2024年导数的概念及其意义高二数学寒假练习

第07讲导数的概念及其意义

Ass(/o+A。一s(/o)

（2）一般地，设物体的运动规律是s=s（。，则物体在加到拓十加这段时间内的平均速度为

At~Nt.

如果△/无限趋近于。时，瓦无限趋近于某个常数。，我们就说当加趋近于0时，刀的极限是这时。就

「As「s«o+A。-s«o)

是物体在时刻/=加时的瞬时速度,即瞬时速度v=-

如氏=啊R—-

知识点2函数的平均变化率

函数y=/（x）从加到&的平均变化率

独於2)-/(»)

（1）定义式:

AxX2~X\,

（2）实质：函数值的增量与自变量的增量之比.

（3）作用：刻画函数值在区间［不，句上变化的快慢.

（4）几何意义：已知Pi（xi,/（尤I））,「2（血，五&））是函数y=/i＞）的图象上两点，则平均变化率2=.、）二表

示割线尸1尸2的斜率.

知识点3函数在某点处的导数

如果当Ax-0时，平均变化率%无限趋近于一个确定的值，即总有极限，则称y=Ax）在x=xo处可导，并

把这个确定的值叫做尸危）在x=xo处的导数（也称为瞬时变化率），记作f（X0）或y'lmj即,（X0）=烟盒

..八xo+Ax)一大尤0)

hm

Ax-0Ax

知识点4割线斜率与切线斜率

设函数y=/（x）的图象如图所示，直线4B是过点A（xo,人物））与点BCro+Ax,Kxo+Ax））的一条割线，此割线

的斜率是吃,Nro+Ar）—/（xo）

Ax

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线A。，直线AD叫做此曲线在点A

处的切线.于是，当Ax-0时，害I线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k,即k^f'

/xo+At）—/（无o）

Ax

知识点5导数的几何意义

函数y=/（x）在点彳=加处的导数的几何意义是曲线>=兀0在点P（xo,八项））处的切线的斜率.也就是说，曲线

y=A尤）在点P（xo,"o））处的切线的斜率是f（无0）.相应地,切线方程为y—/Uo）=1'（xo）切一尤0）.

知识点6导函数的定义

从求函数«x）在冗=刀0处导数的过程可以看出，当工=沏时,/（X。）是一个唯一确定的数.这样，当X变化时，

y=f'（%）就是X的函数，我们称它为y=/U）的导函数（简称导数）.y=/U）的导函数记作（x）或y',即/（x）

lim通+的一演

=yAJLOAx

规律总结：

1.（1）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤

①求函数的增量Ay=/（xo+Ax）—Xxo）;

②求平均变化率%=於°+黑一曲）;

③求极限同加

（2）瞬时变化率的变形形式

..A^o+Ax）-/（xo）

蚂瓦

14普皿

Ax—O-Ax

］曲©+小）—危。）

Ax-0n\x

-xo+Ax）―/（尤o—Ax）

-蚂2Ax

=/（尤（））•

区别联系

f（xo），（xo）是具体的值，是数值在X=Xo处的导数/（Xo）是导函数

（X）在x=xo处的函数值，因此求函

f（x）r（%）是函数人X）在某区间/上每一点都

数在某一点处的导数，一般先求导函

存在导数而定义的一个新函数,是函数数，再计算导函数在这一点的函数值

2【考点剖析】化率

1.（2023春•陕西延安•高二校考阶段练习）已知函数/（x）=Y+2,则该函数在区间［1,3］上的平均变化率为

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据平均变化率的定义直接求解.

【详解】因为函数〃x）=d+2,

所以该函数在区间［L3］上的平均变化率为

/（3）-/（1）32+2-（『+2）/

3-12

故选：A

2.（2023秋•上海黄浦•高二上海市大同中学校考期末）设函数=当自变量x由1变到11时，函

数的平均变化率是.

【答案】2.1

【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.

【详解】函数/（x）=f-1,当自变量了由1变到1.1时，函数的平均变化率为

1.12-1-（12-1）0.21「

---------------------------------------------------------2.1,

1.1-10.10.1

故答案为：2.1.

3.（2023秋•上海浦东新•高二上海南汇中学校考期末）若函数/（x）=x2-m2在区间［2,〃上的平均变化率为5,

贝旷=.

