACLCD，因为CC1」平面ABCDEF，AC一平面ABCDEF，所以CC1⊥AC，CDnCC1=C，CD,CC1平面CDD1C1，可得且AC=,22-(3)2=1，则球与侧面CDD1C1的交线为个圆，且半径为1，同理可得：球与侧面EDD1E1的交线为个圆，且半径为1，则球与底面A1B1C1D1E1F1的交线为个圆，且半径为，又因为AD=2，则球与底面ABCDEF的交点为D，所以球面与该六棱柱的各面的交线总长为2根故选：ACD.11()11()82023·全国·高三专题练习）已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=a，记平面A1CD1和平面ABCD的交线为l，已知二面角D1-l-A的大小为60°,则a的值为()【答案】C【解析】如图所示：连接A1B，A1D1∥BC，故A1,D1,B,C四点共面，故平面A1CD1和平面ABCD的交线为BC，BC」平面ABB1A1，A1B一平面ABB1A1，故二面角D1-l-A的大小为经ABA1=60。，a=.故选：C92023·安徽·统考一模）安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中，点E,F分别是棱AA1,CC1的中点，过D1,E,F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线AD1所成角为()【答案】A【解析】如图所示，在平面AA1D1D中，连接D1E与DA交于H，则HA=AD，在平面CC1D1D中，连接D1F与DC交于G，则GC=CD，则GH为平面D1EF与平面ABCD的交线l，且GH∥AC，而在等边△ACD1中AC与AD1所成的角为，故l与直线AD1所成角故选：A π 102023下·四川成都·高三校联考期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD的中点，设平面A1BC1与平面CC1E的交线为m，则直线m与AC所成角的余弦值为()【答案】B【解析】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，如图所示：设平面A1BC1的法向量为=(x1,y1,z1)，.BC1设平面CC1E的法向量为=(x2,y2,z2)，222设直线m的方向向量为=(x,y,z)，∵直线m一平面A1BC1，直线m一平面CC-----已知=(2,2,0)，设直线m与AC所成角为θ,即直线m与AC所成角的余弦值为故选：B. ,2模）在正方体ABCD一A1B1CM为线段DC的中点，则下列说法错误的是()A．平面PAM内任意一条直线都不与BC平行B．平面PAB和平面PCM的交线不与平面ABCD平行C．平面PBC内存在无数条直线与平面PAM平行D．平面PAM和平面PBC的交线不与平面ABCD平行【答案】B【解析】对A，因为BC与AM在平面ABCD内且不平行，故BC与AM相交，故BC与平面PAM相交，若平面PAM内任意一条直线与BC平行，则BC//平面PAM，矛盾，故A正确；对B，由AB平行BC，AB平面PCM，BC平面PCM，故AB//平面PCM.设平面PAB和平面PCM的交线为l，由线面平行的性质可得AB//l，又l平面ABCD，AB平面ABCD，故l//平面ABCD，故B错误；对CD，延长AM，BC交于E，连接如图.由题意，平面PAM和平面PBC的交线即直线PE，故当平面PBC内的直线与PE平行时，与平面PAM也平行，故C正确；交线PE与平面ABCD交于E，故D正确；故选：B122023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1中点，过A的截面与平面AA1B1B的交线为l，则异面直线l与B1C所成角的余弦值为()【答案】A【解析】取BB1的中点M，如下图，连接AM,EM，因为AD1//EM，所以A、D1、E、M四点共面，所以过A,D1,E的截面c即为平面AD1EM，截面c与平面AA1B1B的交线为l即为AM，取BC的中点N，连接MN,AN，因为MN//B1C，所以经AMN（或其补角）为异面直线l与B1C所成角，设正方体的棱长为2，所以AM=,MN=,BN=，则异面直线l与B1C所成角的余弦值为.故选：A.132022上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）空间直角坐标系O一xyz中，过点P(x0,y0,z0)且=0，已知平面c的方程为3x5y+z+7=0，直线l是两平面x3y7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面c所成角的正弦值为 【答案】C----设两平面的交线l的方向向量为=(x,y,z)，--m.p-m-p2--m.p-m-p2 则故选：C. .