2023年中考数学几何模型-单中点与双中点模型（讲+练）（解析版）

专题02单中点与双中点模型

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半；

③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第

三边的一半.

在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。

模型一'双中点-中位线模型

如图，D、E、F分别为4ABC三边中点，连接DE、DF、EF,则。R幺\BC,DE*AC,

EF2^AB.

例.如图，在RtiMBC中，gCB=90。，AC=BC,过点C作CD04B,垂足为D,点E为BC的中

点，AE与CD交于点F,若DF的长为XZ,则AE的长为（

)

3

C.亚D.2石

【答案】C

【详解】解：连接DE,如图所示:

在RtEM8c中，EMCB=90°,AC=BC,

I3CDEMB,SAD=BD,即点D为AB的中点.

团E为BC的中点，EIDE是M8C的中位线，ED£EMC,DE=^AC,盟。E用回C4F,

0DF.-CF=DE：AC=1：2,回DF=：CD=*,OCD=0.EM8=2应.

EWC=BC,W\C2+BC2=2AC2=AB2=8.S\AC=BC=2.0C£=1.

在直角MCE中，由勾股定理知：AE=ylcE2+AC2=45-

故选：C.

【变式训练1】如图，在AABC的两边AB、AC向形外作正方形A8DE和ACFG,取8E、

BC、CG的中点M、。、N.求证：MQ=QN.

【答案】见解析

【详解】证明：连接BG和CE交于O,

:四边形A8DE和四边形ACFG是正方形，：.AB=AE,AC=AG,ZEAB=ZGAC,

：.NEAB+/EAG=ZGAC+ZEAG,：./GAB=NEAC,

，AB=AE

在△BAG和△EAC中，，NBAG=NEAC，.♦.△BAG丝ZXEAC(SAS),：.BG=CE.

AG=AC

,:BE、BC、CG的中点M、Q、N,：.MQ=^CE,QN=』BG,

22

；BG=CE,：.QN=MQ.

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一0A8的顶点8在x轴正半轴上，顶点A和边A3

2

的中点C均在函数y='(x>0)的图象上，则二。48的面积为()

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【详解】如图，过点A、点C作x轴的垂线，垂足为D,E,则AD//CE,.・・笑=g=黑,

79

回顶点A和边AB的中点C均在函数y=：(x>0)的图象上，r.C的横坐标为：，A的横坐标

:.OD=-,OE=-,:.DE=OE-OD=-,:.BE=DE=-,:.OB=OE+BE=-,

XXXXX

113

•・=-OB»AD=-x—x2x=3.

22x

故选：B.

【变式训练3】如图，在AABC中，ZACB=60°,AC=1,D是AB的中点，E是BC上

一点，若DE平分AABC的周长，则DE的长为.

【详解】如图，过点A作AM〃DE交BC的延长线于点M,过点C作CNJ_AM,垂足为

N.

M

；D是AB的中点，，E为BM的中点，即BE=EM,

又；DE平分AABC的周长，/.AC+CE=BE,；.MC+CE=AC+CE,.".MC=AC,

VCN±AM,ZACB=60°,/.ZCAN=60°,

在RtZXCAN中，AN=AC-sin60°=AM=2AN=心，；.DE=<AM=.

模型二'单中点-倍长中线模型

例.如图，CE、CB分别是ABC与一ADC的中线，且NACB=NABC,AC=AB.求证:

CD=2CE.

【答案】见解析

【详解】证明：如图，过点8作BF//AC交CE的延长线于点F.

OCE是ABC的中线，BF//AC,S\AE=BE,ZA=ZABF,ZACE=NF,

ZA=NABF,

在、ACE和△3FE中，0-ZACE=ZF,0ACE会BFE(AAS),

AE=BE,

QCE=EF,AC=BF,0CF=2CE,

又I3AC=AB,C8是eADC的中线，^AC=AB=BD=BF,

QZDBC=ZA+ZACB=ZABF+ZABC,0ZACB=ZABC,®ZDBC=ZFBC,

DB=FB,

在ZXDBC和4EBC中，回,NOBC=NFBC,

BC=BC,

0_DBC9_FBC(SAS),

SDC=CF=2CE.

【变式训练1】已知，在Rt/XABC中，/54C=90。，点。为边A3的中点，AE_LCO分别

交.CD,BC于点F,E.