【答案】3

【分析】利用函数平均变化率的计算公式计算.

【详解】解：函数/（x）=炉"在区间［21上的平均变化率为〃'）一/⑵="一"一C一"厂）=5,

t—2t—2

解得t=3.

故答案为：3.

4.（2023・高二课时练习）某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：元）与产量x（单位：台）

之间的关系式为C（x）=-2f+7000x+600,则产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均变化率为

______元/台.

【答案】2000

【分析】根据平均变化率的公式结合题意直接求解即可.

【详解】当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均变化率为

c（1500）-c（1000）6000600-5000600/一公、

—........——--------=--------------------------=2000（兀/台）.

1500-1000500

故答案为：2000

5.（2023秋・北京顺义•高二统考期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗

通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间G）的关系如下图所示.则下列时间段内，

空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（）

A.[5,10]B.[5,15]C.[5,20]D.[5,35]

【答案】C

【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；

【详解】解：如图分别令f=5、二=10、7=15、1=20、"35所对应的点为A、B、C、D、E,

由图可知。>>★IC>^AE>^AD>

所以[5,20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快；

故选：C

6.（2023・高二课时练习）如图所示为物体甲、乙在时间0至疗范围内路程的变化情况，下列说法正确的序

号是.

①在0到％范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；

②在J时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；

③在2至M范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；

④在0至此范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度.

【答案】③④

【分析】根据平均速度的公式判断①③④，从而①错误，③④正确；

根据瞬时速度与切线斜率的关系作出判断②错误；

【详解】在。到范围内，甲、乙的平均速度都为D=｝，故①错误.

瞬时速度为切线斜率，故②错误.

在%到％范围内，甲的平均速度为产子，乙的平均速度为冲白，因为S2-s0>S[-s°>0,f|T°>0,所

以字二子>?二?，故③正确.同理④正确.

G—"o%一%

故答案为：③④.

7.(2023•全国•高二假期作业)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V),/(V)为《V)

的导函数.已知r")在OWVW3上的图像如图所示，若则下列结论正确的是()

Ar(l)-r(O)；r(2)-r(l)

,1-02-1

B./(1)</(2)

c/厂+匕)/(匕)+「(匕)

D.存在％«匕匕)，使得/(%)=粤平)

【答案】D

【分析】A：设tana='⑴一'⑼,tan0='(2)f⑴,由图得々>。，所以该选项错误；

1-02-1

B:根据图像和导数的几何意义得/(1)>/(2),所以该选项错误；

C:设耳=0,匕=3,r(I)>所以该选项错误；

D:结合图像和导数的几何意义可以判断该选项正确.

【详解】解：A：设tana='⑴—⑼，tan。」⑵IQ,由图得口>。，

1-02-1

所以tana>tan。,所以工⑴一'⑼」(2)—(1],所以该选项错误；

1-02-1

B:由图得图像上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得厂'(1)>/(2),所以该选项错误；

C:设匕=0,匕=3,“乂詈卜椁,也受四=竽，因为椁一厂(0)>r(3)

所以“|)>号，所以该选项错误；

D:I?：")表示A(K,r(匕)),2(%,厂(匕))两点之间的斜率，/(%)表示C(%/(%))处切线的斜率，由于

%一匕

%4九%)，

所以可以平移直线AB使之和曲线相切，切点就是点C,所以该选项正确.

故选：D

考点二瞬时变化率理解

8.（2023・高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（。=/+r+l

表示，则该物体在t=ls时的瞬时速度为（）

A.Om/sB.Im/sC.2m/sD.3m/s

【答案】D

【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解.

【详解】该物体在时间段［U+加］上的平均速度为

竺=s（l+&）s⑴=（1+加）+（1+4）+1―02+1+1）=3+加,当加无限趋近于0时，3+4无限趋近于3,

即该物体在t=ls时的瞬时速度为3m/s.

故选：D

9.（2023秋・广东广州•高二统考期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的

高度/?（单位：m）与起跳后的时间单位：s）存在函数关系〃（r）=-4.9〃+4&+ll.该运动员在r=ls时的

瞬时速度（单位：m/s）为（）

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

【答案】D

【分析】先对函数求导，然后把r=l代入即可求解.