的交线为l，则直线l与BE所成角的余弦值为()【答案】D以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，如图所示：1cosθ=u3cosθ=u3设直线l的方向向量为=(x,y,z)，∵l一平面A1BC1)，=(2,1,0)，设直线l与BE所成角为θ---.---BE故选：D ,即直线l与BE所成角的余弦值为3030152022上·广东广州·高三统考阶段练习）已知三棱锥P一ABC的棱AB，AC，AP两两互相垂直，AB=AC=AP=，以顶点A为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为【答案】D【解析】因为三棱锥P一ABC的棱AB，AC，AP两两互相垂直，AB=AC=AP=，所以球A与三棱锥的表面ABC,APC,APB的交线均为以点A为顶点，半径为1，圆心角为的圆弧，其长度设点A到平面PBC的距离为d，因为AB=AC=AP=，所以Δ由VPABC=VAPBC可得xxxx=xx2x2xxd，解得d=，所以球A与表面PBC的交线为以ΔPBC的中心为圆心，半径为1一2=的圆，其长度为,3所以以顶点A3故选：D,162023·新疆·统考三模）在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E为l，则l与AB所成角的余弦值为()633363333【答案】D【解析】延长BA1，CE交直线于点M，延长C1E,B1A1交于点N，连接MN,MC1,MD1，则直线MC1即为交线l，又AB∥C1D1，则经MC1D1即为l与AB所成的角，设正方体棱长为1，所以A1为MB的中点，A1为NB1的中点，点E为MC的中点，E为NC1的中点，则EM=EC,EN=EC1，所以‘EMN二‘ECC1，1E即l与AB所成角的余弦值为.故选：D.172023·全国·高三专题练习）如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点（不含端点将‘ABE沿AE翻折，使得二面角B-AE-D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B-AECD，点F为线段BD上的动点（不含端点则在四棱锥B-AECD中，下列说法正确的是()B．存在点F，使得CF∥平面BAEC．侧面BEC与侧面BAD的交线与直线AD相交D．三棱锥B-ADC的体积为定值【答案】B【解析】A.假设B、E、C、F四点共面，则直线EC与BF共面，若EC与BF平行，又EC与AD平行，则AD与BF平行，这与AD与BF相交矛盾；若EC与BF相交，设交点为Q，则Q即在平面BAD内，又在平面AECD内，则点Q在交线AD上，这与EC与AD平行矛盾，所以假设不成立，所以B、E、C、F不共面，故错误；B.如图所示：【答案】ACD在AD上取点G，使得AG=EC，当时，FG//AB，又FG平面BAE，AB平面BAE，所以FG//平面BAE，同理CG//平面BAE，又FGnCGG，所以平面CFG//平面BAE，则CF∥平面BAE，故存在点F，使得CF∥平面BAE，故正确；C.设侧面BEC与侧面BAD的交线为l，因为EC//AD，且EC面BAD，AD面BAD，所以EC//面BAD，则EC//l，所以AD//l，故错误；D.因为二面角BAED为直二面角，当点E移动时，点B到AE的距离即三棱锥BADC的高变化，而S△ADC是定值，故三棱锥BADC的体积不是定值，故错误；故选：B二、多选题182024·湖南长沙·统考一模）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段BD1上的动点，直线m为平面A1DP与平面B1CP的交线，则()A．存在点P，使得BB1//面A1DPB．存在点P，使得B1P面A1DPC．当点P不是BD1的中点时，都有m//面A1B1CDD．当点P不是BD1的中点时，都有m面ABD1------------【解析】当点P与D1点重合时，由BB1//DD1，而DD1面A1DP，BB1面A1DP，可知BB1//面A1DP，即A正确.若B1P面A1DP，注意到DA1面A1DP，则B1PA1D，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，-------------B-------------所以110，与B1PB1C矛盾，即B错误.当P不是BD1的中点时，由A1D//B1C，且B1C面B1CP，A1D面B1CP，可知A1D//面B1CP，又直线m为面A1DP与面B1CP的交线，则A1D//m，又A1D面A1B1CD，m面A1B1CD，从而可得m//面AB同上，有A1D//m，又AB面ADD1A1，A1D面ADD1A1，所以ABA1D，又AD1A1D,ABAD1A,AB,AD1面ABD1，所以A1D面ABD1，则m面ABD1，即D正确.故选：ACD.192024上·河北秦皇岛·高三昌黎一中校考阶段练习）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD，PDAD1，点E是棱PB的中点，过A，D，E三点的平面与平面PBC的交线为l，则()故选：BCDA．