专题10三角函数的性质（选填题10种考法）（原卷版）

专题10三角函数的性质与正余弦定理（选填题10种考法）考法一扇形的弧长与面积【例11】（2023·甘肃定西·统考一模）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字作画，题字作画的部分多为扇环，如图在长为50，宽为20的矩形白纸中做一个扇环形扇面，扇面的外环弧线长为45，内弧线长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为14（外环半径与内环半径之差），若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为（

）A． B． C． D．【例12】（2023·全国·模拟预测）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，他是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，如图所示．现在我们要制作一个高为10的柱形几何体，其侧面与底面垂直，底面为一莱洛三角形ABC，且正三角形ABC边长为2，则该几何体的体积为（

）A． B．C． D．【变式】1．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（

）．A． B． C． D．2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台下列说法错误的是（

）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．内切球的半径为3．（2023·河北·统考模拟预测）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则两圆锥侧面展开图的圆心角之和为（

）A． B． C． D．4．（2023·陕西汉中·统考二模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（

）A． B． C． D．考法二三角函数的定义【例21】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两个点，，且，则（

）A． B． C．或 D．或【例22】（2023·贵州遵义·统考三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式】1.（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为角终边上一点，则（

）A． B． C． D．2（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（

）A． B．C． D．3（2024·江西·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则（

）A． B．2 C． D．34．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）（多选）已知，为坐标原点，终边上有一点.则（

）A． B．C． D．考法三同角三角函数【例31】（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【例32】（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【例33】（2023·浙江杭州·校考模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【变式】1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．23．（2023·河北沧州·校考三模）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知，则（

）A． B． C． D．5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．考法四恒等变化【例41】（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）（多选）下列化简正确的是（

）A．B．C．D．【例42】（2023·全国·统考高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【例43】（2023·河南·校联考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【变化】1．（2023·浙江·模拟预测）（多选）下列化简正确的是（

）A．B．C．D．2．（2022·全国·统考高考真题）若，则（

）A． B．C． D．3．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．4．（2023·河南·模拟预测）（多选）已知，且，，，则（

）A．的取值范围为 B．存在，，使得C．当时， D．t的取值范围为考法五角的拼凑【例51】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【例52】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【变式】1．（2023·河南开封·统考三模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知，则.4．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知​，则​．考法六三角函数的性质【例61】（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（

）A． B． C． D．【变式】1．（2023·陕西西安·校考一模）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．点是的对称中心B．直线是的对称轴C．的图象向右平移个单位得的图象D．在区间上单调递减2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（

）A．B．在上单调递增C．的图象关于点中心对称D．在上的值域为3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）将函数的图象向右平移a个单位长度（a为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为（

）A． B． C． D．考法七正余弦定理【例71】（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（

）A． B． C． D．【例72】（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．【例73】（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）（多选）中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（

）A．若，则必有两解B．若，则一定为等腰三角形C．若，则一定为直角三角形D．若，且该三角形有两解，则的范围是考法八w的求法【例81】（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【例82】（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．2．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．3．（2023·浙江·模拟预测）已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是.4．（2023·四川宜宾·统考二模）已知函数，给出下列4个结论：①的最小值是；②若，则在区间上单调递增；③若，则将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数的图象；④若存在互不相同的，使得，则.其中所有正确结论的序号是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②考法九实际应用【例91】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了周代，使用圭表有了规范，杆子（表）规定为八尺长．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日子内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差一尺”（1尺＝10寸）．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日子内，甲地日影长是乙地日影子长的两倍，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（

）A．15千里 B．14千里 C．13千里 D．12千里【例92】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（

）A． B．C． D．【变式】1.（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里2.（2023·河南·校联考模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（

）A． B． C． D．考法十与其他知识的综合运用【例101】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数在上恰有三个零点，则（

）A．的最小值为 B．在上只有一个极小值点C．在上恰有两个极大值点 D．在上单调递增【例102】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若分别是与的等差中项和等比中项，则的值为（

）A． B． C． D．【例103】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式】1．（2023·四川成都·模拟预测）已知等差数列中，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）的展开式中的系数为12，则（）A． B． C． D．3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为______．一、单选题1．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．33．（2023·湖南·校联考模拟预测）设，，且，则（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考一模）若，则（

）A． B． C． D．5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知角，终边上有一点，则（

）A．2 B． C． D．6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．7．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．8．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．9．（2023·福建三明·统考三模）角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，终边所在的直线与圆相交于、两点，当面积最大时（

）A． B． C． D．10．（2023·河南·校联考模拟预测）若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（

）A． B． C． D．11．（2023·浙江·模拟预测）已知，若，则（

）A． B． C． D．12．（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件14．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．15．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）在中，，，，则的面积为（

）A． B． C． D．16．（2023·河北唐山·模拟预测）设．当取得最大值时，满足（

）A． B．C． D．17．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）已知函数为奇函数，则参数的一个可能值为（

）A． B． C． D．18．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递增 D．在上单调递增19．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下说法正确的是（

）A．若圆的半径为，则；B．函数在上单调递减；C．函数的图象向左平移个单位后关于对称；D．函数的最小正周期是.20．（2023·陕西延安·校考一模）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论错误的是（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上的减区间为D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到21．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．422．（2023·河南·模拟预测）已知是正整数，函数在内恰好有4个零点，其导函数为，则的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．23．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．24．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若的图像关于直线对称，则在上的极值点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．425．（2023·宁夏银川·宁夏育才中学校考三模）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．26．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有10个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．27．（2023·河南·校联考二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．28．（2023·四川成都·模拟预测）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．29．（2023·四川·校联考一模）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．30．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题31．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线32．（2023·湖南郴州·统考一模）已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（

）A．的最小正周期为B．点是图像的一个对称中心C．在的值域为D．函数在上单调递增33．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于对称C．函数在的值域为D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位34．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．B．在区间上有6个零点C．直线是图象的一条对称轴D．若对任意的恒成立，则35．（2023·贵州·校联考模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，