【详解】解：因为恤）=-4.9/+4&+11,

所以〃（力=一9&+4.8,

令7=1,得瞬时速度为-5.

故选：D.

10.（2023秋・江西抚州•高二南城县第二中学校考阶段练习）某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时

间的函数关系式是2）=10-4.9/+8t（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（）

A.6.75米/秒B.6.55米/秒C.5.75米/秒D.5.55米/秒

【答案】D

【分析】依据瞬时速度定义利用极限去求他在0.25秒时的瞬时速度即可

10-4.9(0.25+Ax)2+8(0.25+Ar)-[10-4.9x0.252+8x0.25]

[详解]lim/X0,25+Ar)-W25)

-AxAx->0Ax

则他在0.25秒时的瞬时速度为5.55米/秒

故选:D

11.(2023秋・北京・高二北京市第一六一中学校考期中)已知函数y=的图象如图所示，函数y=的

导数为y=/'(x)，则()

A./'(2)</Q)<f(3)—f(2)B.4(3)<尸(2)<9(3)-6(2)

C./,(2)</(3)-/(2)</,(3)D./,(3)</(3)-/(2)</,(2)

【答案】D

【分析】结合/■")图象以及导数的知识求得正确答案.

【详解】由/(X)图象可知/⑶<"3)一"2)<〃2),

即〃3)</■⑶-〃2)</(2).

故选：D

12.(2023秋・北京大兴•高二统考期末)为响应国家节能减排号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，

已知某月内两厂污水的排放量W与时间f的关系图如图所示(办为月末时间).则该月内：①甲厂污水排放

量逐渐减少；②乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多；③乙厂总比甲厂的污水排放量减少得更快.其中正确

说法的序号是。

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】根据图形逐一分析各个命题即可得出答案.

【详解】解：由图可知，甲厂污水排放量逐渐减少，故①正确；

乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多，故②正确，

在接近办时，甲工厂污水排放量减少得比乙的更加快，故③错误.

故选：A.

13.(2023秋•海南•高二海南华侨中学校考期末)李华在参加一次同学聚会时，用如图所示的圆口杯喝饮料，

他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度/7是关

于时间r的函数则函数乂。的图象可能是()

【答案】B

【分析】根据杯子的形状特点和函数图象的增长速度即可判断.

【详解】由于杯子的形状是下面稍窄上面稍宽，所以刚开始饮料的高度增长相对较快，后面饮料的高度增加就

越来越慢，所以B的图象的增长趋势与饮料高度增长的情形较一致，

故选：B

考点三导数（导函数）的理解

14.（2023・高二课时练习）设函数/（无）在点无处附近有定义，且“尤0+以）-〃/）=4—+力（-）2,4/为常

数，则（）

A./（x）=«B.f\x）=bC.f\x0）=aY）.f'（x0）=b

【答案】C

【分析】由导函数的定义可得选项.

【详解】解：因为/（Xo+Ax）-/■（尤o）=aAr+6（Ar）2,a,6为常数，所以

'/（4+板）一/（尤0）

")=典=lim(a+b^x\=a

Ax—\7

故选：c.

15.（2023・高二课时练习）若函数f（x）在x=x0处可导，则2%/（%+?―/（/）的结果（）.

A.与％,/i均无关B.仅与毛有关，而与/i无关

C.仅与/I有关，而与与无关D.与不,/?均有关

【答案】B

【分析】根据导数的定义即可求解.

【详解】解：因为lim〃x°+［一〃/)=尸(%),

20h\"

所以结果仅与与有关，而与"无关，

故选：B.

16.(2023秋・广西河池•高二校联考阶段练习)函数y=在x=x0处的导数可表示为此f，即().

，x

A.f(x0)=f(x0+Ax)-f(x0)B./(o)=lim[/(A：o+Ax)-/(xo)]

〃%+Ax)-〃Xo)

C.r(xo)=D.尸(%)="%+")-/小)

Ax—^0AxAx

【答案】C

【分析】结合导数定义直接选择即可.

【详解】y'Lf是((X。)的另一种记法，根据导数的定义可知C正确.

