考研数学模拟试卷(附答案)

考研数学模拟试卷(数学二)(附答案，详解)

一、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内)

1.设/(%)在(-8,+8)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是().

(A)sinfr(x)(B)sint-(C)f(sint)dt(D)[sint+

l+ex八

2.设/(x)==’则x=0是了⑴的().

l-ex

1,x=0,

(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)第二类间断点(D)连续点

3.若函数/(x)与g(x)在(-00,+8)内可导，且/(x)<g(x),则必有().

(A)/(-%)>.?(-%)(B)f'(x)<g'(x)

(C)limf(x)<lim^(x)(D)f<fg(t)dt

X—>XQ%JOJO

4.设是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则「/⑺勿是().

J0

(A)连续的奇函数(B)连续的偶函数

(C)在x=0间断的奇函数(D)在x=0间断的偶函数.

5.函数/(%)=(九2一九一2),不可导点有().

(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个.

6.若/(—x)=/(x),(-8<x<+8),在(—oo,0)内/'(x)>0,/"(%)<0,则/(X)在

(0,+oo)内有().

(A)f\x)>0,/"(x)<0(B)f\x)>Q,/"(x)>0

(C)f'(X)<0,/"(x)<0(D)f\x)<Q,/"(x)>0

7.设A为4阶实对称矩阵，且片+4=。.若A的秩为3,则A相似于().

PAPPr-i)

11-1-i

(A)(B)(C)(D)

1-1-1-i

10；10；10;

8.设3阶方阵A的特征值是1,2,3,它们所对应的特征向量依次为名,％,%，令

P=(3%,4,2%)，则/1AP=().

(900、00、<100、<100、

010(B)010(C)020(D)040

04/02)03)0

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上)

9.设〃尤)二阶可导，/(0)=0,/'(0)=1,/"(0)=2,则lim/(T工=.

10.微分方程y+(e-'-l)y=1的通解为.

11.曲线y=x+4smx的水平渐近线为.

5x-2cosx

12.设/(%)是连续函数，且/(%)=%+2⑺力，则/(%)=________.

J0

13.若lims’11'(cosx—b)=5,贝！J〃=___,b=_____.

%一°ex—a

14.设A为〃阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1,则齐次方程组Ax=0的通解为.

三、解答题(本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

1

f[t2(ef

15.(本题满分10分)求极限limJ---------——.

%.+821711、

xln(lH—)

x

t_

16.(本题满分10分)设/(%)在(一8,+8)上连续，且1/(x-1)endt=cosx/(%).

J0

1+Xx~

17.(本题满分10分)设—1<X<1,证明：xln--+cosx>l+—.

1-x2

18.(本题满分10分)求微分方程y"-3，+2y=2xe工的通解.

19.(本题满分10分)设区域£)={(x,y)九2+Vwi,x20},计算二重积分

“Ui

20.（本题满分11分）

设/'（无）=£当必，计算[f（x）dx.

21.（本题满分11分）

求由曲线y=2x和直线y=0,x=l,尤=3所围成平面图形绕y轴旋转一周所得旋转

体体积.

22.（本题满分11分）

%]+%+&+%4=-1

已知非齐次线性方程组在玉+3X2+5/-%=T有3个线性无关的解.

axx+%+3%3+如=1

（1）证明：方程组系数矩阵4的秩火（A）=2；

（2）求a*的值以及方程组的通解.

23.（本题满分11分）

1'-11

设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2,即尺（A）=2,且A0000

,-11,11

77

（I）求A的特征值与特征向量;

（II）求矩阵A.

数学基础阶段测试答案解析(数学二)

一、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内)

1.设/(%)在(-8,+8)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是().

(A)sinfr(x)(B)sint-(C)f(sint)dt(D)[sint+

解析：选择(B).sin%与/⑺都为奇函数，则sin，・/«)为偶函数，由积分的性质可得

「sin/・/(。力为奇函数.举例/(%)=%可得(A)sin/'(x)=sinl为偶函数，(C)

J。/(sin/)d/=J。sin碗=l—cosx为偶函数，(D)

f[sin/+/⑺]力=「(sin，+%)d%=Lx2—cosx+l为偶函数.故(A)(C)(D)错误.

*oJo2

l+ex八

Y=40

2.设/(x)==‘贝Ux=0是/(功的().

l-ex

1,x=0,

(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)第二类间断点(D)连续点

1+e81-I-己%

解析：选择(B).lim——-=-l,lim——=L因此无=O是/(x)的跳跃间断点.

%-o+-%-()--^

l-ex]—e%

3.若函数/(%)与8(1)在(一8,+8)内可导，且/(%)<g(%),则必有().

