九年级数学上册讲义（人教版）：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图（教师版）

第25课弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图课程标准(1)通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积S扇形的计算公式，并应用这些公式解决问题；

(2)了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；(3)能准确计算组合图形的面积.知识点01弧长公式半径为R的圆中：360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分);【注意】(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即=；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

知识点02扇形面积公式1．扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2．扇形面积公式

半径为R的圆中：

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：S扇形=

【注意】(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式S扇形=，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形.

知识点03圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则

圆锥的侧面积，圆锥的全面积：S全=S侧+S底.

【注意】扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

考法01弧长和扇形的有关计算【典例1】如图，点C为的中点，∠ABC＝22.5°，AB，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设所在圆的圆心为点O，连接CO，交AB于点D，连接AO，如图，∵C点为的中点，∴CO⊥AB，AD=BD=AB，∵AB=，∴AD=BD=AB=，∵∠ABC=22.5°，∴∠AOC=2∠ABC=45°，∵CO⊥AB，∴∠ADO=90°，∴∠DAO=90°-∠AOC=45°，∴△ADO是等腰直角三角形，∴AD=DO=，∴，∴，故选：D．【即学即练】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的长为：π．故选：B．【典例2】半径为2的圆中，扇形MON的圆心角为150°，则这个扇形的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：．故选：D．【即学即练】已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（

）A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】C【详解】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴故选：C．考法02圆锥面积的计算【典例3】一个圆锥的母线长为6，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：圆锥的侧面积=半圆的面积=，故选C．【即学即练】已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，侧面面积=×6π×8=24πcm2．故选D．【典例4】如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】A【详解】解：由圆锥底面半径r=5cm，高h=12cm，根据勾股定理得到母线长l==13（cm），根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π（cm2），故选：A．【即学即练】如图，圆锥的底面半径OB＝3cm，高OC＝4cm．则这个圆锥的侧面积是(

)A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2【答案】C【详解】解∶根据题意得：，∴这个圆锥的侧面积是．故选：C考法03组合图形面积的计算【典例5】如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：连接交于点，如图，以为直径的半圆与相切于点，，，四边形为矩形，，四边形和四边形为矩形，，，在和中，，，，阴影部分的面积．故选：A．【即学即练】如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图：正方形的面积；①两个扇形的面积；②②①，得：．故选：A．【典例6】正方形的面积是33平方米，则阴影部分面积是（）A．33﹣π B．33﹣π C．π D．33﹣π【答案】A【详解】解：∵正方形的面积是33平方米，∴正方形的边长为米，∴阴影部分面积为33﹣＝33﹣（平方米）．故选：A．【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（

）（提示：圆心角为n°的扇形的面积为，R为扇形所在的圆的半径）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB=，∴S扇形ABD=．又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD=．故选：A．题组A基础过关练1．已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6cm，则这个扇形的弧长是（）A．8π B．6π C．4π D．2π【答案】C【详解】解：根据弧长的公式l＝，得到：l＝＝4π，故选：C．2．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（

）A．6 B．12 C．24 D．2【答案】A【详解】解：设底面圆半径为r，则，解得r＝6．故选：A．3．已知，如图，⊙O的半径为6，正六边形ABCDEF与⊙O相切于点C、F，则的长度是（）A．2π B．3π C．4π D．5π【答案】C【详解】解：连接OC、OF，∵⊙O与正六边形ABCDEF相切于点C，F，∴∠OFE=∠OCD=，∵∠E=∠D=，∴∠COF=，∴的长=，故选：C．4．如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OB．若OA＝8，则点A经过的路径长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：根据题意得：，∴点A经过的路径长度为．故选：C5．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，则OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∵四边形OACB是正方形，∴∠COB＝45°，∴，，，阴影部分的面积为故选：C．6．如图所示，某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，底面半径米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留）（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵AO=8米，OB=6米，∴AB=10米，∵圆锥的底面周长=2×π×6=12π米，∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）．故选：A．7．已知扇形的半径为圆心角为则此扇形的面积是_____________．【答案】【详解】∵扇形的圆心角为100°，其半径为，∴．故答案为．8．如图，将以线段AB和曲线BCA围成的图形ABCA绕点A逆时针旋转45°至图形AB′C′A的位置，若AB＝8，则图中阴影部分的面积为______．【答案】8π【详解】解：=．故答案为：．9．如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度．【答案】图中管道的展直长度约为6142mm．【详解】解：3000＋≈6142（mm）.答：图中管道的展直长度约为6142mm.10．下列每个正方形的边长为2，求下图中阴影部分的面积．【答案】2.28【详解】πr2÷2-2×2÷2×2=3.14×2×2÷2-4=2.28．题组B能力提升练1．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【详解】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，由弧长公式l，∴2.5π，解得：r＝6，故选：A．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为(