故选：C

考点四导数定义中的极限的简单计算

17.(2023,高二课时练习)设函数/(x)=G?+2,若/'(—1)=3,则。=.

【答案】1

【分析】根据导数的定义求出f(x),再将尸-1代入计算即可.

222

【详解】解:因为/(x)=lim包=limg+&)3+2-*+2)=iim(3^+2ax-Ax+Ax)=3ax,

AxAX-OAx.Hi

/.r(-l)=3o=3,

••6Z—1.

故答案为：1

18.(2023秋・广东深圳•高二深圳市宝安第一外国语学校校考期中)已知函数/'(x)=x2+l,则

-Ax

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根据瞬时变化率的定义计算可得;

【详解】解：因为〃x)=f+l,

所以lim"2+AX）-八2-Ax）=Um（2+AxRl-（2心）一

-°Ax-Ax

故选：D

19.（2023春•陕西渭南•高二统考期末）设函数〃x）在x=l处的导数为2,则蚂/Q+/T（D=（）

2

A.2B.IC.-D.6

3

【答案】A

【分析】根据导数的定义即得.

【详解】因为函数“力在x=1处的导数为2,

所以lim⑴=/⑴=2.

Axf0Ax

故选：A.

20.（2023•高二课时练习）已知1面41）一川+盘）=3,则/⑺在x=l处的导数r（1）=（）

■f0Ax

A.-IB.IC.-3D.3

【答案】c

【分析】根据条件可得出lim"+---⑴=_3,即可得出f'（l）的值.

【详解】lim/a）-/a^）=_Hm/（i+Ax）-/（i）=31r（1）=lim/a+Ax）-/（i）=_3

—一°Ax―一。AxAx

故选：c

考点五利用导数几何意义求切线方程

（一）求曲线切线的斜率或倾斜角

21.（2023春.湖南株洲•高二校考期中）若〃力=则/⑺在x=l处的切线的斜率为.

【答案】2

【分析】根据导数的几何意义即可直接求解.

【详解】由题意知，f'M=2x,得，⑴=2,

所以曲线在x=l处的切线斜率为2.

故答案为：2.

22.（2023秋•四川资阳•高二校考期中）如图，直线/是曲线y=/（x）在点（4"（4））处的切线，则/（4）+八4）的

值等于.

【答案】y

【分析】由函数的图像可得/(4)=5,以及直线I过点(0,3)和(4,5),由直线的斜率公式可得直线I的斜率k,

进而由导数的几何意义可得了'(4)的值，将求得的/(4)与广(4)的值相加即可.

【详解】由函数的图像可得44)=5,直线/过点(0,3)和(4,5),则直线/的斜率左=/弓，

又由直线/是曲线y=在点(4"(4))处的切线，则:(4)=1,

所以/(4)+/'(4)=5+；=£.

故答案为：—

23.(2023春・云南昆明・高二石林彝族自治县第一中学校考阶段练习)曲线y=g1+2在点处的切线

的倾斜角为()

,3"e兀2»—n

A.—B.-C.—D.一

4433

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义得到点处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.

【详解】y'=x,所以在点处的切线的斜率为-1,倾斜角为今.

故选：A.

4

24.(2023・高二课时练习)已知点P在曲线＞=不一上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，求a的取值

e+1

范围.

_.、「3兀A

【答案】不，无J

【分析】由题，y=tan«,求出了，结合均值不等式讨论了的值域，即可求得tana的范围，即可进一步求

得a的取值范围

【详解】函数＞=目的导数为‘一修+1『一x1

e

因为e—22、[二=2,所以e*+4+2",

eVeel

所以y'e[-l,0),gptanare[-l,0)；因为0＜a＜7i,所以24&＜兀，即ae七,兀].

4_4)

(二)求在曲线上一点处的切线方程

25.(2023春•山西太原•高二太原师范学院附属中学校考阶段练习)lim/(5~A2~3=2,/(3)=3,广⑺在

TX-2

(31(3))处切线方程为()

A.2x+y+9=0B.2x+y-9=0

C.-2x+y+9=0D.-2x+y-9=0

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出((3)=-2再结合直线的点斜式公式，即可求解.