(A)/(-x)>g(-x)(B)f(x)<g'(x)

(C)limf(x)<limg(x)(D)ff(t)dt<fg(t)dt

X—>XQX—>XQJ0J0

解析：选择(C).函数，(x)与g(x)在(-00,+0。)内可导,则函数/(尤)与g(x)在(-00,+8)

内连续，因此lim/(%)=/(x)，limg(x)=g(Xo),而/(%)<g(x),故

X—>沟0％—>两

lim/(x)<limg(x).

X—Xf%

4.设是奇函数，除x=0外处处连续，x=o是其第一类间断点，则「/⑺族是().

J0

(A)连续的奇函数(B)连续的偶函数

(C)在x=0间断的奇函数(D)在无=0间断的偶函数

解析：选择(B)./(x)只有有限个第一类间断点，因此/(X)可积，由变上限积分函数的

性质可知，若/(x)可积，则⑺故连续./(x)是奇函数可得工/⑺4是偶函数.因此

「/⑺水是连续的偶函数.

J0

5.函数/(%)=(%2一工-2)13—4不可导点有().

(A)3个(B)2个(C)l个(D)0个.

解析：选择(B).由按照定义求导法则可知，N在x=0不可导，x国在x=0一阶可导.

因此，/(乃=(尤2—%—2),3—耳的不可导点，关键在于因子分解并考察卜3一,=0的点，

/(X)=(x-2)(x+l)|x(x—l)(x+l)卜于是可知，/(X)在无=0,1处不可导，而在x=—1处

是可导的.故/(%)不可导点的个数是2.故选(B).

6.若/(-%)=/(%)(-oo<x<-K>o),在(-oo,0)内/'(%)>0,/"(%)<0,则了(尤)在

(0,+oo)内有().

(A)f\x)>0,f"(x)<Q(B)f\x)>0,f"(x)>Q

(C)f\x)<0,f"(x)<Q(D)f\x)<Q,f"(x)>Q

解析：选择(C).由/(-x)=/(x)得/(x)在上为偶函数，则尸(x)为奇函

数，尸'(X)为偶函数.根据奇偶函数的性质可得(C)正确.

7.设A为4阶实对称矩阵，且片+4=。.若A的秩为3,则A相似于().

(1)

11-1-1

(A),(B)(C)(D)

-1-1-1

解析：选择(D).由T+A=。可得矩阵A的特征值;I满足彳2+彳=0,从而彳=0或

力=-1.由A为4阶实对称矩阵，得A可以相似对角化，A的秩为3得A有三个非零特征

值，即A的特征值为—1,—

8.设3阶方阵A的特征值是1,2,3,它们所对应的特征向量依次为名,%,%，令

P=(3tz3,a1,2a.,),则尸tAP=().

，900、(300、n00、n00、

010(B)010(C)020(D)040

04;02)N03)09>

解析：选择(B).由题意可得AP=43。3，%,2%)=(3473，人%,271%)=(9%,4,4%)

(3、(3、(3

二(3%,%,2%)1=p1.于是尸一1人尸=1

<2)<2)<2

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上)

9.设/(尤)二阶可导，/(0)=0,/'(0)=1,/"(0)=2,则lim"?-.

7£

解析：应填1.x=1面,(x)T=Uim,⑴—/⑼=-/"(0)=1.

…xa。2x2一。x2

解析：应填丁=/+.此方程为一阶线性非齐次微分方程.于是得

y=e"J+C)=eA+e'(fe-e^dx+C)=(-J""+C)

=e"，(”「+C)=ex+Ge"'.

H.曲线y=x+4smx的水平渐近线为______.

5x-2cosx

切，lr-j■士1rx+4sinx1%+4sinx,,.-^什、广心生1

解析：应填y=-.hm----------=-,故曲线y=----------的水平渐近线为丁二一.

55x-2cosx55%一2cos九5

12.设/(%)是连续函数，且/(%)=%+21/⑺力，则/(%)=__________.

Jo

解析：应填x—1.设A=1/(x)dx.在/(x)=x+21/⑺分两边积分得

-------J0*0

flfl11pl

A=£xdx+2A£dx,即A=/+2A,得A=-,.于是/(x)=%+=x-1.

13.若lim'in”(cosx—Z?)=5,贝___，b-_____.

x

%-oe—a

sinx(cosx-/?)

解析：应填1,4lim=5,分子趋于零得分母也趋于零，于是可知a=1.

X-oex-a

limSinA(\°SA=lim(cosx-b)=l-b=5,得6=7.

14.设A为〃阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1,则齐次方程组Ac=0的通解为.

解析：应填％(1,1,,1尸.由A的伴随矩阵4*的元素全为1得，4*的秩为1,可得A的秩为

〃—1,于是Ax=0的基础解系中只有一个向量.由A的秩为〃—1可得，网=0,于是

A4*=|A|E=0.可得A*的每一列即为方程组Ac=0的解，因此方程组Ac=0有非零解

(1,1,,炉，故Ac=0的通解为4(1,1,。

三、解答题(本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

1

f[t2(ef-V)-t]dt

15.(本题满分10分)求极限lim由----------——.

