九年级数学上册讲义（人教版）：概率的计算（教师版）

第28课概率求解的多种类型目标导航目标导航课程标准（1）通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法(包括列表、画树形图)计算简单事件发生的概率；（2）能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率的区别与联系.知识精讲知识精讲知识点01古典概型满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.(1)一次试验中，可能出现的结果是有限的；(2)一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.【注意】如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=.知识点02用列举法求概率常用的列举法有两种：列表法和树形图法.1．列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.【注意】(1)列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2．树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.【注意】(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.知识点03利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.【注意】用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.能力拓展能力拓展考法01用列举法求概率【典例1】某校组织了一场英语演讲比赛，有名女生和名男生获得学校一等奖，现准备从这名获奖选手中选出名学生，代表学校参加市里组织的英语演讲比赛，最后选出的结果是“一男一女”的概率是(

)A． B． C． D．【答案】C【详解】解：根据题意画出树状图，由树状图可知：所有等可能的结果共有种，选出的结果是“一男一女”的情况有种，所以选出的结果是“一男一女”的概率是，故选：C．【典例2】一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“油”、“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“美城”的结果数为2，所以取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率，故选：C．【典例3】有4条线段长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任意取三条线段能组成三角形的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【详解】解：共有2、4、5；2、3、4；3、4、5；2、3、5；4种情况，其中2、3、5这种情况不能组成三角形，即能组成三角形的有3种，所以P（任取三条，能构成三角形）＝．故选：A．【典例4】第十四届全国运动会会徽吉祥物发布，吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金的设计方案是以陕西秦岭独有的四种国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型．小明和小彬各从四个吉祥物中选择一个制作成绘画作品，参与学校举办的绘画展，则他们选中“朱朱”和“金金”的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：把吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有16种等可能的结果，小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的结果有2种，∴小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的概率为，故选：C．考法02利用频率估计概率【典例5】在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（

）A．5个 B．10个 C．15个 D．25个【答案】B【详解】解：经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，摸到红球的频率稳定在0.6左右，袋中装有若干个白球和15个红球，袋中球的总数为：，袋中白球约有：（个，故选：B．【典例6】某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块C．布袋中有1个红球和2个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是4【答案】D【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“剪刀”的概率是，不符合题意；B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，不符合题意；C．布袋中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率是，不符合题意；D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率是，符合题意；故选：D．【典例7】一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的球，其中有6个白球m个篮球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则m的值约为（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【详解】解：由题意可得，，解得：．经检验，是原方程的解．故选：C．【典例8】如图，小红在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由此他估计此图案的面积大约为（

）试验次数m60120180240300360420480小球落在图案内的次数n22386583102126151168小球落在图案内的频率0.370.320.360.350.340.350.360.35A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设老虎图案的面积为，由已知条件，可知长方形纸张的面积为，根据几何概率公式，小球落在老虎图案上的概率为，当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率的估计值，小球落在老虎图案上的概率大约为0.35，所以，解得．故选：B．分层提分分层提分题组A基础过关练1．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为．故选：C．2．我县将面向全县中小学开展“中小学诵读”比赛，某中学要从2名男生，2名女生中选派2名学生参赛，则选派的学生中，恰好为1名男生1名女生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“一男一女”的有8种，∴P（一男一女）=．故选：A．3．小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（

）A．80 B．64 C．1.2 D．0.8【答案】D【详解】解：∵小亮共投篮80次，进了64个球，∴小明进球的频率为：64÷80=0.8．故选：D．4．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表，若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（

）抛掷次数100200300400500正面朝上的频数5398156202244A．200 B．300 C．500 D．800【答案】C【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到附近，∴当抛掷硬币的次数为1000时，“正面朝上”的频数最接近次．故选：C．5．垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害．王老师教上幼儿园的儿子学习垃圾分类，将一个饮料瓶和一个用过的电池交给儿子，调皮的儿子将两件垃圾随意投放到两个不同的垃圾桶中，他投放正确的概率只有（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意，树状图如下：∴调皮的儿子将两件垃圾随意投放到两个不同的垃圾桶中，共有12种情况，其中投放正确的情况有一种∴他投放正确的概率只有故选：C．6．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考查某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数10270400750150035007000900014000成活数量8235369662133532036335807312628成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估计树苗移植成活的概率是（）（结果保留小数点后一位）A．0.81 B．0.8 C．0.9 D．无法计算【答案】C【详解】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，故选：C．7．一个两位数，它的十位数字是1，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1-6）朝上一面的数字．任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是4的倍数概率等于______．【答案】【详解】解：根据题意，得到的两位数有11、12、13、14、15、16这6种等可能结果，其中两位数是4的倍数有12、16这2种结果，∴得到的两位数是4的倍数的概率等于；故答案为：．8．乌鲁木齐市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为____________．【答案】0.9【详解】解：由统计图可知，该树苗成活的频率在0.9附近摆动，∴估计该树苗成活的概率为0.9，故答案为：0.9．9．2021年我省开始实施“”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门，共计6门科目，总分750分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治（A）、地理（B）、化学（C）、生物（D）四门科目中任选2门选到化学（C）、生物（D）的概率．【答案】【详解】设思想政治为