【详解】由已知，lim/(5~~r)~3=2,/(3)=3,令Ax=x—2,

tx-2

：.lim，(33)-/(3)=Um"33一〃3)=一/(3)=2,解(⑶=_2,

—Ax—TO—Ax'7

f(x)在(3,7(3))处切线方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0.

故选：B.

26.(2023・全国•高二假期作业)己知曲线C：/(X)=X2+2X-2

(1)求广⑴的值；

⑵求曲线C在点尸(1,7(1))处的切线方程.

【答案】⑴/⑴=4

(2)4x-y-3=0

【分析】(1)利用导数公式求解；(2)根据切点处函数的导数等于切线的斜率以及切点在曲线上也在切线上的

原理求解..

【详解】(1)由题得尸(x)=2x+2,所以八1)=4.

(2)因为，=尸(1)=4"(1)=1,

所以，切线方程为=

即4x-y-3=0.

27.(2023春•江苏苏州•高二校考阶段练习)曲线y=x3+l在点(-1,。)处的切线方程为()

A.3光-y+3=0B.3%-y+l=0

C.3%+y+l=0D.3%+y+3=0

【答案】A

【分析】根据切点和斜率求得切线方程.

【详解】a=(-1)3+1=0,故切点为(T。)，

y=3x2,yu=3,即切线的斜率为3,

所以切线方程为y=3（x+l）,即3尤-y+3=0.

故选：A

28.（2023・全国•高二假期作业）函数/（x）=xe'的图象在x=l处的切线方程为.

【答案】y=2ex-e

【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可.

【详解】•••/'（x）=（x+l）e*,/'（l）=2e,41）=e,.•.函数/（尤）=xe'在x=1处的切线方程为y=2er-e.

故答案为：y=2ex-e.

（三）求过一点的切线方程

29.［多选］（2023秋•广东江门•高二新会陈经纶中学校考期中）已知曲线/（x）=2尤3+1.贝|曲线过点P（1,3）

的切线方程为.（）

A.6x-y—3=0B.3x—2y+3=0C.6x+y-9=0D.3x+2y—9=0

【答案】AB

【分析】设切点为产（x°,2x；+1）,写出切线方程，切线过点（1,3）,求得「即可.

【详解】解：设切点为尸（方,2片+1）,

则f（x）=6/,

所以f'（%）=6君,

所以切线方程为k2片-1=6片（x-毛），

因为切线过点（1,3）,

所以3-2片—1=6片（1-毛），即2石一3焉+1=0,

即伍-I）?（24+1）=0,

解得％=1或%=-；,

所以切线方程为6x-y-3=0或3x-2y+3=0,

故选：AB

30.（2023・高二课时练习）过点M（U）且与曲线相切的直线方程为.

【答案】y-l=O或27x-4y-23=。

【分析】设切点坐标为尸（%,%）,求得/'伉）=3年，列出方程3%=—鼻，求得吃的值，结合导数的几何

意义，即可求解.

【详解】由题意，设切点坐标为P（M，%）,5#1）,则y°=x；+i,

又由函数〃£＞=/+1,可得函@）=3J,可得函（0=3炉,所以/优）=3%,

根据斜率公式和导数的几何意义，可得3=交?=3*，即3元；=工,

x0-1x0-1x0-1

QQ77

解得毛=0或天弓所以切线的斜率为左=〃0）=0或％=*）=?,

27

所以切线方程为＞一1=0或＞一1=下《—1）,即y-l=O或27x-4y-23=0.

4

故答案为：y-l=。或27x—4y-23=0.

31.（2023秋•广东茂名•高二统考期中）已知直线/为函数/。）=尤3+》-16的切线，且经过原点，则直线/

的方程为.

【答案】y=i3尤

【分析】设切点坐标为（为,%）,求导1（x0）=3x：+l,写出直线/的方程，再根据直线/过点（0,0）求解.

【详解】解：设切点坐标为（%，%）,

所以直线I的斜率为广（尤。）=3尤;+1,

所以直线/的方程为y=（3x；+l）（x-xo）+xo+xo-16.

又直线/过点（0,。），

所以（3x：+1）（0—x0）+XQ+x0-16=0,

整理得第=-8,解得毛=-2,

所以%=（-2y+（-2）-16=-26,

直线/的斜率〃=13,

所以直线/的方程为＞=13尤，

故答案为：y=13元.