(1)如图1,①若4?=AC,请直接写出NE4C—N3co=；

②连接OE,若AE=2DE,求证：NDEB=ZAEC；

(2)如图2,连接阳，若FB=AC,试探究线段CF和。尸之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)①45。；②见解析；(2)CF=2DF,理由见解析

【详解】(1)©0ZE4C+ZACD=90°,ZAEC+ZBCD^90°,0

ZEAC-NBCD=ZAEC-ZACD

自/E4C+/3AE=90°,^\ZACD=ABAE

又团ZAEC=ZB+NBAE,0ZEAC-ZBCD=NB+NBAE-ZACD

0ZEAC-ABCD=ZB=450,故答案为45。.

②如图，延长ED至点G,使得£>G=OE,连接AG,

回点。为A3的中点，^BD=AD.

又回ZAZ)G=NBOE,0A£>G0,BDE.⑦NDGA=NDEB,AG/IBC,0ZG4E=ZA£C,

又I3AE=2£)£,^\AE=EG,^\ADGA=Z.GAE,®NDEB=NAEC.

(2)CF=2DF.如图，延长CD至点〃，使得DH=DF,连接3H,

B1AD=BD,ZADF=ZBDH,

0HDBOAFDA,^\BH=AF,ZH=ZAFD=ZAFC=90°,

^BF=AC.0RtA/7BFUIRtAMC,®CF=HF=2DF.

【变式训练2】如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O,且PM〃NQ,可

证△PM。出△QNO.根据上述结论完成下列探究活动：

探究一：如图②，在四边形A8CO中，AB//DC,E为BC边的中点，ZBAE^ZEAF,AF

与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与ARC尸之间的数量关系，并证明你的结论；

探究二：如图③，DE、BC相交于点E,8A交DE于点A,且BE：EC=1：2,NBAE=N

EDF,CF//AB.若48=4,CF=2,求。尸的长度.

【答案】见解析

【详解】（1）A8=AF+CF.如图2,分别延长〃C、AE,交于G点,

根据图①得AABE丝△GCE,：.AB=CG,

5LAB//DC,:./BAE=NG

而NBAE=NEA产，:.NG=NEAF,：.AF=GF,

：.AB^CG=GF+CF=AF+CF；

图⑵算图⑶

(2)如图3,分别延长CAAE,交于G点，

根据CF〃A8得△ABES2\GCE,：.AB：CG=BE：CE,

而BE：EC=\-2,AB=4,；.CG=8,

Y.AB//FC,:"BAE=4G,

而NBAE=NEDB：.ZG=ZEDF,：.DF=GF,

而CF=2,：.DF=CG-CF=8-2=6.

【变式训练3】如图，过边长为3的等边aABC的边AB上一点P,作PELAC于E,。为

BC延长线上一点，当用=CQ时，连PQ交AC边于。，则。E的长为_旦_.

【答案】3

2

【解答】解：过P作P尸〃BC交4c于凡

,JPF//BC,△ABC是等边三角形，

：.NPFD=NQCD,/APF=NB=60°,NAFP=/ACB=60°,ZA=60°,

...△APF是等边三角形，：.AP=PF=AF,

"：PE±AC,：.AE^EF,

"：AP=PF,AP=CQ,：.PF=CQ,

"ZPFD=ZQCD

在和△QCD中，ZPDF=ZCDQ.

,PF=CQ

:ZFD乌XQCD(A45),：.FD=CD,

"：AE=EF,：.EF+FD=AE+CD,

：.AE+CD=DE=^AC,

2

'：AC=3,:.DE=3,

2

故答案为旦.

2

模型二、单中点-“三线合一”模型

如图，在aABC中，AB=AC,D为BC的中点，连接AD,则AD平分NBAC,AD是边

BC上的高，AD是BC边上的中线(AD是角平分线、中线、垂线).

A

例.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC=CE,F为AE的中点，求证：BF

±FD.

【答案】见解析

【解析】如图，连接CF.

VAC=CE,F为AE的中点，ACF±AE,AZAFD+ZDFC=90°,

:四边形ABCD是矩形，；.BC=AD,ABICE,/ABC=/BAD=90°,

在RtZkABE中,；F为AE的中点，；.BF=AF,ZFBA=ZFAB,

AZFAB+ZBAD=ZFBA+ZABC,即NFBC=/FAD,

又：AD=BC,FA=FB,/.AFBC^AFAD,/AFD=/BFC,

/BFD=NBFC+NDFC=ZAFD+ZDFC=90°,.\BF±FD.