%—+821711、

xln(l+~)

x

ii

2

f[t^-V)-t]dtf1

解：原式=lim---------------=lim----------------=limx2(ex-l)-x.

x—>4-0021x—>+coJQX—>4-00

x.

X

u

人1EIIi-(e"—1)—M「e—1[.u1

令x贝!J原H式=hm^---------=lim-----=lim—.

u"-0+uM->0+2u“f0+2u2

16.(本题满分10分)设/。)在(一8,+8)上连续，且1/(xT)e〃力=cosx.求/(%).

J0

t„x-uxu

;％—广u——/,x—

解：设〃=x—则J。由=-J/(沅)e〃向=e1o/Q)e〃曲.于是

XXX

X1

£/(w)endu-encosx.等式两边对x求导可得，/(x)e■n=——encosx-ensinx.

n

即为

/(x)=——cosx-sin%.

n

]+XX

17.(本题满分10分)设—1<X<1,证明：xln--+cosx>l+—.

1-x2

1+xx2

证明：设/(%)=%ln-----+cosx-1------，-1<X<1./(-%)=/(%),即/(%)在

1-x2

1+xx

—1<%<1上为偶函数，因此只需要证明在OKxvl时，xln——+cosx>l+—.

1—x2

2

\+X2x.11+X1+%.

尸(x)=ln+2-smx-x=In-----+x--------sinx.

1-X1-X1-x1-x27

1+V1-LY21+r2

当0<无<1时，In-->0,—三〉1,因此有x•—\—sinx〉0,得尸(无)>0.

1-x1-x21-x2

得当0(尤<1时，/(x)单调递增.

1+YY2

因此当0<xv1时，f(x)=xln-------FCOSX-1----->/(0)=0,即

1-x2

,1+X-X2

xln------+cosx>1+—.

1-x2

18.(本题满分10分)求微分方程y”-3，+2y=2%靖的通解.

解:对应齐次方程的特征方程为万—32+2=0,解得特征根4=1,4=2,所以对应齐次方

2x

程的通解为％=Ge*+C2e.

设原方程的一个特解为y*=x(ox+»e£,_M

(y*)=(a%2+2ax+6x+6)e",(y*)=(ax2+4ax+bx+2a+2b^ex,

代入原方程,解得a=-l,b=-2,故特解为y*=x(-x-2)ex.

x2x

故方程的通解为>="+y*=Cxe+C2e-x(x+2)e\

19.(本题满分10分)设区域。={(苍丁),2+y2<1,尤20},计算二重积分

T^7dxdy-

解：积分区域对称于x轴，］+2y为y的奇函数，从而知2dx内=。

所以/=邛或言"=fln(l+/)bfln2.

D211

20.(本题满分11分)

设/•(%)=］如必，计算「/(x)dx.

Jo兀—tJ。

解：累次积分交换积分次序

JJf(x)dx=s'11，=J：［『包"力=sintdt=2.

21.(本题满分11分)

求由曲线y=/-2x和直线丁=0"=1,%=3所围成平面图形绕丁轴旋转一周所得旋转

体体积.

解：V=j2"=9万

22.(本题满分11分)

X］+%+X3+》4=-1

已知非齐次线性方程组4芭+3X2+5/-3=T有3个线性无关的解.

町+x2+3X3+bx4=1

(1)证明：方程组系数矩阵A的秩尺(A)=2；

(2)求a*的值以及方程组的通解.

'1111'

解:(1)系数矩阵A=435-1未知量的个数为〃=4,且又AX=。有三个线性无

a13b

关解，设%,%,%是方程组的3个线性无关的解，贝是AX=0的两个线性

无关的解.因为%-%，a3-%线性无关又是齐次方程的解，于是AX=0的基础解系中解

的个数不少于2,得4一R(A)之2,从而在(A)K2.

又因为A的行向量是两两线性无关的，所以R(A)»2.所以尺(A)=2.

111111

(2)由(1)得R(A)=2,因此A中所有三阶子式全为零,可得435=0,35—1=0,

a1313b

分别计算出。=2,b=—3.

102-4|2

所以［A\b］作初等行变换后化为0-1-15|-3它的同解方程组

0000|0

玉二2—2X3+4X4

%2——3+%3—514

令七=0,%=0求出AX=6的一个特解(2,-3,0,0)7；

右=0的同解方程组是1%——2退+4工4,取退=1,%=0,代入得(—2」」,0＞；取

=%-5%

又=0,%=1,代入得(4,—5,0,1)J所以AX=0的基础解系为(—2,1,1,0)、