直线l与平面PAD有一个交点C．直线PA与l所成角的大小为45。D．平面C截四棱锥P一ABCD所得的上下两个几何体的体积之比为【答案】BCD【解析】如图，取棱PC中点F，连接EF，DF，因为E是棱PB的中点，则BC//EF，而AD//BC，所以AD//EF，35即A，D，E，F四点共面，则l为直线EF，又AD一平面PAD，EF一/平面PAD，所以EF//平面PAD，即l//平面PAD，故A错误；由PD」底面ABCD，AD一平面ABCD，所以PD」AD，由PD=AD，可得△PDC为等腰直角三角形，而斜边PC的中点为F，所以PC」DF，再由底面ABCD是正方形，易得AD」CD，又PD（CD=D，且PD，CD一平面PDC，所以AD」平面PDC，又PC一平面PDC，所以AD」PC，又AD（DF=D，且AD，DF一平面ADFE，所以PC」平面ADFE，又DE一平面ADFE，所以PC」DE，故B正确；由AD//EF，则直线PA与l所成的角就是PA与AD所成的角，即PA与AD所成的角的余弦值为，即角为45。，故C正确；VABCDFEVABCDFE24202023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中）如图，正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为4，点E、F、G分别在棱D1A1、D1C1、A1A上，满足==，=λ(λ>0)，记平面EFG与平面A1B1CD的交线为l，则()道A．存在λe(0,1)使得平面EFG截正方体所得截面图形为四边形B．当λ=C．当λ=D．当λ=【答案】BD时，三棱锥B一EFG体积为时，三棱锥A1EFG的外接球表面积为34π时，直线l与平面ABCD所成的角的正弦值为以D为原点，以DA以D为原点，以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：DEDF1 DADDEDF1 DADC4λe(0,1)由图形知，截面EFG为五边形或六边形．故A错误.又GA1」平面EFC1，1X3=，三棱锥B-EFG体积为，故B正确.对于C选项，当λ=时，A1G=A1E且A1B1」平面A1EG，所以根据球的性质容易判断，三棱锥A1-EFG的外接球的球心在过线段EG的中点，且垂直于平面A1D1DA的直线上，E(1,0,4)，G(4,0,1)，所以EG的中点M,0,，可记球心O,t,，F5252所以三棱锥A1-EFG的外接球表面积为43π,故C错误. r=，2由BC1」平面A1B1CD知，平面A1B1CD的法向量记平面EFG与平面A1B1CD的交线l的一个方向向量为=(x2,y2,z2)，2222又平面ABCD的法向量为=(0,0,1)故选：BD.212023上·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）如图，棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，P为棱CC1上异于端点的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线.下列结论中正确的是()C．m」平面A1ABB1【答案】ABD【解析】在正方体ABCD一A1B1C1D1中，四边形BB1D1D为矩形，所以BD//B1D1，又BD一平面PBD，B1D1丈平面PBD，所以B1D1//平面PBD，又B1D1平面B1D1P，且平面BDP与平面B1D1P=m，所以m//B1D1//BD.对于A，因为四边形ABCD为正方形，则AC」BD，又因为AA1」平面ABCD，BD一平面ABCD，则BD」AA1，因为AC∩AA1=A，AC、AA1一平面AA1C1C，所以BD」平面AA1C1C，又m//BD，所以m」平面AA1C1C，又PQ一平面AA1C1C，所以m」PQ，正确；对于B，因为m//B1D1，m丈平面B1D1Q，B1D1一平面B1D1Q，所以m//平面B1D1Q，正确；对于C，假设m」平面A1ABB1，即B1D1」平面A1ABB1，与正方体性质矛盾，错误；对于D，因为CC1//BB1，又BB1一平面B1BDD1，CC1丈平面B1BDD1，所以CC1//平面B1BDD1，所以点P到平面B1BDD1的距离等于点C到平面B1BDD1的距离，所以VP_BBDD=VC_BBDD=x1xx=为定值，正确.故选：ABD222023上·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）若平面与一个球只有一个交点，则称该平面为球的切平面．过球面上一点恒能作出唯一的切平面，且该点处的半径与切平面垂直．已知在空间直角坐标系作切平面π0，且π0与c的交线为l0，下列说法正确的是.0的一个方向向量为(,_1,0).C．过z正半轴上一点N(0,0,h)作与原点距离为1的直线l,，设Γ={M|M=l,八c}，若Γ八l0=⑦,则.