【变式训练1】如图所示，在aABC中，AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点，MN±AC

于点N,则MN等于（）

【答案】C

【解析】如图，连接AM.

VAB=AC,M是BC的中点，；.AM_LBC,

；AC=5,CM=1BC=3,；.AM=4,

.•.在Rtz\AMC中，AM-CM=AC-MN,即4X3=5。MN,解得MN=k.

5

【变式训练2】半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M

与圆心0重合，求图中阴影部分面积？

【答案】苧七

【解析】如图，连接OM交AB于点C,连接OA、0B.

在Rt△AOC中，0A=1,OC=[

cos/4OO=*=-oc'2=空,

：.ZAOC=60°,AB=2AC=，5,AZAOB=2ZAOC=120°,

2

....I&_QQ_120%Xl1代1_万心

则D弓形4W8—D扇形。43-D&AOB—77V7T一■QJ-，

2

S阴影二S半圆一2s弓形4m3—Xl—2

课后训练

1.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分NBAC,BNLAN于点、N,且AB=8,

MN=3,则AC的长是（）

一日

B立CB乂

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【解答】解：延长8N交AC于。，

在△ANB和△AM）中，

"ZNAB=ZNAD

<AN=AN，••.△AN8g△ANO,

ZANB=ZAND=90°

：.AD=AB=S,BN=ND,

是△ABC的边8c的中点，:.DC=2MN=6,

：.AC=AD+CD=\4,

故选：B.

2.如图，。。的半径为5,AB为弦，点C为蓝的中点,若NABC=30。，则弦AB的长

为（）

1c5^/3

A.-B.5C.---D.5遮

O

.4

【答案】D

【解析】如图，连接OA、OC,OC交AB于点D.

,4

•.•点C是的中点，...OCLAB且平分AB,即AD=]AB,

VZABC=30°,/.ZAOC=60°,

x/3_5^3

在RtAAOD中，sin60°=-777,/.AD=AO-sin60°=5X,；.AB=2AD

AO22

=5\/3.

3.如图，正方形A3CD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点尸，G分别在边8C,CO上,

P为AE的中点，连接PG,则PG的长为_遍_.

【答案】V5

【解答】延长GE交AB于点O,作PHLOE于点H.则丹/〃AB.

•.•尸是HE的中点，，2”是AAOE的中位线，：.PH=^OA=1-(3-1)=1.

22

•直角AAOE中，/OAE=45°,二△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2,

同理中，HE=PH=1.：.HG=HE+EG=\+\=2.

...在中，/，G=<7PH2+HG2=V12+22=5^-

故答案是：A/5-

4.如图，已知0ABC中，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE,连接DE交BC

于点G,若DG=GE,说明：团ABC为等腰三角形.

【答案】见解析.

【详解】解：如图，过D作DF®AC交BC于F,

A

0DF0AC,00DFC=0FCE,

团团DGFMaCGE,DG=GE,函DFG丽ECG(AAS),团DF=CE,

0BD=CE,I3BD=DF,国B二团DFB,

0DF0AC,团团DFB=I3ACB,团团B=(DACB,@AB=AC,

03ABe为等腰三角形.

CD4

（详解】如图所示，作OE//AC交BC于点E,得NCDE=ZACD=90°,0—=cosNDCB=

CE5

设C»=4x,则CE=5x,您DE=JCE?-CD2=3x,

由中位线定理得AC=6x,

在RtZXACD中，AD=dAC2+C。=>/36/+]6*2=邸血A=而=云底=丁13；

6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，4ADE和4BCE都是等边三角形，AB、

BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN的形状.

【答案】四边形PQMN为菱形

【解析】如图，连接AC、BD.

D

M

「△ADE和ABCE都是等边三角形，，NAEC=120。，ZBED=120°,AZAEC=ZBED,

又；EA=ED,EC=EB,/.△AEC^ADEB,.\AC=BD,

又：P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，...PNa：BD,QM幺：BD,

；.PN幺QM,...四边形PQMN是平行四边形，

又,.,PN=：BD,MN=qAC,；.MN=PN,，四边形PQMN是菱形.

7.如图，在4ABC中，BC=22,BD±AC于点D,CE1AB于E,F、G分别是BC、DE

的中点，若ED=10,求FG的长.

【答案】4^/6

【解析】如图，连接