32.（2023秋・湖南郴州•高二统考期末）过点（0涉）作曲线y=e，的切线有且只有两条，则b的取值范围为（）

A.(0,1)B.(-oo,l)C.(-oo,l]D.(0,1]

【答案】A

【分析】设切点尸小，几)，进而求得切线方程，进而得到6=(l-x0)e-，构造函数g(x)=(l-x)e”分析

g(x)=(l-x)ex的单调性与取值范围即可判断6=(1-有且仅有两根时b的取值范围即可

【详解】设切点为户(知几)，y'=e',故过户(如儿)的切线方程为y-e为=△(x—x°),即y=e*x+(l-%)e%.

故6=(l-%)e&有且仅有两根.设g(x)=(l-x)e",则g〈x)=—xe，，令g〈x)>0蒯x<0,令g'(x)<0则x>0,

旦g(O)=e°=l,又当x<0时,g(x)>0,g(l)=0.故6=(1-%)留有且仅有两根则b的取值范围为(0,1)

故选：A

考点六已知切线(斜率)求参数

33.(2023春・陕西咸阳•高二校考期中)已知函数/(尤)=++3x-2在点(2"(2))处的切线斜率为7,则实数

a的值为.

【答案】1

【分析】求导数，代入切点可得答案.

【详解】因为/'(X)=2G+3,所以由题意得2qx2+3=7,解得a=L

故答案为：1

34.(2023秋・新疆・高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习)若函数了(幻=尤+2111%在》=1处的切线方程为

y=ax+b,贝i]a+2A=.

【答案】-1

【分析】利用导数求函数图象切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程，转化为斜截式即可求解.

2

【详解】r(x)=l+J所以尸⑴=1+2=3,所以切线的斜率为3,

x

又因为")=1+0=1,所以切点的坐标为(口)，

所以切线方程为k1=3。-1)即y=3x-2,

所以。=3,6=-2,所以。+2b=-1.

故答案为:-1.

35.(2023•全国•高二假期作业)曲线y=Y+依+6在点处的切线方程为尤-y+l=0,则a,b的值分

别为()

A.-1,IB.-1,-IC.1,ID.1,-1

【答案】C

【分析】根据切点和斜率求得切线方程.

【详解】依题意，切点为斜率为1,

y=x1+ax+b,y,=2x+a,

所以]:一1,解得q=],6=L

[2x0+a=1

故选：C

36.（2023秋•云南大理•高二校考阶段练习）若曲线y=x"+l（ae&在点（1,2）处的切线与直线尤+2y=0垂

直，则”.

【答案】2

【分析】利用导数的几何意义求解即可.

【详解】依题意，切线的斜率为2,y'=axa-x,a-la-1=2^a=2.

故答案为：2

考点七求切点坐标

1Q

37.【多选】（2023•全国•高二假期作业）在曲线=：上切线的倾斜角为（"的点的坐标为（）

A.（1,1）B.^2,2}D,（2，i）

【答案】AB

【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点

3

【详解】切线的斜率％=tanj乃=-1,

设切点为（不，%），则/'（无o）=T,

又r（x）=g

所以-J=T，

xo

所以%=1或％=T,

所以切点坐标为（LI）或

故选：AB.

38.【多选】（2023,高二课时练习）曲线〃x）=x3-x+3在点尸处的切线平行于直线y=2尤-1,则点尸的坐

标可能为（）

A.（1,3）B.（O,3）C.（2,9）D.（-1,3）

【答案】AD

【分析】设切点P（%,君-%+3）.利用导数表示切线的斜率，列方程即可求解.

【详解】设切点尸（内,片-/+3）.

因为曲线“X）在点尸处的切线的斜率左=/'宙）=3需-1=2,所以不=±1,所以点P的坐标为（1,3）或

故选：AD.

39.（2023秋•四川雅安•高二统考期末）曲线y=g/-31nx在点P处的切线与直线x+2y-2=0垂直，则点

尸的横坐标为（）

A.eB.ic.3D.2e

【答案】C

【分析】设切点求得y=g尤2-31nx的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得加，即

为点尸的横坐标.