到原点的距离，则dp.dm.dn之【答案】AC【解析】对于A，由于球面上切点处的半径垂直于切点处的切平面，所以切平面π0的一个法向量是=因为交线l0同时在π0与c的内，所以」且」，,，故A正确.对于B，设P(x0,y0,z0)，在平面POz内，过点P作PH」OQ于H，OHOHx0+y0, OHOP由于与OQ共线，且RtΔOHP~RtΔOPQ, OHOPdndn63ON22OH12222x0+y00202)0202)所以Q,,0，结合A选项，取=(-y0,x0,0)，易知，直线Ax+By+C=0的一个方向向量为(-B,A)，所以设l0的一般方程为x0x+y0y+C=0，代入点Q可得x0.+y0.+C=0，解得C=-1，因此l0的方程为1x+1y-1=0，即x+y-=0，故B错误；对于C，显然l,与球O相切，所有的l,组成双锥面，双锥面与平面C的交线即为圆Γ.,因此圆Γ与直线l0相离.临界条件下，Γ与l0相切，Γ的半径长即为OQ，因为OPIOz=O，OP,Oz一平面POz，所以l0」平面POz.因为OQ一平面POz，所以OQ」l0.OH0PH当Γ与l0相切时，切点即为点Q，此时PQ与z轴的交点正是点N最低的位置N0(0,0,h0)OH0PH由RtΔOHP~RtΔN0OQ得=，111-y2111-x2点P(x,y,z)半径为1的球O的面上，有x2+y2+z2=1，显然有x2<1,y2<1,z2<1，|（)(3)3|（)(3)3(1-z2+1-y2+1-x2)3故dldmdn=故1 1-z2)(1-y2)(1-x2)1((3)32当且仅当1-z2=1-y2=1-x2，故选：AC时等号成立，但((3)3232023·辽宁锦州·统考模拟预测）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E、F、G分别在棱D1A1、DCAA上，满足==，=λ(λ>0)，记平面EFG与平面A1B1CD的交线为l，则()A．存在λ=(0,1)使得平面EFG截正方体所得截面图形为四边形B．当λ=C．当λ=D．当λ=【答案】CD时，三棱锥A1-EFG的外接球表面积为84π时，三棱锥B-EFG体积为时；l与平面ABCD所成的角的正弦值为【解析】设正方体的棱长为3，以D为原点，以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示:对于A选项，λ=1时，G在A点，==，由EF//A1C1可知EF//AC，所以截面EFG即为四边形EFCA；λe(0,1)由图形知，截面EFG为五边形或六边形.故A错误.对于B选项，当λ=时，A1G=A1E且A1B1」平面A1EG，所以根据球的性质容易判断，三棱锥A1-EFG的外接球的球心在过线段EG的中点，且垂直于平面A1D1DA的直线上，E(1,0,3)，G(3,0,1)，所以EG的中点M(2,0,2)，所以三棱锥A1-EFG的外接球表表面积为24π,故B错误.对于C选项，当λ=时，==，所以EG//D1A//C1B，所以C1B//平面EFG，VB-EFG=VC-EFG=VG-CEF，三棱锥B-EFG体积为，故C正确.对于D选项，当λ=时，B(3,3,0)，C1(0,3,3)，G(3,0,)，E(1,0,3)，F(0,1,3)，设平面EFG的一个法向量为p=(x1,y1,z1)，则〈2，令x1设平面EFG的一个法向量为p=(x1,y1,z1)，则〈2，令x1=3，--记平面EFG与平面A1B1CD的交线l的一个方向向量为=(x2,y2,z2)，22222r--m.n-m.n-sinθ=故选：CD.242023·山东·山东省实验中学校考一模）已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心点B为圆O上异于A，C的动点，SO=1，OC=，平面α和直线SO所成的角为θ,该圆锥侧面与平面α的交线为曲线C，则().A．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2B．ZSAB的取值范围为,C．若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为3D．若sin3,则曲线C必为双曲线的一部分【答案】ACD【解析】对选项A：如图1，设截面为SMN,Q为MN中点，连接OQ,SQ，设MN=2a,a=(0,，则S△SMN=1MNXSQ=a.4a2<a2+4a2=SF SB共线时SESF SB共线时SE+CE最小，F为AB中点，连接S1F，则S1F」AB,sin经ABS1=1 4对选项C：如图3，‘ABC为等腰直角三角形，AB=BC=，将△SAB放平得到‘S1AB，当S1,E,C三点22(6)22S1C所以经ASO>θ,从而该圆锥侧面与平面a的交线为曲线，则必为双曲线的一部分，D正确.故选:ACD.252021·江苏·高三专题练习）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有()B．