A，

地理为

B，

化学为

C，

生物为

D，画出树状图如下：∵共有

12

种等可能情况，选中化学、生物的有2

种∴P（选中化学、生物）==．10．“一方有难，八方支援”．2020年初，武汉发现多起新冠肺炎病例，牵动着全国人民的心，威宁县人民医院准备从甲、乙、丙三位医生和、两名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉参与疫情防控救援工作．(1)若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．(2)求恰好选中医生甲和护士的概率．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：用列表法或树状图表示所有可能结果如下：护士医生AB甲（甲，A）（甲，B）乙（乙，A）（乙，B）丙（丙，A）（丙，B）（2）解：因为共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的有1种，所以P（恰好选中医生甲和护士A）=．题组B能力提升练1．现有5盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期．随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】D【详解】解：把2盒不过期的牛奶记为A、B、C，2盒已过期的牛奶记为D、E，画树状图如图：共有20种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有14种，∴至少有一盒过期的概率为0.7，故选：D．2．颖颖从家去体育馆需要经过两个红绿灯，如果每个红绿灯可直接通过和需等待的概率相同，那么颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：根据题意画图如下：共有4种等可能的结果，其中颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的有1种结果，∴颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率为，故选C．3．把分别画有“冰墩墩”、“雪融融”的两张形状、大小相同的图片，全部从中间剪成相同的两段，再把这四张形状相同的小图片混合在一起，从这四张图片中随机抽出两张，则这两张小图片恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：用A、a表示“冰墩墩”图片被剪成的两半，用B、b表示“雪融融”图片被剪成的两半，列树状图为：故有12种等可能结果，符合恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片有4种，∴．故选：A．4．只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，则袋中红球与白球共有(

)A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【详解】解：设袋中白球有个，根据题意得：，解得：，经检验：是分式方程的解，故袋中白球有个，共有个球．故选：C．5．不透明袋子中装有红、黄小球各若干个，这些球除颜色外无其他差别．把“从袋子中随机摸出一个小球”作为试验，每次试验后，将摸出的小球放回摇匀，再进行下一次试验．试验数据显示：大量重复试验后，摸出红球的频率越来越稳定于0.2，则下列对于袋子中球的数量的估计，最合理的是（

）A．红球有2个 B．黄球有10个C．黄球的数量是红球的4倍 D．黄球和红球的数量相等【答案】C【详解】解：设袋子中球的总数为n，则由题意可得，红球的个数为0.2n，黄球的个数为n-0.2n=0.8n，因为n的值不确定，所以唯一能确定的是黄球的数量是红球的4倍，故选C6．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（

）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”B．袋子中有1个红球和2个黄球，从中任取一球是黄球C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃【答案】C【详解】解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为，不符合这一结果，故此选项错误；B、从一个装有1个红球2个黄球的袋子中任取一球，取到的是黄球的概率为：，不符合这一结果，故此选项错误；C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是=0.5，符合这一结果，故此选项正确；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；故选：C．7．4张相同的卡片上分别写有数字0，，，2022，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来，再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来，则两次抽取的卡片上的数字之积是0的概率为___．【答案】##0.5【详解】解：列表如下：0202200000020220由表知，共有12种等可能结果，其中两次抽取的卡片上的数字之积是0的有6种等可能结果，所以两次抽取的卡片上的数字之积是0的概率为：，故答案为：．8．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数（件）501001502005008001000合格频数4288131176445724901合格频率0.840.880.870.880.890.910.90根据上表，估计任抽一件衬衣是合格品的概率是___________．（保留小数点后两位）【答案】0.90【详解】解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.90，∴任取一件衬衣是合格品的概率是0.90．故答案为：0.90．9．一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，3，4，7，现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数．(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数；(2)从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于5且小于8的概率．【答案】(1)11、31、41、71、13、33、43、73、14、34、44、74、17、37、47、77(2)【详解】（1）解：画树状图如下：所得两位数为11、31、41、71、13、33、43、73、14、34、44、74、17、37、47、77这16种等可能结果；（2）由（1）知所得两位数算术平方根大于5且小于8，即该数大于25且小于64的有8种，∴其算术平方根大于5且小于8的概率为．10．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数208010020040080010001500“射中九环以上”的频数1549711372645346661001“射中九环以上”的频率0.7500.6130.7100.6850.6600.6680.6660.667(1)根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为______．（结果保留两位小数）(2)小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片上都写有“未中”的概率．【答案】(1)0.67(2)两次抽取的卡片上都写有“未中”的概率是．【详解】(1)解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.67附近，这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为0.67．故答案为：0.67；(2)解：根据题意列表如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽取的卡片上都写有“未中”的有1种，则两次抽取的卡片上都写有“未中”的概率是．题组C培优拔尖练1．将分别标有“文”“明”“宁“安”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的结果有2种，∴两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的概率为，故选：B．2．现有3包同一品牌的饼干，其中2包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：把1包不过期的饼干记为A，2包已过期的饼干记为B、C，画树状图如图：共有6种等可能的结果，两包都过期的结果有2种，∴两包都不过期的概率为，故选：D．3．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：根据题意，列表如下：蓝球1蓝球2红球红1（红1，蓝球1）（红1，蓝球2）（红1，红球）红2（红2，蓝球1）（红2，蓝球2）（红2，红球）蓝（蓝，蓝球1）（蓝，蓝球2）（蓝，红球）由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的结果有2种，（指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色），故选：B．4．如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；故选：D．5．在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（

）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【详解】由题意可得，摸到红球的概率为0.2，则有，，∴，∴；故选：B．6．投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（

）A．的值一定是B．的值一定不是C．m越大，的值越接近D．随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性【答案】D【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；故选：D7．某疫苗接种点有北京生物，科兴中维，武汉生物三个厂家可供市民随机选择，若张先生和李小姐对这三种疫苗都不了解，那么张先生和李小姐选择同一厂家的概率为_______．【答案】【详解】解：将北京生物、科兴中维，武汉生物三厂家的疫苗分别记作A、B、C，画树状图如下：所有可能出现的结果共有9种，即AA、AB、AC、BA、BB、BC、CA、CB、CC；共有9种等可能的结果，其中张先生和李小姐选择同一厂家的疫苗的结果有3种，∴张先生和李小姐选择同一厂家的概率为，故答案为：．8．在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，-3，0，2，它们