1Q

【详解】设切点P（w）,（机>0）,y=5九2-3inx的导数为了二%—

3

可得切线的斜率为％=机-一，

m

由切线与直线x+2y-2=0垂直，

3

可得加——=2,解得根=3或机=-1（舍），

m

所以P的横坐标为3,

故选：C

40.（2023秋・广东珠海•高二统考期末）己知点尸（尤。,%）在曲线C：丁=；/+/-1的图像上，在点P处的曲

线C的切线与直线/：>=-；》+5垂直，则尸点横坐标与为（）

A.-3或IB.1或3c.-3或-ID.-1或3

【答案】A

【分析】求出导函数，由切线斜率与已知直线斜率乘积为-1可得.

【详解】y=x2+2x,左=%；+2%,

因为切线与直线/：y=-gx+5垂直，所以上=%+2/=3,解得f=1或%=-3.

故选：A.

考点八两条曲线的公切线问题

41.【多选】(2023秋•河北石家庄•高二统考期末)若两曲线y=Y-l与y=alnx-l存在公切线，则正实数。

的取值可能是()

A.1.2B.4C.5.6D.2e

【答案】ABD

【分析】分别设切点分别为A(&X),巩%,%)，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程

相同，从而可得出a=Tx；(ln%T)，设g(x)=4dTdlnx由导数求出其值域即可.

【详解】由y=Y-l,则y'=2x,由y=alnx-l,则y'，

X

设切线与曲线y=V-1相切于点AQ,yJ,则斜率为2百，

所以切线方程为y-(x；T)=2与(x-%),即y=2X]X-l-x；①

设切线与曲线y=Mnx-l相切于点3(々,%)，则斜率为：一，

X2

贝!J切线方程为y-(〃lnx2—1)="—y=-^x+alnx2-a-l,②

X?X

,2尤=—

根据题意方程①，②表示同一条直线，贝M%一元

a\nx2-a=-xf

所以a=T%；(ln%2-1)，令g(%)=4%2_4121nx(x>0),

贝！|g'(x)=4x(l—21nx),所以g(x)在(0,人)上单调递增,在(血,+(»)上单调递减,g(尤)1mx=g(五)=2e,

由题意ae(O,2e].

故答案为：ABD

42.(2023秋•黑龙江哈尔滨・高二哈尔滨市第六中学校校考期中)已知曲线/(x)=e"在点P(0J(0))处的切

线也是曲线g(x)=ln(ox)的一条切线，则实数。的值为()

ee

A.—B.—C.eD./

32

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，即可求出/(X)在点P处的切线方程，再设＞='+1与y=8(尤)的切点为(狐”)，

即可得到方程，解得加、“，再代入计算可得；

【详解】解:因为〃x)=e"所以"0)=1,r(x)=e\所以解(0)=1,

所以切线的方程为＞=》+1，

又g(x)=ln(or),所以g'(x)=',

X

设切线y=x+i与y=g(x)的切点为(九”)，

可得切线的斜率为工=1,即〃?=1,

m

n=m+l=l+l=2,可得切点为(1,2),

所以2=Ina,解得.=

故选：D.

43.(2023秋•陕西安康•高二统考期中)已知函数〃x)=xlnx,g(x)=ax2-x.若经过点A(l,0)存在一条直

线/与曲线y=/(x)和y=g(x)都相切，贝!]。=()

A.-IB.IC.2D.3

【答案】B

【分析】先求得了(X)在A(l,0)处的切线方程，然后与g(x)=4一X联立，由△=()求解

【详解】解析：•."(x)==lnx,.•./'(x)=l+lnx,.•./")=l+lnl=l,.•.曲线y=f(x)在A(L0)

处的切线方程为＞=x-l,由|’2得加-2工+1=0,由A=4—4a=0,解得a=l.

[y=ax~-x

故选:B

等【过关检测了定义在

1.(2023秋・上海金山・高二上海4R上的可导函数，若

lim/⑵-/(2+—)」,则广(2)^cr

・D2Ax2

A.—1B.—C.1D.—

44

【答案】A

【分析】根据极限与导数的定义计算.

［详解］尸（2）=lim、（2+Ax）-/⑵=_2lim/⑵-/（2+Ax）=_2xl=_1

-x-oAx2Ax2

故选：A.