B1D」平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成的角为 π 3D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m//平面B1D1Q【答案】BD【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C」BC1，B1C」AB，BC1nAB=BC」平面ABC1D1，∵只有当E运动到线段B1C的中点时，AE」B1C才成立，故A错误；∵B1D1」A1C1，B1D1nDD1=D1，B1D1，DD1一平面BDD1B1，∴A1C1」平面BDD1B1，∴A1C1」B1D，同理可得BC1」B1D，又A1C1ÇB∴B1D」平面A1BC1，故B正确；连接BD，则AD1∥BC1，∴经OC1B（或其补角）为异面直线AD1与OC1所成的角.因为BD//B1D1，∵B1D1丈平面BDP，BD一平面BDP，∴B1D1//平面BDP，∵直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，B1D1一平面B1D1P，∴m//B1D1.∴m//平面B1D1Q，故D正确.故选：BD.三、填空题262024上·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）在棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，E为线段AD的中点，设平面A1BC1与平面CC1E的交线为m，则点A到直线m的距离为.【答案】/【解析】以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设平面A1BC1的法向量为=(x,y,z)，设平面CC1E的法向量为=(x1,y1,z12y1设交线m的方向向量为=(x2,y2,z2)，3一33一32em，22所以点A到直线m的距离为--------2(.)2AC1| 272023·全国·模拟预测）已知正四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点E为AA1的中点，点F为C1D1的中点，平面BEF与平面ADD1A1的交线为l，则异面直线l与AC1所成角的余弦值为.【答案】/【解析】如图，在棱CC1上取点G，使C1G=CC1=1，连接FG，则FG//BE，所以FG为平面BEF与平面CDD1C1的交线.连接BG，则BG为平面BEF与平面BCC1B1的交线.因为面BEF与面ADD1A1的交线为l，且面BCC1B1//面ADD1A1，所以BG//l.在棱DD1上取点H，使D1H=D1D=1，连接AH，则AH//BG，所以AH//l，则经C1AH就是异面直线l与AC1所成的角.AC1由余弦定理，得cos经C1AH=11=所以异面直线l与AC1所成的角的余弦值为.故答案为：2282023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PA=PB=PC=PD，ΔPAC是边长为3的等边三角形，点M是ΔPAC的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面C，平面C与截面PAC交线段的长度为2，则平面C与正四棱锥P一ABCD表面交线所围成的封闭图形的面积可能为（填序号）.①2；②2；③3；④2.【答案】①③【解析】设ACnBD=O，显然P一ABCD为正四棱锥，易知平面PAC」平面ABCD，又BO」AC，平面PACn平面ABCD=AC，BO一平面ABCD，所以BO」平面PAC，过M作MT//BO分别交棱PB、PD于点T、L，则MT」平面PAC，由题意，只需所作的平面C是包含TL且与截面PAC交线段的长度为2即可，又ΔPAC是边长为3的等边三角形，点M是ΔPAC的重心，过M作MQ//AC分别交棱PA、PC于点E、Q，所以=，即EQ\*jc3\*"Font:TimesNewRoman"\*hps20\o\ad(\s\up6(EQ),3)=，所以EQ=2，如图1，则平面ETQL为满足题意的平面C，显然四边形ETQL为正方形，对角线TL=QE=2，所以四边形ETQL的面积为SETQL=x22=2，①正确；如图2，过T作TH//GF，过L作LQ//GF，易知平面GLQHT为满足题意的平面C，且GLQHT为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以HT=1GF=1，所以五边形GLQHT的面积S=2S梯形GFHT=2xxFH=2xx1=3，故③正确.当GF//PA与GF//PC是完全相同的，所以，综上选①③.故答案为：①③292023·广东广州·统考三模）已知空间直角坐标系O一xyz中，过点P(x0,y0,z0)，且一个法向量为=0．用以上知识解决下面问题：已知平面c的量为，直线l与平面c所成角的正弦值为.【答案】492设直线l与平面c所成角θ,0<θ<90，2_x则sinθ=cos,=4 9x9449302023·浙江宁波·统考一模）在