)A．16π B．20π C．36π D．40π【答案】C【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵把Rt△ABC绕边AC所在直线旋转一周，∴所得的几何体的全面积为：底面半径为4，母线长为5的圆锥侧面和半径为4的圆的面积之和，故π×4×5+π×42＝36π．故选：C3．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【详解】解：由题意可知点从开始至结束所走过的路径为两个圆心角为120°，半径为1的扇形弧长，所以点从开始至结束所走过的路径长度为：．故选B．4．如图，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设圆心为O，连接OA，OB，∵六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，∴∠AOB＝60°，∠ABC＝120°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴S△AOB＝×22＝，∴阴影部分的面积为S正六边形ABCDEF﹣S扇形AOC﹣S扇形DOF＝6﹣＝．故选A．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（

）A． B． C． D．2【答案】B【详解】解：连接CD，如图所示：∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，由题意得：AC=CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，∴的长为：＝，故选：B．6．一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长，宽的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：根据题意可知受污染土地由两类长分别为，，宽分别为的矩形，及四个能组成一个以半径为的圆组成，面积为：，故选：B．7．若一个扇形的半径是9cm，且它的弧长是6πcm，则此扇形的圆心角等于_____．【答案】120°##120度【详解】解：根据弧长公式l＝＝＝6π，解得：n＝120，故答案为：120°．8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为______．【答案】2【详解】∵母线l长为6，扇形的圆心角，∴圆锥的底面圆周长，∴圆锥的底面圆半径．故答案为：2．9．如图是某居民小区的一块长为2a米，宽为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？【答案】美化这块空地共需资金为元【详解】解：花台面积为：平方米，种草面积为平方米，∴美化这块空地共需资金为元．10．用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示．(1)求圆锥的高；(2)求所需铁皮的面积（结果保留）．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径，∴，，，∴有中，∴圆锥的高为．（2）圆锥的底面周长为：，∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长，∴扇形的弧长为，∴扇形的面积为，∴所需铁皮的面积为．题组C培优拔尖练1．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（

）A．120° B．150° C．60° D．100°【答案】B【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l，由题意得：，即240π＝×20πr，解得：r＝24，又由可得：，解得：，故选：B．2．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC=OA，∴∠OAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°，∴劣的长==2π，故选：C．3．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（）cm．A．15 B．30 C．45 D．30π【答案】A【详解】如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，∴=30°，cm，∴cm，设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，，解得，所以该圆锥的底面圆的半径为15cm，故选A．4．如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，连接,，边长为的正方形内接于，即，，，为的直径，，，分别与相切于点和点，，四边形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，．故选C．5．如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为(

)A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【答案】A【详解】解：∵，，，∴，∴所扫过的面积为．故选：A．6．蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（）A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2【答案】C【详解】解：根据题意，∵底面圆半径DE=2m，∴圆柱的底面积为：；故A正确；圆柱的侧面积为：；故B正确；圆锥的母线为：；故C错误；圆锥的侧面积为：；故D正确；故选：C7．扇形的圆心角是120°，面积是3πcm²，则扇形的弧长是___________cm，将此扇形卷成一个圆锥，则底面圆的半径为_________cm．【答案】

2π

1【详解】解：设扇形的半径是rcm，则，解得：r=3cm，设扇形的弧长是l，则，解得：l=2π（cm），将此扇形卷成一个圆锥，设底面圆的半径为Rcm，则2πR=2π，解得R=1，故答案为2π，