2.（2023春・河北•高三校联考阶段练习）如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相

等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度随时间f变化的函数为/?=/«）,定义域为。，

设第ED,to±AtwD,ki，k］分别表示/⑺在区间伍-Af4］,%,力+△4（&>0）上的平均变化率，则（）

A.K>k2B.kt<k2C.匕=^D.无法确定勺，无2的大小关系

【答案】A

【分析】根据容器形状，任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，水面高度减小越来越快，还要注意变

化量和变化率是负数，可判断出结果.

【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的减小量越来越大，且高度//的变化率小于0,所

以了⑴在区间上0-4,to］,%,%+4］（4>。）上的平均变化率由大变小,即左>k2.

故选：A.

3.（2023秋・山东聊城•高二山东聊城一中校考期中）设AM在x=x°处可导，则lim"%一『）一/（飞）=（）

△x->02Ax

A.-|r（x0）B.2"f）C.r（x0）D.2/（x0）

【答案】A

【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.

【详解】因为一（X）在x=x0处可导，

所以，由导数的定义可得：Hm.（X。--"/）=的.

―。2Ar-［I2八-Ax）\2'"

故选：A

4.（2023春・江苏•高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）若直线/与曲线》=5：13天€（0,3万）和曲线>=^

都相切，则直线/的条数有（）

A.IB.2C.3D.无数条

【答案】B

【分析】根据两函数解析式，在同一坐标系下画出函数图象，对两曲线进行求导，利用导函数的几何意义

求出斜率的表达式，再根据三角函数和指数函数的值域，即可求出公切线与两曲线的切点位置，进而确定

公切线的条数.

【详解】如图所示

设直线/与曲线、=$加,%€（0,3万）的切点为4（%了11再），与曲线y=e'的切点为2（%,e*）,直线/的斜率上;

所以,y'=（sinx）'=cosx,即在点A（X],sinxJ处的斜率为左=cos±,

y'=（e、）'=e',即在点8（无2,e力处的斜率为7，

得k=cosx1=e九2；

又因为cos%e[o,l],e^G（0,-KO）,所以斜率左=cos%=eX2G（0,1]

由cos%e（O,l]得，玉或阳e2兀号）

由e*e（O,l]得，x2G（^O,0）；

因此，存在A（X],sinX[）,%e]。，3和8区户），x?©（一0，。）使得左=侬占=e*,

即此时直线A3即为两条曲线的公切线；

-5兀、

同时，存在C（Xj,sin尤3）,%e2兀,万J和DQ"e'4）,%e（，》,0）使得k=cosw=e",且e*we也；

所以，直线CO即为异于直线A3的第二条曲线的公切线；

综上可知，直线/的条数有2条.

故选：B.

5.（2023春•河北唐山•高三校联考阶段练习）若直线3x+y-a=。是曲线的一条切线，则实数

a=（）

A.4B.-C.-D.-

2222

【答案】D

【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得

144

【详解】因为y=三d-41nx,所以y'=x--,令x--=-3,即/+3x-4=0,

2xx

得x=l或x=T（舍去），所以切点是[代入3x+y-a=。，

17

3Ha=0,ci——.

22

故选：D

6.（2023春•上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）函数/（%）=%3—2%在点（1J⑴）处的切线方程为

【答案】》-y-2=0

【分析】由导数的几何意义即可求出切线斜率，即可求解切线方程.

【详解】因为〃x）=x3—2x,所以尸（x）=3f-2,所以f（1）=1

所以在点。，/⑴）处的切线斜率为1,又"1）=1—2=-1,

则在点（L/。））处的切线方程为

y_（_］）=1x（x—1）,y—2=0.

故答案为：x-y-2=0.

7.（2023・高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（。=»+7+1

表示，则物体在Z=0s时的瞬时速度为m/s；瞬时速度为9m/s的时刻是在t=s时.

【答案】14

【分析】由瞬时速度的定义可求解.

［详解］五皿业*二幽

△90

二lim(。+加『+(。+AQ+1T二lirn(1+Ar)=l,

△—0AZ'

即物体在t=Qs时的瞬时速度为1m/s.

设物体在为时刻的瞬时速度为9m/s,

又HmSU+?TGO）=lim⑵+1+加）=